2011走向高考,贾凤山,高中总复习,第3篇2-4

第三篇第2章第四讲一、选择题1．直线y＝kx－k＋1与椭圆x225＋y216＝1的位置关系为()A．相交B．相切C．相离D．不确定[答案]A[解析]直线y＝k(x－1)＋1过椭圆内定点(1,1)，故直线与椭圆相交．2．图中的椭圆C1、C2与双曲线C3、C4的离心率分别为e1、e2、e3、e4，则它们的大小关系是()A．e1e2e3e4B．e2e1e3e4C．e1e2e4e3D．e2e1e4e3[答案]B[解析]∵C1、C2为椭圆，∴e∈(0,1)∵C3、C4为双曲线，∴e∈(1，＋∞)比较C1、C2∵a相等而C1比C2的短轴小，∴C1的焦距比C2的焦距大，从而e1e2同理C4的虚轴长C3虚轴长，而实轴长均为a∴C4的焦距C3的焦距∴e4e3综上可得：e2e1e3e4，选B.[点评]对于椭圆e＝ca＝1－ba2，e越大越扁，对于双曲线e＝ca＝1＋ba2，e越大开口越宽阔．3．直线l：y＝k(x－2)与曲线x2－y2＝1(x0)相交于A、B两点，则直线l的倾斜角范围是()A．[0，π)B．(π4，π2)∪(π2，3π4)C．[0，π2)∪(π2，π)D．(π4，3π4)[答案]D[解析]如图可知k＝±1，即倾斜角为π4、3π4时只有一个交点，当直线过点(2，0)通过阴影区域内时满足，∴α∈π4，3π4.4．设A、B∈R，A≠B，且A·B≠0，则方程Bx－y＋A＝0和方程Ax2－By2＝AB在同一直角坐标系下的图象大致是()[答案]B[解析]原方程可化为y＝Bx＋A，x2B－y2A＝1.若B0，A0，x2B－y2A＝1表示椭圆，排除C.若B0，A0，x2B－y2A＝1不表示曲线，排除D.若B0，A0，x2B－y2A＝1表示双曲线，排除A.5．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋3y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为()A．32B．26C．27D．42[答案]C[解析]根据题意设椭圆方程为x2b2＋4＋y2b2＝1(b0)，则将x＝－3y－4代入椭圆方程得，4(b2＋1)y2＋83b2y－b4＋12b2＝0，∵椭圆与直线x＋3y＋4＝0有且仅有一个交点，∴Δ＝(83b2)2－4×4(b2＋1)(－b4＋12b2)＝0，即(b2＋4)(b2－3)＝0，∴b2＝3，长轴长为2b2＋4＝27，故选C.6．点P到点A(1,0)和直线x＝－1的距离相等，且点P到直线l：y＝x的距离等于22，这样的点P一共有()A．1个B．2个C．3个D．4个[答案]C[解析]P点在以A为焦点，x＝－1为准线的抛物线y2＝4x上，它与y＝x相交于(0,0)，(4,4)两点．在直线y＝x的左上侧有一个点，右下侧有两个点满足条件．7．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F点作直线交抛物线C于A、B两点，则△AOB面积的最小值为()A.2B．2C．4D．1[答案]B[解析]解法1：设AB的倾斜角为θ，则弦长|AB|＝4sin2θ，∵原点O到直线AB的距离d＝sinθ，∴S△AOB＝12sinθ·4sin2θ＝2sinθ，∴当sinθ＝1，Smin＝2.解法2：设A(x1，y1)、B(x2，y2)，直线AB：x＝my＋1，代入y2＝4x中消去x得，y2－4my－4＝0，∴y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，∴S△OAB＝12|OF|·|y1－y2|＝12·(y1＋y2)2－4y1y2＝1216m2＋16＝2m2＋1≥2，∴m＝0时，取最小值2.8．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是()A．(1,2]B．(1,2)C．[2，＋∞)D．(2，＋∞)[答案]C[解析]∵渐近线l1：y＝bax与过焦点F的直线l平行，或渐近线l1从该位置绕原点按逆时针旋转时，直线l与双曲线的右支交于一个点．∴ba≥3，即c2＝a2＋b2≥4a2，∴e≥2，故选C.9．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)，过椭圆的右焦点作x轴的垂线交椭圆于A、B两点，若OA→·OB→＝0，则椭圆的离心率e等于()A.－1＋52B.－1＋32C.12D.32[答案]A[解析]如图，F2(c,0)把x＝c代入椭圆x2a2＋y2a2＝1得A(c，b2a)．由OA→·OB→＝0结合图形分析得|OF2|＝|AF2|，即c＝b2a⇒b2＝ac⇒a2－c2＝ac⇒(ca)2＋ca－1＝0⇒e2＋e－1＝0⇒e＝5－12.10．设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若BP→＝2PA→，且OQ→·AB→＝1，则P点的轨迹方程为()A．3x2＋32y2＝1(x0，y0)B．3x2－32y2＝1(x0，y0)C.32x2－3y2＝1(x0，y0)D.32x2＋3y2＝1(x0，y0)[答案]D[解析]设P(x，y)，则A32x，0，B(0,3y)，AB→＝－32x，3y，OQ→＝(－x，y)，∵OQ→·AB→＝1，∴32x2＋3y2＝1.(x0，y0)，即为点P的轨迹方程．二、填空题11．过双曲线x2－y2＝4的右焦点F作倾斜角为105°的直线，交双曲线于P、Q两点，则|FP|·|FQ|的值为______．[答案]833[解析]k＝tan105°＝tan(60°＋45°)＝tan60°＋tan45°1－tan60°·tan45°＝－2－3.直线y＝k(x－22)代入x2－y2＝4中消去y得(1－k2)x2＋42k2x－8k2－4＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)则x1＋x2＝－42k21－k2，x1x2＝－8k2－41－k2|FP|·|FQ|＝(ex1－a)(ex2－a)＝(2x1－2)(2x2－2)＝2x1x2－22(x1＋x2)＋4＝－16k2－81－k2＋16k21－k2＋4＝4(k2＋1)k2－1＝833.12．已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则y21＋y22的最小值是________．[答案]32[解析]设AB：x＝my＋4，代入y2＝4x得y2－4my－16＝0.∴y1＋y2＝4m，y1y2＝－16.∴y21＋y22＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16m2＋32≥32，故y21＋y22的最小值为32.13．下列图中的多边形均为正多边形，M、N是所在边上的中点，双曲线均以图中的F1、F2为焦点，设图(1)，(2)，(3)中的双曲线的离心率分别为e1、e2、e3.则e1、e2、e3的大小关系为________．[答案]e1＝e3e2[解析]在图(1)中，令|F1F2|＝2c，因为M为中点，所以|F1M|＝c，且|MF2|＝3c，∴e1＝2c2a＝|F1F2||MF2|－|MF1|＝23－1＝3＋1.在图(2)中，令|F1M|＝m，则|F1F2|＝22m，|MF2|＝5m.∴e2＝|F1F2||MF2|－|MF1|＝225－1＝10＋223＋1＝e1.在图(3)中，令|F1F2|＝2c，则|F1P|＝c，|F2P|＝3c，∴e3＝3＋1.故e1＝e3e2.14．(湖南长沙)已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，过F且斜率为3的直线交C于A，B两点，设|FA||FB|，则|FA|与|FB|的比值等于________．[答案]3[解析]如图，抛物线的准线设为l，AA1⊥l，BB1⊥l，垂足分别为A1和B1，由抛物线定义得|FA|＝|AA1|，|FB|＝|BB1|.又AB斜率为3，∴倾斜角∠AFx＝60°，在梯形AA1B1B中，∠BAA1＝60°，∴|AB|＝2(|AA1|－|BB1|)，即|FA|＋|FB|＝2(|FA|－|FB|)，∴|FA|＝3|FB|.三、解答题15．如图，直线l与双曲线xy＝1交于P、Q两点，并与x轴交于点A，与y轴交于点B.证明：线段AP与线段BQ的长度相等．[证明]由已知，可设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，并设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则A－bk，0、B(0，b)．AB的中点坐标为－b2k，b2，由y＝kx＋bxy＝1.消去y得kx2＋bx－1＝0.∴x1＋x2＝－bk，∴y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2b＝b，∴PQ的中点坐标为－b2k，b2∴PQ的中点与AB的中点重合，设为M，则|AM|＝|MB|，|QM|＝|MP|，∴|AQ|＝|BP|，∴|AP|＝|BQ|.[点评]自己就直线与双曲线及其渐近线各交于两点的情形下，线段长度有何关系加以探讨．16．设F1、F2分别是椭圆x24＋y2＝1的左、右焦点．(1)若P是该椭圆上的一个动点，求PF1→·PF2→的最大值和最小值；(2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围．[解析](1)∵a＝2，b＝1，∴c＝3，F1(－3，0)，F2(3，0)．设P(x，y)，则PF1→·PF2→＝(－3－x，－y)·(3－x，－y)＝x2＋y2－3＝x2＋1－x24－3＝34x2－2.∵x∈[－2,2]，故当x＝0，即点P为椭圆短轴端点时，PF1→·PF2→有最小值－2；当x＝±2，即点P为椭圆长轴端点时，PF1→·PF2→有最大值1.(2)显然直线x＝0不满足题设条件，可设直线l：y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由y＝kx＋2x24＋y2＝1，消去y整理得，(k2＋14)x2＋4kx＋3＝0.∴x1＋x2＝－16k4k2＋1，x1x2＝124k2＋1.由Δ＝(4k)2－4(k2＋14)×3＝4k2－30得，k32，或k－32.①又0°∠AOB90°⇔cos∠AOB0⇔OA→·OB→0⇔x1x2＋y1y20.又y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝12k24k2＋1＋－32k24k2＋1＋4＝4－4k24k2＋1.∴124k2＋1＋4－4k24k2＋10.∴k24，∴－2k2.②故由①②得－2k－32，或32k2.17．已知直线y＝－2上有一个动点Q，过Q作直线l垂直于x轴，动点P在直线l上，且OP→⊥OQ→，记点P的轨迹为C1.(1)求曲线C1的方程；(2)设直线l与x轴交于点A，且OB→＝PA→(OB→≠0).试判断直线PB与曲线C1的位置关系，并证明你的结论．[解析](1)设点P的坐标为(x，y)．则点Q的坐标为(x，－2)．∵OP→⊥OQ→，∴OP→·OQ→＝0.∴x2－2y＝0，∴点P的轨迹C1的方程为x2＝2y.(2)直线PB与曲线C1相切．设点P的坐标为(x0，y0)，∴点A的坐标为(x0,0)．∵OB→＝PA→，∴OB→＝(0，－y0)．∴点B的坐标为(0，－y0)．∵OB→≠0，∴直线PB的斜率为k＝2y0x0.∵x20＝2y0，∴k＝x0.∴直线PB的方程为y＝x0x－y0.代入x2＝2y，得x2－2x0x＋2y0＝0.∵Δ＝4x20－8y0＝0，∴直线PB与曲线C1相切．18．双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为2，坐标原点到直线AB的距离为32，其中A(0，－b)，B(a,0)．(1)求双曲线的标准方程；(2)设F是双曲线的右焦点，直线l过点F且与双曲线的右支交于不同的两点P、Q，点M为线段PQ的中点．若点M在直线x＝－2上的射影为N，满足PN→·QN→＝0，且|PQ→|＝10，求直线l的方程．[解析](1)依题意有ca＝2，aba2＋b2＝32，a2＋b2＝c2.解得a＝1，b＝3，c＝2.所以，所求双曲线的方程为x2－y23＝1.(2)当直线l⊥x轴时，|PQ→|＝6，不合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－2)．由x2－y2