2011高考数学单元复习训练35算数平均数与几何平均数

课时训练35算数平均数与几何平均数【说明】本试卷满分100分，考试时间90分钟.一、选择题（每小题6分，共42分）1.logab+logba≥2成立的必要条件是（）A.a＞1,b＞1B.0＜a,b＜1C.(a-1)(b-1)＞0D.以上全不对答案：C解析：logab+logba≥2成立的充要条件是logab＞0，故A、B是充分条件，C是必要条件.2.下列各等式中正确的个数是（）①a2+1＞2a;②|x+x1|≥2;③abba≤2;x2+112x≥1.A.0B.1C.2D.3答案：C解析：②④正确.3.(2010广东中山一模，9)设a、b∈R+,且a+b=4,则有（）A.ab1≥21B.ba11≥1C.ab≥2D.221ba≥41答案：B解析：由a,b∈R+,a+b=4,知ab≤(2ba)2=4,故ba11=ababba4≥1.4.(2010浙江高三联考，2)已知xy＜0,则代数式xyyx22（）A.有最小值2B.有最大值-2C.有最小值-2D.不存在最值答案：B解析：因x2+y2≥2|xy|=-2xy，又xy＜0,故xyyx22≤-2.5.(2010重庆万州区一模，5)若实数x、y满足x2+y2=1,则（1-xy）(1+xy)的最小值为()A.1B.21C.43D.41答案：C解析：∵2|xy|≤x2+y2=1,∴|xy|≤21.(1-xy)(1+xy)=1-x2y2≥1-(21)2=43.6.当点（x,y）在直线x+3y-2=0上移动时，表达式3x+27y+1的最小值是()A.339B.1+22C.6D.7答案：D解析：3x+27y+1=3x+33y+1≥2yx333+1=2yx33+1=7.7.甲、乙两个同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则()A.甲先到教室B.乙先到教室C.两人同时到教室D.谁先到教室不确定答案：B解析：设甲用时T，乙用时2t，步速为a，跑步速度为b，距离S.则T=abbaSbSaSbSaS22222,ta+tb=s2t=bas2,∴T-2t=abbas2)(-bas2=s×)(2)()(24)(22baabbasbaababba＞0，故T＞2t.二、填空题（每小题5分，共15分）8.已知a、b∈R+,且a+b=1,则ba11≥m,恒成立的实数m的最大值是________________.答案：4解析：ba11=(ba11)(a+b)=2+baab≥4.所以ba11的最小值为4，m≤ba11恒成立，m的最大值是4.9.在下面等号右侧两个分数的分母括号处，各填上一个自然数，并且使两个自然数的和最小.1=)(9)(1.答案：412解析：设所求数为m,n故求μ=m+n的最小值，且nm91=1.又μ=(m+n)·1=(m+n)·(nm91)=10+nmmn9≥16,此时m=4,n=12.10.已知双曲线（x-h）(y-k)=a(a≠0)的水平渐近线为y=k,垂直渐近线为x=h，双曲线中心为（h,k），若双曲线y=1xx上的点到它的水平渐近线、垂直渐近线、中心的距离分别为d1,d2,d3，则d1+d2+d3的最小值为___________________.答案：2+2解析：设点P为（x0,y0），易知水平渐近线为x=1时，垂直渐近线为y=1，中心为（1，1），故d1=|y0-1|,d2=|x0-1|,d3=2020)1()1(yx,∴d1+d2+d3=|110x|+|x0-1|+|1||11|00xx≥2+2.等号当且仅当|110x|=|x0-1|即x0=0或x0=2时成立.三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）11.（1）求函数y=x+x21(x＜0)的最大值；（2）求函数y=31x+x(x＞3)的最小值.解析：（1）x＜0,∴y=x+x21=-［(-x)+)2(1x］≤-2)2(1)(xx=-2.当且仅当x=-22时，取等号.∴ymax=-2.(2)∵x＞3,∴y=31x+x=31x+(x-3)+3≥5.当且仅当x-3=31x,即x=4时，取等号.∴ymin=5.12.设a、b、c∈R+,求证：22ba+22cb+22ac≥2(a+b+c).证明：∵a2+b2≥2ab,∴2(a2+b2)≥(a+b)2①于是22ba≥22|a+b|=22(a+b).②同理：22cb≥22(b+c),22ac≥22(c+a).③①+②+③式相加得：22ba+22cb+22ac≥2(a+b+c).13.某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米造价45元，屋顶每平方米造价20元，试计算：（1）仓库面积S的最大允许值是多少？（2）为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解析：（1）设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，则S=xy，由题意得40x+2×45y＋20xy=3200,应用二元均值不等式，得3200≥2yx9040+20xy,即S+6S≤160,而（S+16）（S-10）≤0.∴S≤10S≤100.因此S的最大允许值是100米2.（2）当.9040,100yxxy即x=15米，即铁栅的长为15米.14.是否存在常数c，使得不等式yxyyxx22≤c≤yxyyxx22对任意正实数x,y恒成立？证明你的结论.解析：存在常数c=32.证明：令.32,32,2,2mnynmxnyxmyx故有yxyyxx22=)33(343232nmmnnmnmnm≤34-32=32,同理可证yxyyxx22≥32.