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第九篇第一章第二讲一、选择题1．在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S矩形＝40cm2，S△ABES△DBA＝，则AE的长为()A．4cmB．5cmC．6cmD．7cm[答案]A[解析]∵∠BAD为直角，AE⊥BD，∴△ABE∽△DBA，∴S△ABES△DBA＝ABDB2＝15，∴ABDB＝5.设AB＝k，则DB＝5k，AD＝2k，∵S矩形＝40cm2，∴k·2k＝40，∴k＝25，∴BD＝10，AD＝45，则S△ABD＝12BD·AE＝12×10×AE＝20，∴AE＝4cm.2．如图，E是▱ABCD边BC上一点，BEEC＝4，AE交BD于F，BFFD等于()、A.45B.49C.59D.410[答案]A[解析]在AD上取点G，使AGGD＝，连结CG交BD于H，则CG∥AE，∴BFFH＝BECE＝4，DHFH＝DGGA＝4，∴BFFD＝45.3．(文)如图，AB是⊙O的直径，P在AB的延长线上，PC切⊙O于C，PC＝3，BP＝1，则⊙O的半径为()A.2B.32C．1D.233[答案]C[解析]PB·PA＝PC2，∴PA＝3，∴AB＝2，∴R＝1.(理)(2010·广东中山)如图，⊙O与⊙O′相交于A和B，PQ切⊙O于P，交⊙O′于Q和M，交AB的延长线于N，MN＝3，NQ＝15，则PN＝()A．3B.15C．32D．35[答案]D[解析]由切割线定理知：PN2＝NB·NA＝MN·NQ＝3×15＝45，∴PN＝35.4．AB是半圆O的直径，C、D是半圆上的两点，半圆O的切线PC交AB的延长线于点P，∠PCB＝25°，则∠ADC为()A．105°B．115°C．120°D．125°[答案]B[解析]∵PC是⊙O的切线，∴∠BDC＝∠PCB，又∠ADB＝∠ACB，∴∠ADC＝∠ACB＋∠PCB＝115°.5．一圆锥侧面展开图为半圆，平面α与圆锥的轴成45°角，则平面α与该圆锥侧面相交的交线为()A．圆B．抛物线C．双曲线D．椭圆[答案]D[解析]圆锥侧面展开图的中心角180°＝γα·360°，∴γα＝12，∴母线与轴夹角为30°，又平面α与轴夹角为45°30°，∴截线为椭圆．6．在△ABC中，A＝60°，BE⊥AC于E，CD⊥AB于D，则DEBC＝()A.12B.13C.23D.22[答案]A[解析]由题设ADAC＝12＝AEAB，△ADE∽△ACB，∴DEBC＝ADAC.7．如图所示，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，将此矩形折叠使点B落在AD边的中点E处，则折痕FG的长为()A．13B.635C.656D.636[答案]C[解析]过点A作AH∥FG交DG于H，则四边形AFGH为平行四边形．∴AH＝FG.∵折叠后B点与E点重合，折痕为FG，∴B与E关于FG对称．∴BE⊥FG，∴BE⊥AH.∴∠ABE＝∠DAH，∴Rt△ABE∽Rt△DAH.∴BEAB＝AHAD.∵AB＝12，AD＝10，AE＝12AD＝5，∴BE＝122＋52＝13，∴FG＝AH＝BE·ADAB＝656.8．设平面π与圆柱的轴的夹角为β(0°β90°)，现放入Dandelin双球使之与圆柱面和平面π都相切，若已知Dandelin双球与平面π的两切点的距离恰好等于圆柱的底面直径，则截线椭圆的离心率为()A.12B.22C.33D.32[答案]B[解析]∵Dandelin双球与平面π的两切点是椭圆的焦点，圆柱的底面直径恰好等于椭圆的短轴长，∴2b＝2c，∴e＝ca＝cb2＋c2＝c2c＝22.9．球在点光源的照射下，在一个平面π上的投影的形状为()A．圆B．椭圆C．圆或椭圆D．圆或椭圆或抛物线或双曲线的一支[答案]D[解析]所有与球相切的光线组成圆锥面，球在平面π上的投影为圆锥面与平面π的交线，设平面π与PO的夹角为β(O为球心，P为点光源)，若β＝π2，则投影为圆；再设PO与过P点球的切线的夹角为α，则若αβπ2，则投影为椭圆；若α＝β，则投影为抛物线；若αβ，则投影为双曲线(一支)．10．(08·浙江)如图，AB是平面α的斜线段，A为斜足．若点P在平面α内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是()A．圆B．椭圆C．一条直线D．两条平行直线[答案]B[解析]其实就是一个平面斜截一个圆柱表面的问题．△ABP的面积为定值，所以点P到直线AB的距离为定值(不妨设为d)，所以点P在以直线AB为轴，底面半径为d的圆柱表面上(或者说点P的轨迹是圆柱表面)，另外点P又在平面α内，所以点P的轨迹就是圆柱表面和平面α的公共部分，由于平面α斜截圆柱表面，所以轨迹是一个椭圆．二、填空题11．(09·广东)如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝45°，则圆O的面积等于________．[答案]8π[解析]连结OA，OB，∵∠BCA＝45°，∴∠AOB＝90°.设圆O的半径为R，在Rt△AOB中，R2＋R2＝AB2＝16，∴R2＝8.∴圆O的面积为8π.12．如图，BD为⊙O的直径，AB＝AC，AD交BC于E，AE＝2，ED＝4.则AB的长为________．[答案]23[解析]∵∠ABC＝∠C，∠C＝∠D，∴∠ABC＝∠D，又∠BAE＝∠DAB，∴△ABE∽△ADB，∴AB2＝AE·AD，∴AB＝23.13．已知EB是半圆O的直径，A是BE延长线上一点，AC切半圆O于点D，BC⊥AC于点C，若BC＝6，AC＝8，则AE＝________，AD＝________.[答案]52，5[解析]∵OD⊥AC，BC⊥AC，∴△ADO∽△ACB，∴ODBC＝AOAB，∵BC＝6，AC＝8，∴AB＝10，设OD＝R，则AO＝53R，∴R＋53R＝10，∴R＝154，AE＝AB－2R＝52，ADOD＝ACBC＝43，∴AD＝5.14．在△ABC中，AD是BC边上中线，AE是BC边上的高，∠DAB＝∠DBA，AB＝18，BE＝12，则CE＝________.[答案]15[解析]∵∠DAB＝∠DBA，∴AD＝BD，又AD是BC边上中线，∴BD＝CD.易知∠BAC＝90°，又AE⊥BC.由射影定理可知AB2＝BE·BC，∴BC＝27，∴CE＝15.三、解答题15．(文)在△ABC(ABAC)的边AB上取一点D，在边AC上取一点E，使AD＝AE，直线DE和BC的延长线交于点P，求证：BPCP＝BDCE.[分析]如图，要证BPCP＝BDCE，可过点C作CM∥AB，易证△CPM∽△BPD，此时只需证明CM＝CE即可．[证明]过点C作CM∥AB，交DP于点M.∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED.又AD∥CM，∠ADE＝∠CME，∠AED＝∠CEM，∴∠CEM＝∠CME，∴CE＝CM.∵CM∥BD，∴△CPM∽△BPD，∴BPCP＝BDCM，即BPCP＝BDCE.(理)如图梯形ABCD中，AD∥BC，EF经过梯形对角线的交点O，且EF∥AD.(1)求证：OE＝OF；(2)求OEAD＋OEBC的值；(3)求证：1AD＋1BC＝2EF.[解析](1)证明：∵EF∥AD∥BC，∴OEBC＝AEAB＝DFDC＝OFBC，∴OE＝OF.(2)解：∵OE∥AD，∴OEAD＝BEAB.由(1)知OEBC＝AEAB，∴OEAD＋OEBC＝BEAB＋AEAB＝BE＋AEAB＝1.(3)证明：由(2)知OEAD＋OEBC＝1，∴2OEAD＋2OEBC＝2.又EF＝2OE，∴EFAD＋EFBC＝2，所以1AD＋1BC＝2EF.16．(文)如图，AB是⊙O的直径，C、F为⊙O上的点，CA是∠BAF的角平分线，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于D点，作CM⊥AB，垂足为点M.(1)求证：DC是⊙O的切线；(2)求证：AM·MB＝DF·DA.[证明](1)∵∠OAC＝∠OCA，又∠OAC＝∠CAF，∴∠CAF＝∠OCA，∴OC∥AD，∵CD⊥AF，∴CD⊥OC，∴CD是⊙O的切线．(2)在Rt△ACB中，CM⊥AB，∴CM2＝AM·MB，又DC是⊙O的切线，∴DC2＝DF·DA，易证△ACD≌△ACM，∴CM＝DC，∴AM·MB＝DF·DA.(理)如图，已知AD为⊙O的直径，直线BA与⊙O相切于点A，直线OB与弦AC垂直并相交于点G.求证：BA·DC＝GC·AD.[证明]∵AC⊥OB，∴∠AGB＝90°，又AD为⊙O的直径，∴∠DCA＝90°，又∵∠BAG＝∠ADC，∴Rt△AGB∽Rt△DCA，∴BAAD＝AGDC，又∵GC＝AG，∴BAAD＝GCDC，∴BA·DC＝GC·AD.17．(文)如图以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，E为BC边的中点．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)连结OE、AE，当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形，并在此条件下求sin∠CAE的值．[解析](1)在△OBE与△ODE中，OB＝OD，OE＝OE.∵E、O分别为BC、AB中点．∴EO∥AC，∴∠EOB＝∠DAO，∠DOE＝∠ADO，又∠OAD＝∠ADO，∴∠EOB＝∠DOE，∴△OBE≌△ODE，∴∠ODE＝∠OBE＝90°，∴ED是⊙O的切线．(2)∠CAB＝45°，sin∠ACE＝1010.(理)如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P.(1)求证：AD∥EC；(2)若AD是⊙O2的切线，且PA＝6，PC＝2，BD＝9，求AD的长．[解析](1)∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC＝∠D，又∵∠BAC＝∠E，∴∠D＝∠E，∴AD∥EC.(2)设BP＝x，PE＝y，∵PA＝6，PC＝2，∴xy＝12(1)∵AD∥EC，∴PDPE＝APPC，∴9＋xy＝62(2)由(1)、(2)解得x＝3y＝4(∵x0，y0)，∴DE＝9＋x＋y＝16，∵AD是⊙O2的切线，∴AD2＝DB·DE＝9×16，∴AD＝12.