2011走向高考,贾凤山,高中总复习,阶段性测试题13

阶段性测试题十三(推理与证明(文十二))本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)1．(文)(08·宁夏、海南)平面向量a，b共线的充要条件是()A．a，b方向相同B．a，b两向量中至少有一个为零向量C．∃λ∈R，b＝λaD．存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a＋λ2b＝0[答案]D[解析]选项A、B是共线的充分条件，C为共线的必要条件，D为充要条件，故选D.(理)已知空间任一点O和不共线的三点A，B，C，满足OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(x，y，z∈R)，则“x＋y＋z＝1”是“点P在平面ABC内”的()A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]C[解析]点P在平面ABC内⇔存在实数λ，μ，使AP→＝λAB→＋μAC→⇔平面ABC内的任意点O，有OP→－OA→＝λ(OB→－OA→)＋μ(OC→－OA→)⇔OP→＝(1－λ－μ)OA→＋λOB→＋μOC→，∵OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→，∴x＋y＋z＝1是点P在平面ABC内的充要条件．2．已知2＋23＝2·23，3＋38＝3·38，4＋415＝4·415，…，6＋ab＝6·ab(a，b均为实数)，则可推测a，b的值分别为()A．6,35B．6,17C．5,24D．5,35[答案]A3．设a，b∈R，现给出下列五个条件：①a＋b＝2；②a＋b2；③a＋b－2；④ab1；⑤logab0，其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件为()A．②③④B．②③④⑤C．①②③⑤D．②⑤[答案]D[解析]①a＋b＝2可能有a＝b＝1；②a＋b2时，假设a≤1，b≤1，则a＋b≤2矛盾；③a＋b－2可能a0，b0；④ab1，可能a0，b0；⑤logab0，∴0a1，b1或a1,0b1，故②⑤能推出．4．(文)如果不等式|x－a|1成立的充分非必要条件是12x32，则实数a的取值范围是()A.12a32B.12≤a≤32C．a32或a12D．a≥32或a≤12[答案]B[解析]|x－a|＜1⇔a－1＜x＜a＋1，由题意知12，32a－1，a＋1)，则有a－1≤12a＋1≥32(等号不同时成立)，解得12≤a≤32，故选B.(理)已知命题p：x2－4x＋30与q：x2－6x＋80；若p且q是不等式2x2－9x＋a0成立的充分条件，则实数a的取值范围是()A．(9，＋∞)B．{0}C．(－∞，9]D．(0,9][答案]C[解析]由x2－4x＋30可得p：1x3；由x2－6x＋80可得q：2x4，∴p且q为：2x3，由条件可知，{x|2x3}是不等式2x2－9x＋a0的解集的子集，即方程2x2－9x＋a＝0的两根中一根小于等于2，另一根大于等于3.令f(x)＝2x2－9x＋a，则有f(2)＝8－18＋a≤0f(3)＝18－27＋a≤0⇒a≤9.故选C.5．在等差数列{an}中，若an0，公差d0，则有a4·a6a3·a7，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn0，公比q1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是()A．b4＋b8b5＋b7B．b4＋b8b5＋b7C．b4＋b7b5＋b8D．b4＋b7b5＋b8[答案]A[解析]在等差数列{an}中，由于4＋6＝3＋7时有a4·a6a3·a7，所以在等比数列{bn}中，由于4＋8＝5＋7，所以应有b4＋b8b5＋b7或b4＋b8b5＋b7.∵b4＝b1q3，b5＝b1q4，b6＝b1q6，b8＝b1q7，∴(b4＋b8)－(b5＋b7)＝(b1q3＋b1q7)－(b1q4＋b1q6)＝b1q6·(q－1)－b1q3(q－1)＝(b1q6－b1q3)(q－1)＝b1q3(q3－1)(q－1)．∵q1，bn0，∴b4＋b8b5＋b7.故选A.6．(文)规定一机器狗每秒钟只能前进或后退一步，现程序设计师让机器狗以“前进3步，然后再退2步”的规律移动．如果将此机器狗放在数轴原点，面向正方向，以1步的距离为1个单位长度移动，令P(n)表示第n秒时机器狗所在的位置坐标，且P(0)＝0，则下列结论中错误的是()A．P(2007)＝403B．P(2008)＝404C．P(2009)＝403D．P(2010)＝404[答案]D[解析]显然每5秒前进一个单位，且P(1)＝1，P(2)＝2，P(3)＝3，P(4)＝2，P(5)＝1，∴P(2007)＝P(5×401＋2)＝401＋2＝403，P(2008)＝404，P(2009)＝403，P(2010)＝402，故选D.(理)证明1＋12＋13＋14＋…＋12n－1n2(n∈N*)时，假设n＝k时成立，当n＝k＋1时，左端增加的项数是()A．1项B．2k项C．k项D．k－1项[答案]B[解析]显然当n＝k时，左边为1＋12＋…＋12k－1，而当n＝k＋1时，左边为1＋12＋…＋12k－1＋…＋12k＋1－1.增加的项数为(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k项．故选B.7．(文)在△ABC中，角A，B所对的边长为a，b，则“a＝b”是“acosA＝bcosB”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[答案]A[解析]a＝b⇒A＝B⇒acosA＝bcosB，条件是充分的；acosA＝bcosB⇒sinAcosA＝sinBcosB⇒sin2A＝sin2B⇒2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝π2，故条件是不必要的．(理)“α、β、γ成等差数列”是“等式sin(α＋γ)＝sin2β成立”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[答案]B[解析]sin(α＋γ)＝sin2β，可得α＋γ＝2β＋2kπ(k∈Z)，或α＋γ＝π－2β＋2kπ(k∈Z)，∴选B.8．平面几何中有“一个角的两边分别垂直于另一个角的两边则两角相等或互补”；在立体几何中，“当一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面时，两二面角”()A．互补B．相等C．互补或相等D．关系不定[答案]D[解析]如图，二面角α－l－β，平面γ⊥β，直线l⊥α，l与γ相交于P，则过l的任意平面δ与α垂直且与γ相交成二面角，此二面角的大小不定，∴当一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面时，这两个二面角没有任何大小关系，故选D.9．下列命题中的真命题是()A．∃x∈[0，π2]，sinx＋cosx≥2B．∀x∈(3，＋∞)，x22x＋1C．∃x∈R，x2＋x＝－1D．∀x∈π2，π，tanxsinx[答案]B[解析]对于A，sinx＋cosx＝2sinx＋π4，由x∈[0，π2]，x＋π4∈[π4，3π4]，则1≤sinx＋cosx≤2，故A错；对于B，由x2－2x－10解得，x1＋2或x1－2，故当x∈(3，＋∞)时，x22x＋1恒成立；对于C，x2＋x＋1＝x＋122＋34≥34，∴方程x2＋x＝－1无解，故C错；对于D，当x∈(π2，π)时，tanx0，sinx0，故D错．10．(文)“－2≤a≤2”是“实系数一元二次方程x2＋ax＋1＝0有虚根”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]由方程x2＋ax＋1＝0无实根可得Δ＝a2－40⇒－2a2，故可知－2≤a≤2是方程x2＋ax＋1＝0有虚根的必要不充分条件．(理)命题p：方程x2－x＋a2－6a＝0有一正根和一负根；命题q：函数y＝x2＋(a－3)x＋1的图象与x轴有公共点．若命题“p或q”为真命题，而命题“p且q”为假命题，则实数a的取值范围是()A．(1,5)∪[6，＋∞)B．(－∞，0]∪(1,5)C．(－∞，0]∪[6，＋∞)D．(－∞，0]∪(1,5)∪[6，＋∞)[答案]D[解析]令f(x)＝x2－x＋a2－6a，则命题P⇔f(0)0⇔a2－6a0⇔0a6；由命题q得Δ＝(a－3)2－4≥0⇒a≥5或a≤1.根据题意知命题p与命题q一真一假，当命题p真且命题q假时，a∈(1,5)；当命题q真且命题p假时，a∈(－∞，0]∪[6，＋∞)．综上所述，a∈(－∞，0]∪(1,5)∪[6，＋∞)．故选D.11．(文)(2010·广东中山)两个数1和9的等差中项是a，等比中项是b，则曲线x2a＋y2b＝1的离心率为()A.105B.2105C.45D.105或2105[答案]D[解析]由条件知，a＝5，b＝±3，当b＝3时，曲线x25＋y23＝1的离心率e＝25＝105；当b＝－3时，曲线x25－y23＝1的离心率e＝85＝2105.(理)△ABC的三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a、b、c成等比数列，cosA、cosB、cosC成等差数列，则△ABC为()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形[答案]A[解析]∵cosA，cosB，cosC成等差数列，∴2cosB＝cosA＋cosC＝2cosA＋C2cosA－C2＝2sinB2cosA－C2，∴cos(A－C)＝2cos2A－C2－1＝2cos2Bsin2B2－1，①∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，∴sin2B＝sinAsinC，∴2sin2B＝cos(A－C)＋cosB，∴cos(A－C)＝2sin2B－cosB，②将①代入②整理得：(2cosB－1)(cosB－3)(cosB＋1)＝0.∵0Bπ，∴cosB＝12∴B＝π3，∴cos(A－C)＝1，∵－πA－Cπ，∴A＝C，∴A＝B＝C＝π3，从而△ABC为等边三角形，故选A.12．观察等式：sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°＝34，sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°＝34和sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°＝34，…，由此得出以下推广命题，则推广不正确的是()A．sin2α＋cos2β＋sinαcosβ＝34B．sin2(α－30°)＋cos2α＋sin(α－30°)cosα＝34C．sin2(α－15°)＋cos2(α＋15°)＋sin(α－15°)cos(α＋15°)＝34D．sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝34[答案]A[解析]观察已知等式不难发现，60°－30°＝50°－20°＝45°－15°＝30°，从而推断错误的命题为A.选A.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．方程x24－t＋y2t－1＝1表示曲线C，给出以下命题：①曲线C不可能为圆；②若1t4，则曲线C为椭圆；③若曲线C为双曲线，则t1或t4；④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则1t52.其中真命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)．[答案]③④[解析]显然当t＝52时，曲线为x2＋y2＝32，方程表示一个圆；而当1t4，且t≠52时，方程表示椭圆；当t1或t4时，方程表示双曲线，而当1t52时，4－tt－10，方程表示焦点在x轴上的椭圆，故选项为③④.14．已知命题甲：a＋b≠4，命题乙：a≠1且b≠3，则命题甲是命题乙的________条件．[答案]既不充分也不必要[解析]当a＋b≠4时，可选取a＝1，b＝5，故此时a≠1且b≠3不成立(∵a＝1)．同样，a≠1且b≠3时，可选取a＝2，b＝2，此时a＋b＝4，因此，甲是乙的既不充分也不必要条件．[点评]可通过逆否法判断非乙是非甲的什么条件．15．(文)若数列{an}是等差数列{d不为0}，m，n，p是互不相等的正整数，则有(m－n)a