17-碰撞.

12在前面讨论的问题中，物体在力的作用下，运动速度都是连续地、逐渐地改变的。本章研究另一种力学现象——碰撞，两个或两个以上相对运动的物体在瞬间接触、速度发生突然改变的力学现象称为碰撞。物体发生碰撞时，会在非常短促的时间内，运动速度突然发生有限的改变。碰撞是工程中常见而非常复杂的动力学问题，本章在一定的简化条件下，讨论两个物体间的碰撞过程中的一些基本规律。动力学第十七章碰撞3§17–1碰撞的分类碰撞问题的简化§17-2用于碰撞过程的基本定理§17–3质点对固定面的碰撞恢复系数§17–4碰撞问题举例§17–5碰撞冲量对绕定轴转动刚体的作用撞击中心小结第十七章碰撞动力学第十七章碰撞4§17-1碰撞的分类碰撞问题的简化碰撞：运动或静止的物体在突然受到冲击（包括突然受到约束或解除约束）时，其运动速度发生急剧的变化，这种现象称为碰撞。1.碰撞的分类两物体碰撞时，按其相处位置划分，可分为对心碰撞、偏心碰撞与正碰撞、斜碰撞。动力学第十七章碰撞碰撞时两物体间的相互作用力，称为碰撞力（或称瞬间力）。若碰撞力的作用线通过两物体的质心，称为对心碰撞，否则称为偏心碰撞。5动力学第十七章碰撞6两物体碰撞时，按其接触处有无摩擦，可分为光滑碰撞与非光滑碰撞。两物体相碰撞时，按物体碰撞后的恢复程度（或能量有无损失），可分为完全弹性碰撞、弹性碰撞与塑性碰撞。动力学第十七章碰撞若碰撞时各自质心的速度均沿着公法线，称为正碰撞，否则称为斜碰撞。按此分类还有对心正碰撞，偏心正碰撞。上图中左图所示即为对心正碰撞。7动力学第十七章碰撞碰撞现象的特点是时间极短，一般为10-3~10-4s，速度改变为有限值，加速度变化巨大，碰撞力极大。2.对碰撞问题的两点简化设榔头重10N，以v1=6m/s的速度撞击铁块，碰撞时间∆t=1/1000s,碰撞后榔头以v2=1.5m/s的速度回跳。求榔头打击铁块的力的平均值。以榔头为研究对象，根据动量定理Ivv12mm投影形式为sN65.7)65.1(10gI碰撞力的变化如图，平均打击力为N7650/*tIF是榔头重的765倍。8可见，即使是很小的物体，当运动速度很高时，瞬时力可以达到惊人的程度。有关资料介绍，一只重17.8N的飞鸟与飞机相撞，如果飞机速度是800km/h，（对现代飞机来说，这只是中等速度），碰撞力可高达3.56105N，即为鸟重的2万倍！这是航空上所谓“鸟祸”的原因之一。害的一面：“鸟祸”、机械、仪器及其它物品由于碰撞损坏等。利的一面：利用碰撞进行工作，如锻打金属，用锤打桩等。研究碰撞现象，就是为了掌握其规律，以利用其有利的一面，而避免其危害。动力学第十七章碰撞9动力学第十七章碰撞2）由于碰撞过程非常短促，碰撞过程中，速度变化为有限值，物体在碰撞开始和碰撞结束的位置变化很小，因此在碰撞过程中，物体的位移忽略不计。根据碰撞的上述特点，在研究一般碰撞问题时，通常做下面两点简化：1）在碰撞过程中，由于碰撞力非常大，重力、弹性力等普通力远远不能够与之相比，因此这些普通力的冲量忽略不计；10§17-2用于碰撞过程的基本定理由于碰撞力变化复杂，不宜直接用力或者运动微分方程来描述碰撞过程；又由于用力的功难以计算碰撞过程机械能的损失，因此也不宜用动能定理来描述碰撞过程中能量的变化。而对由于碰撞冲量的作用使物体运动速度发生的变化可以用动量定理和动量矩定理的积分形式来研究。动力学第十七章碰撞11动力学第十七章碰撞1、用于碰撞过程的动量定理——冲量定理。设质点的质量为m，碰撞开始时的速度v，结束瞬时的速度v’,则质点的动量定理为IFvvttmm0d其中I为碰撞冲量，普通力冲量忽略不计。设Ii(e)为外碰撞冲量、Ii(i)为内碰撞冲量。对质点系中第i个受碰撞的质点，有nimmiiiiii,2,1)i()e(IIvv相加后，并考虑Ii(i)=0，得)e(iiiiimmIvv12上式即为用于碰撞过程的质点系动量定理，它不计普通力的冲量，也称冲量定理：质点系在碰撞开始和结束时动量的变化，等于作用于质点系的外碰撞冲量的主矢。质点系的动量也可用总质量与质心速度的乘积计算。则)e(iCCmmIvv2、用于碰撞过程的动量矩定理——冲量矩定理。动力学第十七章碰撞由用于碰撞过程的动量定理nimmiiiiii,2,1)i()e(IIvv对上式两边矢积矢径ri得nimmiiiiii,2,1)()()i()e(IIrvvrii上式也称为碰撞时的质心运动定理13动力学第十七章碰撞将n个方程求和)()()i()e(iiiiiimmIIrvvrii即)()e(12iOOOIMLL上式中riIi(e)为冲量矩，其中不计普通力的冲量矩。该式是用于碰撞过程的动量矩定理，又称冲量矩定理：质点系在碰撞开始和结束时对点O的动量矩的变化，等于作用于质点系的外碰撞冲量对同一点的主矩。143、碰撞时的刚体平面运动方程质点系相对于质心的动量矩定理与对于固定点的动量矩定理具有相同的形式，如此推证相似，可以得到用于碰撞过程的质点系相对于质心的动量矩定理)()e(12iCCCIMLL对平行于其对称面的平面运动刚体，有CCJL上式成为)()e(12iCCCJJIM动力学第十七章碰撞)e(iCCmmIvv再结合以上称为刚体平面运动的碰撞方程。15§17-3质点对固定面的碰撞恢复系数设一小球（可视为质点）沿铅直方向落到水平的固定平面上，如图所示。动力学第十七章碰撞16第一阶段：开始接触至变形达到最大。该阶段中，小球动能减小,变形增大。设碰撞冲量为I1，则应用冲量定理在y轴投影式1)(0Imv第二阶段：由弹性变形开始恢复到脱离接触。该阶段中，小球动能增大，变形（弹性）逐渐恢复。设碰撞冲量为I2，则：20Ivm12IIvv该碰撞过程分为两个阶段：动力学第十七章碰撞17动力学第十七章碰撞由于碰撞过程有能量损失（发光、发热、发声等），一般v’小于v，但牛顿发现，其比值对于材料确定的物体几乎不变。即常数k称为恢复因数，且恒取正值。kIIvv1218恢复因数k一般需实验确定，用待测定恢复因数的材料做成小球和质量很大的平板，如图所示，测定小球下落高度h1和小球弹起高度h2，则2122ghvghv12hhvvk则恢复因数为动力学第十七章碰撞恢复因数表示物体在碰撞后速度的恢复程度，也表示物体变形恢复的程度，并且反映出碰撞过程中机械能损失的程度。19动力学第十七章碰撞k=0为极限情况，物体在碰撞结束后变形丝毫没有恢复，称为非弹性碰撞或塑性碰撞。一般0k1。物体在弹性碰撞结束时，变形不能够完全恢复，动能有损失。k=1为理想情况，物体在碰撞结束后变形完全恢复，动能没有损失，称为完全弹性碰撞；如图斜碰撞，若不计摩擦，两物体只在法线方向发生碰撞，定义恢复因素为nnvvk20又或ttvvtantannnvvvvktantannn所以对实际材料有k1，由上式知，当碰撞物体表面光滑，有，在不考虑摩擦的一般情况下，如碰撞前后两个物体都在运动，此时恢复因素定义为nrnrvvk式中和分别为碰撞前后两物体接触点沿接触面法线方向的相对速度。nrvnrv动力学第十七章碰撞21§17-4碰撞问题举例动力学第十七章碰撞1、正碰撞结束时两质心的速度例如：两物体质量分别为m1和m2，恢复因素为k，产生对心正碰撞，已知碰撞前分析碰撞结束时两质心的速度和动能损失。)(,2121vvvv21,vv分析：以两物体组成的系统研究对象。由动量定理，得：0)()(22112211vmvmvmvm碰撞前v1v2碰撞后v'2v'1222112vvvvk列出补充方程：0)()(22112211vmvmvmvm动力学第十七章碰撞)()1()()1(21211222121211vvmmmkvvvvmmmkvv联立解得对于完全弹性碰撞（k=1）：)(2;)(221211222121211vvmmmvvvvmmmvv122121,,vvvvmm则若(碰撞后两物体交换速度)23对于塑性碰撞（k=0）：21221121mmvmvmvv对于一般情况（0k1）：2211,vvvv2、正碰撞过程中的动能损失2222112222211121212121vmvmTvmvmT碰撞后碰撞前则动能损失为))((21))((21)(21)(212222211111222222121121vvvvmvvvvmvvmvvmTTT动力学第十七章碰撞24由正碰撞结束时两质心的速度公式知)()1(;)()1(21211222121211vvmmmkvvvvmmmkvv代入上式中，得)]())[(()1(212212212121vvvvvvmmmmkT22122121212121))(1()(2)(vvkmmmmTTTvvkvv又动力学第十七章碰撞25系统动能没有损失,可以利用机械能守恒定律求碰撞后的速度。021TTT221212121)()(2vvmmmmTTT1212122112121211121)(2TmmmmmvmvmmmmT(1)对于完全弹性碰撞（k=1）：(2)对于塑性碰撞（k=0）：若v2=0，则动力学第十七章碰撞26[例1]打桩机。锤：m1，下落高度h，桩：m2，下沉。两者塑性碰撞。求碰撞后桩的速度和泥土对桩的平均阻力。解：碰撞开始时，锤速，桩速塑性碰撞后，ghv2102vghmmmvv221121根据动能定理,计算下沉过程中,泥土对桩的平均阻力F。动力学第十七章碰撞27)()()2(2021212121221121mmghmgmgmFFgmgmghmmmmm由于右端前两项远比第三项小,往往可以略去,于是上式可写为：)(2121mmghmF动力学第十七章碰撞28如图所示物块A自高度h=4.9m处自由落下，与安装在弹簧上物块B相碰。已知A的质量m1=1kg，B的质量m1=0.5kg，弹簧刚度k=10N·mm－1。设碰撞结束后，两物块一起运动。求碰撞结束时的速度v'和弹簧的最大压缩力。AhsmaxsstB[例2]动力学第十七章碰撞29动力学第十七章碰撞30物块A自高处落下与B块接触的时刻，碰撞开始。此后A的速度减少，B的速度增大。当两者速度相等时，碰撞结束。然后A，B一起压缩弹簧作减速运动，直到速度等于零时，弹簧的压缩量达最大值。此后物块将向上运动，并将持续地往复运动。0sm8.92211vghv，－12111sm533.6－mmvmv碰撞过程中，忽略重力，沿y方向系统的动量守恒。碰撞后，二者一起运动的速度解：碰撞开始时AhsmaxsstB动力学第十七章碰撞31上式可整理成对smax的标准二次方程0)2()(2st21221max212maxgkmmvkmmkgmm注意到，解得最大压缩量gmks2stmm49.81maxs另一解为-78.55mm，弹簧为拉伸状态，不合题意。碰撞结束后，设最大压缩量为smax，由动能定理得)(2)()()(2102max2ststmax21221sskssgmmvmm动力学第十七章碰撞AhsmaxsstB32[例3]汽锤锻压金属。汽锤m1=1000kg，锤件与砧块总质量m2=15000kg，恢复系数k=0.6，求汽锤的效率。1TT故因,21,021112vmTv12212)1(TkmmmT%606.0)6.01(15000100015000)1(22212kmmm于是若将锻件加热，可使k减小。当达到一定温度时，可使锤不回跳