2011高考数学萃取精华30套(24)

2011高考数学萃取精华30套（24）1.德兴二模21．正数数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝an+1．(1)试求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝1an·an+1，{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn12．21．（1）∵an0，12nnaS，∴2112)1(4,)1(4nnnnaSaS，则当n≥2时，,2241212nnnnnaaaaa即0)2)((11nnnnaaaa，而an0，∴)2(21naann又12,1,12111naaaSn则…………………6分(2)21)1211(21),121121(21)12)(12(1nTnnnnbnn…12分22．已知函数f(x)定义在区间（－1，1）上，f(12)＝－1，且当x，y∈(－1，1)时，恒有f(x)－f(y)＝f(x－y1－xy)，又数列{an}满足a1＝12，an+1＝2an1+an2，设bn＝1f(a1)＋1f(a2)＋…＋1f(an)．⑴证明：f(x)在（－1，1）上为奇函数；⑵求f(an)的表达式；⑶是否存在正整数m，使得对任意n∈N，都有bnm－84成立，若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．22．（1）令x＝y＝0，则f(0)＝0，再令x＝0，得f(0)－f(y)＝f(－y)，∴f(－y)＝－f(y)，y∈(－1，1)，∴f(x)在（－1，1）上为奇函数．…………………3分（2）),1()()()1(,1)21()(1xyyxfyfxffaf知由)(2)()()1()12()(21nnnnnnnnnnafafafaaaafaafaf，即2)()(1nnafaf∴{f(an)}是以－1为首项，2为公比的等比数列，∴f(an)＝－12n．……………7分（3）112212211211)2121211(nnnnb．若48mbn恒成立（n∈N＋），则.242421211nnm，m即∵n∈N＋，∴当n＝1时，124n有最大值4，故m4．又∵m∈N，∴存在m＝5，使得对任意n∈N＋，有48mbn．…………………………………………………14分2.衢州二模20．（本小题满分14分）已知数列{}na的前n项和为nS，且对任意*Nn，有,,nnnaS成等差数列．（Ⅰ）记数列*1(N)nnban，求证：数列nb是等比数列．（Ⅱ）数列na的前n项和为nT，求满足221117227nnTnTn的所有n的值．(20)本题满分14分（Ⅰ）证明：naSnn2，)1(211naSnn12122111nnnnnaaaaa，11122211nnnnnnbaabaa又由1111211Saaa所以数列nb是首项为2，公比为2的等比数列…………………(7分)（Ⅱ）解：12nnnba，21nna122nnTn，22111172227nnnTnTn所以n的值为3，4……………………………………………………(14分)21．（本小题满分15分）已知函数3221()231(1)3fxxaxaxa．（Ⅰ）求函数()yfx的极小值；（Ⅱ）若对任意x[1,2],恒有2()21fxa，求a的取值范围．（21）本题满分15分(Ⅰ)解:)3)((34)(22'axaxaaxxxf,因为1a，所以aa3，)(xf的极小值为1)3(af……………………………………………(6分)(Ⅱ)解:若21a时，当ax,1时)(,0)(/xfxf在a,1上递增，当2,ax时/()fx＜0,()fx在2,a上递减，所以)(xf的最大值为134)(2aaf，令224121,12,123aaaRaa又所以；若2a时，当2,1x时)(,0)(/xfxf在2,1上递增，所以)(xf的最大值为0263123586,3586)2(2222aaaaaaaf令361361a，又2a，所以无解。由上可在知12a……………………………………………(15分)22．（本小题满分15分）已知圆P过点1(0,)4F,且与直线14y相切．（Ⅰ）求圆心P的轨迹M的方程；（Ⅱ）若直角三角形ABC的三个顶点在轨迹M上，且点B的横坐标为1，过点AC、分别作轨迹M的切线，两切线相交于点D，直线AC与y轴交于点E，当直线BC的斜率在[34]，上变化时，直线DE斜率是否存在最大值，若存在，求其最大值和直线BC的方程；若不存在，请说明理由？(22)本题满分15分(Ⅰ)解：（1）pyx22，yxp2,21所以…………………………(5分)(Ⅱ)解:B)1,1(，设211,xxA，222,xxC，21212221xxxxxxkAC设BC的斜率为k,则,01)1(122kkxxyxxky0442kk，又1,1kxkxcc，C),)1(,1(2kkA),)11(,11(2kkOyxF2121kkxxkAC，直线AC的方程为)1()21()1(2kxkkky，令kkkkyx10,E,1,0所以AD:21111212)(2xxxyxxxxy同理CD:2222xxxy，联立两方程得Dkkkk1),21(21kkkkkkkkkkkkkkkkED122141214)12(2112)12(211122令上在则4,3,1ukku递减，所以，当3k时，EDk最大为8所以，BC的方程为,131xy即023yx……………………………(15分)3.大同一模22、(本题满分16分)如图，P是圆224xy上的动点，P点在x轴上的投影是D，点M满足12DMDP.（1）求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形；（2）过点(3,0)N的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点,AB，求以,OAOB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程.（3）若存在点(,0)Qa，使得四边形QAFB为菱形（,AB意义同（2）），求实数a的取值范围.OPDMxy解：（1）动点M的轨迹C的方程：2214xy（2）顶点E的轨迹方程：228460(0)3xyxx（3）实数a的取值范围：0,123、（本题满分18分）若无穷等差数列}{na中，11a，公差为d，前n项和为nS，其中cSSnn2（c为常数）（1）求d的值；（2）若0d，数列}{nb的前n项和为nT，且nanb2，若对于任意的正整数n总有221nnnTTmT恒成立，求实数m的取值范围.解：（1）20dord（2）79m19、（本题满分14分）如图，椭圆byax222＝1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B(0,1)的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=23.(Ⅰ)求椭圆方程；征婚网嵇吀夻(Ⅱ)设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，求证：2121||||||2ATAFAF＝。19解：（Ⅰ）过A、B的直线方程为12xy因为由题意得22221112xyabyx有惟一解。即2222221()04baxaxab有惟一解,所以2222(44)0(0),ababab，故22(44)0ab又因为32c,即22234aba，所以224ab从而得2212,,2ab故所求的椭圆方程为22212xy.（Ⅱ）由（Ⅰ）得62c,所以1266(,0),(,0)22FF由22221112xyabyx解得121,xx,因此1(1,)2T.从而254AT,因为1252AFAF,所以21212ATAFAF……12分20．（本小题满分14分）已知数列}{),,2(2,43,41:}{*1121nnnnnbNnnaaaaaa数列满足满足：.}{),,2(3,0*11nnnnSnbNnnnbbb项和为的前数列（I）求证：数列}{nnab为等比数列；（II）求证：数列}{nb为递增数列；（III）若当且仅当1,,3bSnn求取得最小值时的取值范围。20．解：（I）),2(2*11Nnnaaannn}{na是等差数列又43,4121aa41221)1(41nnan2分),2(331*1Nnnnbbnn)412(31121231412313111nbnbnnbabnnnnn)(31nnab5分又041111bab41}{1babnn是为首项，以31为公比的等比数列6分（II）412,)31()41(11nababnnnn412)31()41(11nbbnn当211)31)(41(3221,2nnnbbbn时又01b01nnbb}{nb是单调递增数列9分（III）3n当且仅当时,取最小值nS0043bb即,0)31)(41(470)31)(41(453121bb)11,47(1b12分21．（本小题满分14分）已知函数).0(31)(,12)(232axaaxxgxxxf（I）当)(,]3,0[xfx求时的值域；（II）对于任意)(61)(],3,0[],3,0[2121xgxfxx使总存在成立，求实数a的取值范围。21．解：（I）22222)1()1)(1(2)1(22)(xxxxxxfx0（0，1）1（1，3）3)(xf+0-)(xf0153]1,0[)(的值域为函数xf4分（II）设]3,0[x时，函数)(61xgy的值域为A，]3,0[1x对于任意，总存在)(61)(],3,0[212xgxfx使A]1,0[)()(222axaaaxxg（1）当)3,0(,0xa时时，)3,0()(,0)(在函数xgxg上单调递减，)0()()3(gxgg200905140)0(gA]1,0[不满足…………………………8分（2）当0a时，),)(()(axaxaxg令,0)(xgaxax21或（舍去）①当90,30aa即时，列表如下：x0),0(aa)3,(a3)(xg-0+)(xg0aa232239aa,0)(,0)0(agg若A]1,0[，则1)39(61)3(612aag21a………………………………11分②当9,3aa即时，)3,0(x时，,0)(xg函数)3,0()(在xg上单调递减)0()()3(gxgg,0)0(gA]1,0[不满足……………………13分综上，实数a的取值范围是.21a…………………………14分