2011高考数学湖南卷

2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）文史类本试题包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页．时量120分钟，满分150分．参考公式（1）柱体体积公式VSh，其中S为底面面积，h为高．（2）球的体积公式343VR，其中R为球的半径．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{1,2,3,4,5},{2,4},UUMNMCN则N（）A．{1,2,3}B．{1,3,5}Ｃ．{1,4,5}Ｄ．{2,3,4}２．若,,abRi为虚数单位，且()aiibi，则Ａ．1,1abＢ．1,1abＣ．1,1abＤ．1,1ab３．1||1xx是的A．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件４．设图１是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A．942Ｂ．3618Ｃ．9122Ｄ．91825．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由2222()110(40302030)7.8()()()()60506050nadbcKKabcdacbd算得,附表：2()PKk0．0500．0100．001k3．8416．63510．828参照附表，得到的正确结论是（）A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”332正视图侧视图俯视图图1C．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”6．设双曲线2221(0)9xyaa的渐近线方程为320,xy则a的值为（）A．4B．3C．2D．17．曲线sin1sincos2xyxx在点(,0)4M处的切线的斜率为（）A．12B．12C．22D．228．已知函数2()1,()43,xfxegxxx若有()(),fagb则b的取值范围为A．[22,22]B．(22,22)C．[1,3]D．(1,3)二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题解分，共青团员5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在第9，10两题中任选一题作答，如果全做，则按前一题记分）9．在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为2cos(3sinxy为参数)．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线2C的方程为(cossin)10,则1C与2C的交点个数为．10．已知某试验范围为[10，90]，若用分数法进行4次优选试验，则第二次试点可以是．(二)必做题（11-16题）11．若执行如图2所示的框图，输入12341,2,4,8,xxxx则输出的数等于．12．已知()fx为奇函数，()()9,(2)3,(2)gxfxgf则．13．设向量,ab满足||25,(2,1),ab且ab与的方向相反，则a的坐标为．开始输入1234,,,xxxx1,0ixixxx开始4?i开始否是结束输出x4xx1ii开始图214．设1,m在约束条件1yxymxxy下，目标函数5zxy的最大值为4，则m的值为．15．已知圆22:12,Cxy直线:4325.lxy（1）圆C的圆心到直线l的距离为．(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为．16、给定*kN，设函数**:fNN满足：对于任意大于k的正整数n，()fnnk（1）设1k，则其中一个函数f在1n处的函数值为；（2）设4k，且当4n时，2()3fn，则不同的函数f的个数为。三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc且满足sincos.cAaC（I）求角C的大小；（II）求3sincos()4AB的最大值，并求取得最大值时角,AB的大小．18．（本题满分12分）某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量X（单位：毫米）有关．据统计，当X=70时，Y=460；X每增加10，Y增加5；已知近20年X的值为：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160．（I）完成如下的频率分布表：近20年六月份降雨量频率分布表降雨量70110140160200220频率120420220（II）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份的降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率．19．（本题满分12分）如图3，在圆锥PO中，已知2,POO的直径2,,ABCABDAC点在上,且CAB=30为的中点．（I）证明：;ACPOD平面（II）求直线和平面PAC所成角的正弦值．20．（本题满分13分）某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%．（I）求第n年初M的价值na的表达式；（II）设12,nnaaaAn若nA大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新，证明：须在第9年初对M更新．21．已知平面内一动点P到点F（1，0）的距离与点P到y轴的距离的等等于1．（I）求动点P的轨迹C的方程；（II）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线12,ll，设1l与轨迹C相交于点,AB，2l与轨迹C相交于点,DE，求ADEB的最小值．22．（本小题13分）设函数1()ln().fxxaxaRx(I)讨论()fx的单调性；（II）若()fx有两个极值点12xx和，记过点1122(,()),(,())AxfxBxfx的直线的斜率为k，问：是否存在a，使得2?ka若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．1.答案：B解析：画出韦恩图，可知N{1,3,5}。2.答案：C解析：因()1aiiaibi，根据复数相等的条件可知1,1ab。3.答案：A解析：因1||1xx，反之||111xxx或，不一定有1x。4.答案：D解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积3439+332=18322V（）。5.答案：A解析：由27.86.635K，而2(6.635)0.010PK，故由独立性检验的意义可知选A.6.答案：C解析：由双曲线方程可知渐近线方程为3yxa，故可知2a。7.答案：B解析：22cos(sincos)sin(cossin)1'(sincos)(sincos)xxxxxxyxxxx，所以2411'|2(sincos)44xy。8.答案：B解析：由题可知()11xfxe，22()43(2)11gxxxx，若有()(),fagb则()(1,1]gb，即2431bb，解得2222b。9.答案：2解析：曲线221:143xyC，曲线2:10Cxy，联立方程消y得27880xy，易得0，故有2个交点。10.答案：40或60（只填一个也正确）解析：有区间长度为80，可以将其等分8段，利用分数法选取试点：1510(9010)608x，210906040x，由对称性可知，第二次试点可以是40或60。11.答案：154解析：由框图功能可知，输出的数等于12341544xxxxx。12.答案：6解析：(2)(2)93,(2)6gff则，又()fx为奇函数，所以(2)(2)6ff。13.答案：(4,2)解析：由题2||215b，所以2(4,2).ab14.答案：3解析：画出可行域，可知5zxy在点1(,)11mmm取最大值为4，解得3m。15.答案：5，16解析：（1）由点到直线的距离公式可得2225543d；（2）由（1）可知圆心到直线的距离为5，要使圆上点到直线的距离小于2，即1:4315lxy与圆相交所得劣弧上，由半径为23，圆心到直线的距离为3可知劣弧所对圆心角为3，故所求概率为1326P.16.答案：（1）()aa为正整数，（2）16解析：（1）由题可知*()fnN，而1k时，1n则*()1fnnN，故只须*(1)fN，故(1)()faa为正整数。（2）由题可知4k，4n则*()4fnnN，而4n时，2()3fn即(){2,3}fn，即{1,2,3,4}n，(){2,3}fn，由乘法原理可知，不同的函数f的个数为4216。17.解析：（I）由正弦定理得sinsinsincos.CAAC因为0,A所以sin0.sincos.cos0,tan1,4ACCCCC从而又所以则（II）由（I）知3.4BA于是3sincos()3sincos()43sincos2sin().63110,,,,46612623ABAAAAAAAAA从而当即时2sin()6A取最大值2．综上所述，3sincos()4AB的最大值为2，此时5,.312AB18.解：（I）在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为降雨量70110140160200220频率120320420720320220（II）(132320202010P发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时)=P(Y490或Y530)=P(X130或X210)=故今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率为310．19.解析：（I）因为,OAOCDAC是的中点,所以ACOD.又,,.POOACOACOD底面底面所以PO是平面POD内的两条相交直线，所以;ACPOD平面（II）由（I）知，,ACPOD平面又,ACPAC平面所以平面,PODPAC平面在平面POD中，过O作OHPD于H,则,OHPAC平面连结CH，则CH是OCPAC在平面上的射影，所以OCH是直线OC和平面PAC所成的角．在221222,3124POODRtPODOHPOOD中在2,sin3OHRtOHCOCHOC中20.解析：（I）当6n时，数列{}na是首项为120，公差为10的等差数列．12010(1)13010;nann当6n时，数列{}na是以6a为首项，公比为34为等比数列，又670a，所以6370();4nna因此，第n年初，M的价值na的表达式为612010(1)13010,6370(),74nnnnnnaan(II)设nS表示数列{}na的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得当16n时，1205(1),1205(1)1255;nnSnnnAnn当7n时，666786333()570704[1()]780210()4443780210()4.nnnnnnSSaaaAn因为{}na是递减数列，所以{}nA是递减数列，又86968933780210()780210(