2011高考数学总复习备考综合模拟4

1/16【状元之路】2011高考数学总复习备考综合模拟(四)时间：120分钟满分：150分姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分得分△注意事项：1.填写答题卡请使用2B铅笔填涂2.提前5分钟收答题卡一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填在括号内．1．若1＋ii＋(1＋3i)2＝a＋bi(a，b∈R)，则a－b＝()A．23B．－23C．2＋23D．23－22．已知全集I＝R，若函数f(x)＝x2－3x＋2，集合M＝{x|f(x)≤0}，N＝{|f′(x)＜0}，则M∩∁IN＝()A．[32，2]B．[32，2)C．(32，2]D．(32，2)3．已知α∈(－π2，0)，cosα＝35，则tan(α－π4)＝()A.17B．7C．－17D．－74．已知一个空间几何体的三视图及其寸如图所示，则该空间几何体的体积是()2/16A.143B.73C．14D．75．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如图)．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出200人作进一步调查，其中低于1500元的称为低收入者，高于3000元的称为高收入者，则应在低收入者和高收入者中分别抽取的人数是()A．1000,2000B．40,80C．20,40D．10,206．给出下列结论：①命题“若p，则q或r”的否命题是“若p，则q且r”；②命题“若p，则q”的逆否命题是“若p，则q”；③命题“∃n∈N*，n2＋3n能被10整除”的否命题是“∀n∈N*，n2＋3n不能被10整除”；④命题“∀x，x2－2x＋3＞0”的否命题是“∃x，x2－2x＋3＜0”．其中正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．47．在平面直角坐标系中，由x轴的正半轴、y轴的正半轴、曲线y＝ex以及该曲线在x＝a(a≥1)处的切线所围成图形的面积是()A．eaB．ea－1C.12eaD.12ea－18．已知菱形ABCD的边长为2，∠A＝30°，若在该菱形内任取一点，则该点到菱形的顶点A，B的距离均不小于1的概率是()3/16A.π4B．1－π4C．1－π12D．1－5π129．在直角坐标系中，若不等式组y≥0y≤2xy≤k(x－1)－1表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(0，＋∞)C．(0,2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,2)∪(2，＋∞)10．已知直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，O为坐标原点，若OP·OQ＝－12，则k的值为()A．±3B．±1C．±2D．－311．若函数f(x)＝kax－a－x(a＞0且a≠1)在(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则g(x)＝loga(x＋k)的图象是()12．现有20个零件，其中16个是一等品，4个是二等品，若从这20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法的种数是()A．1136B．1600C．2736D．1120二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．请把答案填在题中横线上．13．一个算法的程序框图如图所示，如果输出的结果在区间[－1,1]内，则输入的x的取值范围是__________．4/1614．在△ABC中，BC＝2AB，∠ABC＝120°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率是__________．15．已知直线y＝2x上一点P的横坐标为a，A(－1,1)，B(3,3)，则使向量PA与PB的夹角为钝角的充要条件是__________．16．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，f(1)＝2，则201011()nfn＝__________.三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题12分)在一次代号为“东方雄师”的军事演习中，红军派出甲、乙两架轰炸机对蓝军的同一地面目标进行轰炸，已知甲轰炸机投弹1次命中目标的概率为23，乙轰炸机投弹1次命中目标的概率为12，两机投弹互不影响，每机各投弹2次，2次投弹之间互不影响．(1)若至少2次投弹命中才能摧毁这个地面目标，求目标被摧毁的概率；(2)记目标被命中的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．18．(本小题12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，且PD＝AB＝a，E是PB的中点．(1)求异面直线PD与AE所成角的正切值；(2)在平面PAD内求一点F，使得EF⊥平面PBC；5/16(3)在(2)的条件下，求二面角F－PC－E的正切值．19．(本小题12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝Sn＋3n＋1(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝2nanan＋1，设数列{bn}的前n项和为Tn，求使不等式12－Tn＜12010成立的最小正整数n的值．20．(本小题14分)已知函数f(x)＝x2＋2ax(a∈R)．(1)求函数f(x)的图象在x＝1处，且垂直于直线x－14y＋13＝0的切线方程，并求此时函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)≤a2－2a＋4对任意的x∈[1,2]恒成立．求实数a的取值范围．21．(本小题14分)已知平面内动点P(x，y)到定点F(1,0)的距离与其到定直线l：x＝4的距离之比是12，设动点P的轨迹为M，轨迹M与x轴的负半轴交于点A，过点F的直线交轨迹M于B、C两点．(1)求轨迹M的方程；(2)证明：当且仅当直线BC垂直于x轴时，△ABC是以BC为底边的等腰三角形；(3)△ABC的面积是否存在最值？如果存在，求出最值；如果不存在，说明理由．22．(本小题10分)选修4－1：几何证明选讲如图所示，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A点作直线AP垂直直线OM，垂足为P.(1)证明：OM·OP＝OA2；(2)N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点．过B点的切线交直线ON于K.证明：∠OKM＝90°.6/1623．(本小题10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2sinθ，设直线l的参数方程是x＝－3t＋2y＝4t(t为参数)，试判断直线l和曲线C的位置关系．24．(本小题10分)选修4－5：不等式选讲设x，y，z∈(0，＋∞)，且x＋y＋z＝1，求1x＋4y＋9z的最小值．7/16参考答案一、1、解析：1＋ii＋(1＋3i)2＝1－i－2＋23i＝－1＋(23－1)i＝a＋bi，则a＝－1，b＝23－1，故a－b＝－23.答案：B2、解析：由f(x)≤0，即x2－3x＋2≤0，解得1≤x≤2，故M＝[1,2]；由f′(x)＜0，即2x－3＜0，解得x＜32，故N＝(－∞，32)，∁IN＝[32，＋∞)，故M∩∁IN＝[32，2]．答案：A3、解析：由已知得sinα＝－45，则tanα＝－43，故tan(α－π4)＝tanα－11＋tanα＝－43－11－43＝7.答案：B4、解析：这个空间几何体是一个一条侧棱垂直于底面的四棱台，这个四棱台的高是2，上底面是边长为1的正方形、下底面是边长为2的正方形，故其体积V＝13×(12＋12×22＋22)×2＝143.答案：A5、解析：由图可知，低收入者的频率是0.0002×500＝0.1，故应在低收入者中抽取200×0.1＝20人；高收入者的频率是(0.0003＋0.0001)×500＝0.2，故应在高收入者中抽取200×0.2＝40人．答案：C6、解析：由于否命题是把原命题的否定了的条件作条件、否定了的结论作结论得到的命题，故①正确；由于逆否命题是把原命题的否命题的结论作条件、否定了的条件作结论得到的命题，故②不正确；特称命题的否命题是全称命题，故③正确；虽然全称命题的否命题是特称命题，但对结论的否定错误，故④不正确．答案：B8/167、解析：∵y＝ex，∴y′＝ex，故曲线y＝ex在x＝a处的斜率为ea，切线方程为y－ea＝ea(x－a)，令y＝0得x＝a－1≥0.如图所示，点A(a－1,0)，D(a,0)，，B(a，ea)，两坐标轴的正半轴，曲线y＝ex以及该曲线在x＝a(a≥1)处的切线所围成图形的面积等于曲边形ODBC的面积减去△ADB的面积，曲边形ODBC的面积为0aexdx＝ea－1，△ADB的面积为12|AD|.|DB|＝12×[a－(a－1)]ea＝12ea，故所求的面积为ea－1－12ea＝12ea－1.答案：D8、解析：如图所示，只有空白区域内的点到A，B的距离均不小于1，菱形的面积为2×2sin30°＝2，两个阴影部分扇形的面积之和恰好是一个半径为1的半圆的面积，其面积为π2，故空白区域的面积为2－π2，所求的概率是2－π22＝4－π4＝1－π4.答案：B9、解析：如图所示，直线y＝k(x－1)－1过定点(1，－1)，当这条直线的斜率为负值时，只有直线的斜率k∈(－∞，－1)时，才可构成三角形区域；当这条直线的斜率为正值时，y≤k(x－1)－1所表示的是直线y＝k(x－1)－1及其右下方的半平面，这个区域和另外两个半平面的交集是一个无界区域，不能构成三角形．因此k的取值范围是(－∞，－1)．答案：A10、解析：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立两个方程得x2＋(kx＋1)2＝1，即(1＋k2)x2＋2kx＝0，解得x1＝0，x2＝－2k1＋k2，则y1＝1，y2＝k(－2k1＋k2)＋1＝1－k21＋k2，故OP·OQ9/16＝x1x2＋y1y2＝0×(－2k1＋k2)＋1×1－k21＋k2＝1－k21＋k2＝－12，即k2＝3，故k＝±3.答案：A11、解析：依题意得，对于任意的x∈R有，f(－x)＋f(x)＝0，即ka－x－ax＋kax－a－x＝0，(k－1)(a－x＋ax)＝0，∵a－x＋ax≠0，∴k＝1，∴f(x)＝ax－a－x，g(x)＝loga(x＋1)，∵f(x)＝ax－a－x在(－∞，＋∞)上为增函数，故a＞1，∴g(x)＝loga(x＋1)在(－1，＋∞)上为增函数．答案：C12、解法一：“至少有1个是一等品的不同取法”分三类：“恰有1个一等品的不同取法”，“恰有2个一等品的不同取法”，“恰有3个一等品的不同取法”，由分类计数原理有：C116C24＋C216C14＋C316＝1136种．解法二：考虑其对立事件：“3个都是二等品”，用间接法：C320－C34＝1136种．答案：A二、13、解析：当x＞0时，由y＝lgx∈[－1,1]得x∈[110，10]，同理，x＜0时，得x∈[－10，－110]，当x＝0时输出结果也在区间[－1,1]内．答案：{0}∪[－10，－110]∪[110，10]14、解析：设AB＝2c(c＞0)，则BC＝4c，根据余弦定理AC＝(2c)2＋(4c)2－2×2c×4c×cos120°＝27c，根据双曲线定义2a＝AC－BC＝27c－4c，故该双曲线的离心率为ca＝2c2a＝2c27c－4c＝17－2＝2＋73.答案：2＋7315、解析：由题意知P点的坐标为(a,2a)，PA＝(－1－a,1－2a)，PB＝(3－a,3－2a)．由向量PA与PB的夹角为钝角，得：PA·PB＝(－1－a,1－2a)·(3－a,3－2a)10/16＝(－1－a)(3－a)＋(1－2a)(3－2a)＝5a2－10a＜0，∴0＜a＜2，但是当a＝1时，PA，PB反向共线，其夹角为π，故向量PA与PB的夹角为钝角的充要条件是0＜a＜2且a≠1.答案：0＜a＜2且a≠116、解析：令y＝1得f(x＋1)＝f(x)+2x+2,即f(n+1)=f(n)=f(n)+2n+2,故f(2)-f(1)=21+2,f(3)-f(2)=22+2,…,f(n)-f(n-1)=2(n-1)+2,各式相加得f(