2011高考数学课下练兵：双曲线

书利华教育网精心打造一流新课标资料第八章第八节双曲线课下练兵场[来书利华教育网精心打造一流新课标资料]命题报告难度及题号知识点容易题(题号)中等题(题号)稍难题(题号)双曲线的定义及其标准方程1、28、10双曲线的几何性质34、5、7、9直线与双曲线的位置关系611、12一、选择题1．已知定点A、B，且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值是()A.12B.32C.72D．5解析：因为|AB|＝4，|PA|－|PB|＝3，故满足条件的点在双曲线右支上，则|PA|的最小值为右顶点到A的距离2＋32＝72.答案：C2．已知点F1(－2，0)，F2(2，0)，动点P满足|PF2|－|PF1|＝2，当点P的纵坐标是12时，点P到坐标原点的距离是()A.62B.32C.3D．2解析：由已知可知c＝2，a＝1，∴b＝1，∴双曲线方程为x2－y2＝1(x≤－1)．代入12可求P的横坐标为x＝－52.∴P到原点的距离为(－52)2＋(12)2＝62.答案：A3．已知双曲线9y2－m2x2＝1(m＞0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m＝()A．1B．2C．3D．4书利华教育网精心打造一流新课标资料解析：双曲线9y2－m2x2＝1(m＞0)，一个顶点(0，13)，一条渐近线3y－mx＝0，132＋m2＝15⇒m＝4.答案：D4．设F1、F2分别是双曲线x2－y29＝1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且1PF·2PF＝0，则|1PF＋2PF|＝()A.10B．210C.5D．25解析：设F1、F2分别是双曲线x2－y29＝1的左、右焦点．点P在双曲线上，且1PF·2PF＝0，则|1PF＋2PF|＝2|PO|＝|12FF|＝210.答案：B5．F1、F2是双曲线C的两个焦点，P是C上一点，且△F1PF2是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为()A．1＋2B．2＋2C．3－2D．3＋2解析：由△PF1F2为等腰直角三角形，又|PF1|≠|PF2|，故必有|F1F2|＝|PF2|，即2c＝b2a，从而得c2－2ac－a2＝0，即e2－2e－1＝0，解之得e＝1±2，∵e＞1，∴e＝1＋2.答案：A6．斜率为2的直线l过双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线的离心率e的取值范围是()A．e＜2B．1＜e＜3C．1＜e＜5D．e＞5解析：依题意，结合图形分析可知，双曲线的一条渐近线的斜率ba必大于2，即ba＞2，因此该双曲线的离心率书利华教育网＝ca＝a2＋b2a＝1＋(ba)2＞5.答案：D二、填空题7．(2010·平顶山模拟)A、F分别是双曲线9x2－3y2＝1的左顶点和右焦点，P是双曲线右支上任一点，若∠PFA＝λ·∠PAF，则λ＝________.解析：特殊值法，取点P为(23，1)，得∠PFA＝2∠PAF，故λ＝2.答案：28．已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋8＝0.以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为____________．解析：令x＝0，得y2－4y＋8＝0，方程无解．即该圆与y轴无交点．令y＝0，得x＝2或x＝4，符合条件的双曲线a＝2，c＝4，∴b2＝c2－a2＝16－4＝12且焦点在x轴上，∴双曲线方程为x24－y212＝1.答案：x24－y212＝19．双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率是2，则b2＋13a的最小值是________．解析：ca＝2⇒c2a2＝4⇒a2＋b2＝4a2⇒3a2＝b2，则b2＋13a＝3a2＋13a＝a＋13a≥213＝233，当a＝13a即a＝33时取最小值233.答案：233三、解答题10．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．点M(3，m)在双曲线上．(1)求双曲线方程；(2)求证：1MF·2MF＝0；(3)求△F1MF2面积．解：(1)∵e＝2，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ.∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.书利华教育网精心打造一流新课标资料∴双曲线方程为x2－y2＝6.(2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中a＝b＝6，∴c＝23，∴F1(－23，0)，F2(23，0)，∴kMF1＝m3＋23，kMF2＝m3－23，kMF1·kMF2＝m29－12＝－m23.∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.∴1MF·2MF＝0.法二：∵1MF＝(－3－23，－m)，2MF＝(23－3，－m)，∴1MF·2MF＝(3＋23)×(3－23)＋m2＝－3＋m2，∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴1MF·2MF＝0.(3)△F1MF2的底|F1F2|＝43，由(2)知m＝±3.∴△F1MF2的高h＝|m|＝3，∴S△F1MF2＝6.11．(2010·西安模拟)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率e＝233，直线l过A(a,0)，B(0，－b)两点，原点O到直线l的距离是32.(1)求双曲线的方程；(2)过点B作直线m交双曲线于M、N两点，若OM·ON＝－23，求直线m的方程．解：(1)依题意，l方程xa＋y－b＝1，即bx－ay－ab＝0，由原点O到l的距离为32，得aba2＋b2＝abc＝32，又e＝ca＝233，∴b＝1，a＝3.故所求双曲线方程为x23－y2＝1.(2)显然直线m不与x轴垂直，设m方程为y＝kx－1，则点M、N坐标(x1，y1)，(x2，书利华教育网)是方程组y＝kx－1x23－y2＝1的解，消去y，得(1－3k2)x2＋6kx－6＝0.①依题意，1－3k2≠0，由根与系数关系，知x1＋x2＝6k3k2－1，x1x2＝63k2－1OM·ON＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－1)(kx2－1)＝(1＋k2)x1x2－k(x1＋x2)＋1＝6(1＋k2)3k2－1－6k23k2－1＋1＝63k2－1＋1.又∵OM·ON＝－23，∴63k2－1＋1＝－23，k＝±12，当k＝±12时，方程①有两个不相等的实数根，∴方程为y＝12x－1或y＝－12x－1.12．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为23.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围；(3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，b)，求b的取值范围．解：(1)设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．由已知得：a＝3，c＝2，再由a2＋b2＝c2，∴b2＝1，∴双曲线方程为x23－y2＝1.(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，将y＝kx＋2代入x23－y2＝1，得(1－3k2)x2－62kx－9＝0.书利华教育网精心打造一流新课标资料由题意知Δ＝36(1－k2)＞0，xA＋xB＝62k1－3k2＜0，xAxB＝－91－3k2＞0，解得33＜k＜1.∴当33＜k＜1时，l与双曲线左支有两个交点．(3)由(2)得：xA＋xB＝62k1－3k2，∴yA＋yB＝(kxA＋2)＋(kxB＋2)＝k(xA＋xB)＋22＝221－3k2，∴AB的中点P的坐标为(32k1－3k2，21－3k2)．设直线l0的方程为：y＝－1kx＋b，将P点坐标代入直线l0的方程，得b＝421－3k2.∵33＜k＜1，∴－2＜1－3k2＜0，∴b＜－22.∴b的取值范围为(－∞，－22)．