基于LMI的H∞控制问题

基于LMI的H∞控制问题主要内容H∞范数与线性矩阵不等式的关系不确定系统的H∞控制H∞控制的LMI处理方法xAxBwzCx+Dw考虑系统定理3.1针对系统(3-1)和给定的一个常数γ0,若存在对称矩阵P0,使得如下线性矩阵不等式成立0TTTTAPPAPBCBPIDCDI则有||Gzw||∞γ,且系统渐进稳定。(3-1)证明：0TTTTAPPAPBCBPIDCDI20TTTTAPPAPBCBPIDCDI对上述不等式分别左乘,右乘矩阵diag{γ1/2I,γ1/2I,γ-1/2I},得20TTTTAXXAXBCBXIDCDI记X=γP运用Schur补，可得120TTTTTTAXXACCXBCDIDDBXDC若D=0,则有20TTTAXXAXBBXCC严格真传递函数阵的H∞范数与矩阵不等式的等价关系给出了系统H∞范数与LMI之间的关系使得H∞控制问题可基于LMI进行求解有界实引理(Boundedreallemma)0TTTTAPPAPBCBPIDCDI不确定系统的H∞控制xA+AxB+BuDwyCx12tABMFEE1,ME2EtFTttFFI不确定参数矩阵和是反映不确定性结构的常数矩阵，是时变的不确定矩阵，且满足。考虑如下具有外界干扰的线性不确定系统（3-2）2L2202supywwTsyw系统(3-2)的增益定义为：ttuKx12txxDw=ABKMFEEKAx+DwyCx设计状态反馈控制律闭环系统可写为12tA=ABKMFEEK（3-3）定理3.2针对闭环系统(3-3)和给定的一个常数γ0,若存在对称矩阵P0,使得如下矩阵不等式成立20TTTAPPACCPDDPI则有||Gyw||∞γ,且闭环系统渐进稳定。证明：若有定理的条件成立20TTTAPPACCPDDPI则必有20TTTTxxAPPACCPDwwDPITTTT2TTTTxAPPAxwDPxxPDwxCCxww展开整理得(3-4)若定义闭环系统的Lyapunov函数为TVxxPx，则有TTTTTVxxAPPAxwDPxxPDw（3-5）由式(3-5)，式(3-4)可整理为T2T0Vxyyww若给定零初始条件，对上式从0到T积分，可得T2T00TVTdtxyyww22supywT2T00Tdtyyww定理得证。即得闭环系统(3-3)的L2增益小于γ。T2T0Vxyyww再由知，当闭环系统(3-3)满足H∞性能指标γ时，0.Vx为什么考虑零初始条件？若非零初始条件，系统H∞性能指标不满足。的证明太过牵强。Question0Vx存在的问题：定理3.2得出的不等式并不是线性矩阵不等式(LMI)，无法直接求解，且其中包含时变不确定参数矩阵F(t)解决的思路：1.消去时变不确定参数矩阵F(t);2.将不等式转换为LMI，以便求解。引理3.1给定适当维数的实矩阵Y,M和E，其中Y是对称的,则对所有满足FTFI的实矩阵F,Y+MFE+ETFTMT0,成立,当且仅当存在常数ε0,使得Y+εMMT+ε-1ETE0定理3.3针对闭环系统(3-3)和给定的一个常数γ0,如果对所有满足FTFI的实矩阵F，若存在对称正定实矩阵V0,实矩阵W以及标量ε0,使得如下线性矩阵不等式成立则u(t)=WV-1x(t)为闭环系统的H∞鲁棒控制律，即||Gyw||∞γ,且闭环系统渐进稳定。TTT2TTTTTT1212000AVVABWWBDDMMVCVEWECVIEVEWI证明：由定理3.2，知20TTTAPPACCPDDPI1{,}diagPI20TTTXAAXXCCXDDI成立时，闭环系统满足H∞性能指标。对上式分别左乘和右乘矩阵1XP记，得T2TT0XAAXDDXCCXI12tA=ABKMFEEK将代入得T2TTTTT121200000XABKABKXDDXCCXIMXEEKFEEKXFM由引理3.1，对于所有满足FTFI的实矩阵F，上式成立，当且仅当存在标量ε0,使得如下不等式成立T2TTT1T121200000XABKABKXDDXCCXIMXEEKMEEKXY+MFE+ETFTMT0Y+εMMT+ε-1ETE0T2TTT1T12120000XABKABKXDDXCCXIMMXEEKEEKX上式还可写成不等式两边分别数乘ε，得T2TTTT12120000XABKABKXDDXCCXIMMXEEKEEKX记,VXWKV应用Schur补,即得定理3.3成立。TTT2TTTT12120000AVVABWWBDDMMVCCVIEVEWEVEW