17-湖南大学课程考试试卷答案

诚信应考,考试作弊将带来严重后果！湖南大学课程考试试卷课程名称：高等数学A(1)；课程编码：试卷编号：A；考试时间：120分钟题号一二三四五六七八九十总分应得分15152011781086100实得分评卷人得分评分人一、填空题（每小题3分，共15分）1.函数22132xyxx的可去间断点为.2.)1ln(12)(xxxf的定义域是.3.若1201darcsinxxx,则x.4.若()(21)(32)...(20102009)fxxxxx,则(0)f.5.抛物线243yxx在曲率最大处的曲率为.得分评分人二、单选题（每小题3分，共15分）1.下列结论中正确的是【】(A)若lim,lim,,nnnnaAbBAB则对于充分大的自然数n,有nnab(B)设(1,2,...)nnabn,并且lim,lim,nnnnaAbB则AB(C)若limnnaA,则1lim1nnnaa(D)若limnnaA,则对充分大的自然数n,有naA考试中心填写：____年___月___日考试用专业班级：学号：姓名：装订线（答题不得超过此线）湖南大学课程考试试卷湖南大学教务处考试中心2.2()dfxxxC，则2(1)dxfxx【】(A)222(1)xC(B)222(1)xC(C)221(1)2xC(D)221(1)2xC3.设函数()fx的导数()fx如右图所示，由此，函数()fx的图形可能是【】4.当0x时,ln(1)1xex与nx是同阶无穷小,则n【】(A)1(B)2(C)3(D)45.设[0,1]fC且()0fx，记110()d,Ifxx220(sin)d,Ifxx430(tan)d,Ifxx则下列不等式成立的是【】(A)123III(B)312III(C)231III(D)132III-555()fxx-5-555()fxx(B)-5-555()fxx(A)）)-5-555()fxx(C)-5-555()fxx(D)-5得分评分人三、计算题（每小题5分，共20分）1.计算极限01coslim(1cos)xxxx.2.计算极限23001lim(1)dxtxetx.3.计算积分()dxfxx，其中()xefxx.4.设函数()yyx由方程组(1)0,10yxtttey确定，求0dty.装订线（答题不得超过此线）湖南大学课程考试试卷湖南大学教务处考试中心得分评分人四、（11分）设2sin,0,()ln(1),0,axbxcxfxxx试问,,abc为何值时，()fx在0x处二阶导数存在？得分评分人五、（7分）若()2(1),nfxnxx记[0,1]max{()}nxMfx(即()fx在[0,1]上的最大值),求limnnM.得分评分人体积的衰减率与其体积，问融化掉其余六、（8分）（融化立方体冰块）某地为了解决干旱问题，需将极地水域拖来的冰山融化提供淡水.假设冰山为巨大的立方体，其表面积成正比.如果在最初的一小时里冰被融化掉九分之一的部分需多少小时？(结果精确到小数点后一位，不能使用计算器)得分评分人七、（10分）过点(1,5)作曲线3:yx的切线L.试求（1）切线L的方程；（2）与L所围平面图形D的面积；（3）图形D的0x的部分绕x轴旋转一周所得立体的体积.装订线（答题不得超过此线）湖南大学课程考试试卷湖南大学教务处考试中心得分评分人八、（8分）利用定积分的换元法我们可以证明:若()fu是连续函数，则有00(sin)d(sin)d2xfxxfxx.现要求将此结论推广到满足在[,]ab上连续且关于2abx为偶函数(即对[,]ab中的任何x有()()22ababfxfx)的任意函数()fx的情形,请叙述并证明你的结论.得分评分人九、（6分）设()fx在[,]ab上连续,在(,)ab内可导,且()0fb,试证:至少存在一点(,)ab,使得()()0()ffa.答案一、填空题（每小题3分，共15分）1.1x2.2009!3.224.]2,0()0,1(5.2K二、选择题（每小题3分，共15分）1.A2.D3.C4.C5.B三、计算题（每小题5分，共20分）1.解：原式=200011cos11cos112limlimlim1222(1cos)(1cos)(1cos)2xxxxxxxxxxxxx(1分)(2分)(4分)(5分)2.解：22220332200000(1)d111lim(1)dlimlimlim333xtxxtxxxxetexetxxxx(2分)(3分)(5分)3.解：2()xxxexeefxxx，2()dd()()()dxxxeexfxxxfxxfxfxxcx(2分)(4分)(5分)4.解1:(1)2,xtt21txt，方程10ytey两边对t求导,得0yytteteyy从而,1yytyeeytey(3分)所以,dd(21)yttyyexxyt.当0t时,0,1xy,因而,000d1ddddd(21)ytttyeyxxxxyte(5分)解2:方程组(1)0,10yxtttey两边对x求导得dd120ddddd0dddyytttxxtyyetexxx，(2分)将00,1tty代入得00dd11,,ddtttyxxe(4分)故01ddtyxe.(5分)四、（10分）解：(00),(00)0,(0),fcffc因()fx在0x处连续，所以0c。(3分)200()(0)sin0(0)limlimxxfxfaxbxfbxx,00()(0)ln(1)0(0)limlim1xxfxfxfxx，因()fx在0x处一阶可导，所以1,b(6分)且2cos,0,()1,0,1,0,1axxxfxxxx(8分)00000()(0)2cos1(0)limlim2,11()(0)1(0)limlimlim1,(1)xxxxxfxfaxxfaxxfxfxxfxxxx(10分)因()fx在0x处二阶可导，所以1.2a(11分)五、（7分）解：令211()2(1)2(1)2(1)[1(1)]0nnnfxnxnxxnxnx,得唯一驻点11xn(2分)由()fx在[0,1]上有最大值,而可能的最大值点在0,1x或11n取到,比较三点的函数值得到121()(1)111nnnMfnnn(4分)(11)111lim2lim(1)2lim(1)2111nnnnnnnMennn(7分)六、（8分）解:设立方体的边长为x,则其体积为3Vx,表面积为22d6,(6)dVSxkxt.(2分)将3Vx两边对t求导得：2dd3ddVxxtt，所以，由22d(6)3dxkxxt得d2dxkt.(4分)这说明边长以每小时2k个单位的常速率减少.因此,若立方体的初始边长为0x,一小时后边长为102xxk,即012kxx.冰全部融化的时间为使得02ktx的t值，由此，001010121()xxtxkxxx融化,而1133038222()1198112(1)2(1)388xx0.96(5分)(7分)所以，125.010.96t融化,故融化掉其余部分需要约24.0小时.(8分)七、（10分）解：（1）设切点为300(,)xx，则200()3yxx。所以切线L的方程为320003()yxxxx(2分)令1,5xy代入得32002350xx，有唯一实根01x，故切点为(1,1).(3分)所以,切线L的方程为32yx。(4分)（2）由332yxyx解得1,2x,D的面积为2423211327(32)d(2)244xSxxxxx(7分)（3）所求体积为222322600[(32)()]d(9124)dVxxxxxxx232701264(364)77xxxx(10分)八、（8分）结论：设()fx在[,]ab上连续，且关于2abx为偶函数(即对[,]ab中的任何x有()()22ababfxfx)，则()d()d2bbaaabxfxxfxx.(3分)证明：设xabt,则ddxt,且当xa时,tb;当xb时,ta.于是(4分)()d()()dbaabxfxxabtfabtt()()dbaabtfabtt()()d()dbbaaabfabtttfabtt(6分)()()d()d[()(())(())()]2222bbaaabababababftttfttfabtftftft(7分)所以,()d()d2bbaaabxfxxfxx.(8分)九、（6分）证明：令()()()gxxafx,(3分)则()gx在[,]ab上连续,在内(,)ab可导,且()()0gagb,由罗尔定理,至少存在一点(,)ab,使得()0g,即()()0()ffa.(6分)