2011高考数学课下练兵：直线与圆锥的位置关系[理]

taoti.tl100.com你的首选资源互助社区诚信经营超值服务——天利会员：诚信精品——与您共建淘题精品世界第1页共7页第八章第十节直线与圆锥的位置关系[理]课下练兵场命题报告难度及题号知识点容易题(题号)中等题(题号)稍难题(题号)直线与圆锥曲线的位置关系1、35、7、8、9相交弦的问题2、46综合应用1011、12一、选择题1．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A．[－12，12]B．[－2,2]C．[－1,1]D．[－4,4]解析：设直线方程为y＝k(x＋2)，与抛物线联立方程组，整理得ky2－8y＋16k＝0.当k＝0时，直线与抛物线有一个交点．当k≠0时，由Δ＝64－64k2≥0，解得－1≤k≤1.所以－1≤k≤1.答案：C2．(2010·西城模拟)设斜率为1的直线l与椭圆C：x24＋y22＝1相交于不同的两点A、B，则使|AB|为整数的直线l共有()A．4条B．5条C．6条D．7条解析：设直线AB的方程为y＝x＋b，代入椭圆C：x24＋y22＝1，可得3x2＋4bx＋2b2－4＝0，由Δ＝16b2－12(2b2－4)0，可得b26，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝2×(x1＋x2)2－4x1x2＝2×(－4b3)2－4×2b2－43＝436－b2，分别取b2＝154，8716，1516时，可分别得|AB|＝2,1,3，此时对应的直线l有6条．答案：C3．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作倾斜角为30°的直线与椭圆有一个交点P，且PF2⊥x轴，则此椭圆的离心率e为()A.33B.32C.22D.23taoti.tl100.com你的首选资源互助社区诚信经营超值服务——天利会员：诚信精品——与您共建淘题精品世界第2页共7页解析：在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，|F1F2|＝2c，|PF1|＝2|PF2|，根据椭圆的定义得|PF2|＝23a，|PF1|＝43a，又|PF1|2－|PF2|2＝|F1F2|2，即169a2－49a2＝4c2，∴e＝ca＝33.答案：A4．过抛物线y2＝4x的焦点F作两条弦AB和CD，且AB⊥x轴，|CD|＝2|AB|，则弦CD所在直线的方程是()A．x－y－1＝0B．x－y－1＝0或x＋y－1＝0C．y＝2(x－1)D．y＝2(x－1)或y＝－2(x－1)解析：依题意知AB为抛物线的通径，|AB|＝2p＝4，|CD|＝2|AB|＝8，显然满足条件的直线CD有两条，验证选项B，由y2＝4x，y＝x－1得：x2－6x＋1＝0，x1＋x2＝6，此时|CD|＝x1＋x2＋p＝8，符合题意．同理，x＋y－1＝0也符合题意．答案：B5．已知F1、F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两个焦点，以线段F1F2为斜边作等腰直角三角形F1MF2，如果线段MF1的中点在双曲线上，则该双曲线的离心率是()A.6＋2B.6－2C.10＋22D.10－22解析：记双曲线的焦距为2c.依题意知点M在y轴上，不妨设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，M在y轴正半轴上，则有F1(－c,0)，M(0，c)，线段MF1的中点坐标是(－c2，c2)．又线段MF1的中点在双曲线上，于是有(－c2)2a2－(c2)2b2＝1，即c2a2－c2b2＝4，c2a2－c2c2－a2＝4，(e2)2－6e2＋4＝0，e2＝3±5.又e21，因此e2＝3＋5，注意到(10＋22)2＝3＋5，e＝10＋22.答案：C6．斜率为1的直线l与椭圆x24＋y2＝1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为()A．2B.455C.4105D.8105解析：设直线l的方程为y＝x＋t，代入x24＋y2＝1，消去y得54x2＋2tx＋t2－1＝0，由题意得Δ＝(2t)2－5(t2－1)＞0，即t2＜5.弦长|AB|＝42×5－t25≤4105.taoti.tl100.com你的首选资源互助社区诚信经营超值服务——天利会员：诚信精品——与您共建淘题精品世界第3页共7页答案：C二、填空题7．若斜率为22的直线l与椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)有两个不同的交点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为________．解析：由题意易知两交点的横坐标为－c，c，纵坐标分别为－b2a，b2a，所以由b2a－(－b2a)c－(－c)＝22⇒2b2＝2ac＝2(a2－c2)，即2e2＋2e－2＝0，解得e＝22(负根舍去)．答案：228．已知直线l与抛物线y2＝8x交于A、B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8,8)，则线段AB的中点到准线的距离是________.解析：由y2＝8x知2p＝8，p＝4.设B点坐标为(xB，yB)，由AB直线过焦点F，∴直线AB方程为y＝43(x－2)，把点B(xB，yB)代入上式得：yB＝43(xB－2)＝43(y2B8－2)，解得yB＝－2，∴xB＝12，∴线段AB中点到准线的距离为8＋122＋2＝254.答案：2549．已知抛物线y2＝2px(p0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2－y2a＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝________.解析：根据抛物线的焦半径公式得1＋p2＝5，p＝8.不妨取M(1,4)，则AM的斜率为2，由已知得－a×2＝－1，故a＝14.答案：14三、解答题10．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的一个顶点为A(0,1)，且它的离心率与双曲线x23－y2＝1的离心率互为倒taoti.tl100.com你的首选资源互助社区诚信经营超值服务——天利会员：诚信精品——与您共建淘题精品世界第4页共7页数．(1)求椭圆的方程；(2)过点A且斜率为k的直线l与椭圆相交于A、B两点，点M在椭圆上，且满足OM＝12OA＋32OB，求k的值．解：(1)∵双曲线x23－y2＝1的离心率为233，∴椭圆的离心率为32.又∵b＝1，∴a＝2.∴椭圆的方程为x24＋y2＝1.(2)设直线l的方程为y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(m，n)．由y＝kx＋1，x24＋y2＝1，得(1＋4k2)x2＋8kx＝0，∴x1＋x2＝－8k1＋4k2，x1·x2＝0.∵OM＝12OA＋32OB，∴m＝12(x1＋3x2)，n＝12(y1＋3y2)，∵点M在椭圆上，∴m2＋4n2＝4，∴14(x1＋3x2)2＋(y1＋3y2)2＝14[(x21＋4y21)＋3(x22＋4y22)＋23x1x2＋83y1y2]＝14[4＋12＋83y1y2]＝4.∴y1y2＝0，∴(kx1＋1)(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝k·(－8k1＋4k2)＋1＝0，即k2＝14，∴k＝±12.此时Δ＝(8k)2－4(1＋4k2)×0＝64k2＝16＞0∴k的值为±12.11．(2010·大连模拟)椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的长轴为短轴的3倍，直线y＝x与椭圆交于A、B两点，Ctaoti.tl100.com你的首选资源互助社区诚信经营超值服务——天利会员：诚信精品——与您共建淘题精品世界第5页共7页为椭圆的右顶点，OA·OC＝32.(1)求椭圆的方程；(2)若椭圆上两点E、F使OE＋OF＝λOA，λ∈(0,2)，求△OEF面积的最大值．解：(1)根据题意，a＝3b，C(a,0)，设A(t，t)，则t0，t2a2＋t2b2＝1.解得t2＝a2b2a2＋b2＝34b2，即t＝32b，∴OA＝(32b，32b)，OC＝(a,0)，OA·OC＝32ab＝323b2＝32，∴b＝1，a＝3，∴椭圆方程为x23＋y2＝1.(2)设E(x1，y1)，F(x2，y2)，EF中点为M(x0，y0)，∵OE＋OF＝λOA，∴2x0＝x1＋x2＝32λ，2y0＝y1＋y2＝32λ，∵E、F在椭圆上，则x213＋y21＝1，①x223＋y22＝1，②由①－②得x21－x223＋y21－y22＝0，∴kEF＝y1－y2x1－x2＝－13×x1＋x2y1＋y2＝－13，∴直线EF的方程为y－34λ＝－13(x－34λ)，即x＝－3y＋3λ，代入x23＋y2＝1，整理得4y2－23λy＋λ2－1＝0，∴y1＋y2＝32λ，y1y2＝λ2－14，∴|EF|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝10|y1－y2|taoti.tl100.com你的首选资源互助社区诚信经营超值服务——天利会员：诚信精品——与您共建淘题精品世界第6页共7页＝10·3λ2－4(λ2－1)2＝10·4－λ22，又∵原点O(0,0)到直线EF的距离为h＝3λ10，∴S△OEF＝12|EF|h＝3λ4－λ24＝34λ2(4－λ2)≤34×λ2＋4－λ22＝32，当λ＝2时等号成立，所以△OEF面积的最大值为32.12．已知椭圆C1的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为e＝32，点P为椭圆上一动点，点F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，且△PF1F2面积的最大值为3.(1)求椭圆C1的方程；(2)设椭圆短轴的上端点为A，点M为动点，且15|2FA|2，122FM·AM，1AF·OM成等差数列，求动点M的轨迹C2的方程；(3)过点M作C2的切线l交C1于Q、R两点，求证：OQ·OR＝0.解：(1)设椭圆C1的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，c＝a2－b2，则ca＝32，所以a＝2b.由椭圆的几何性质知，当点P为椭圆的短轴端点时，△PF1F2的面积最大，故12|F1F2|b＝bc＝3，解得a＝2，b＝1.故所求椭圆方程为x24＋y2＝1.(2)由(1)知A(0,1)，F1(－3，0)，F2(3，0)，设M(x，y)，则2FA＝(－3，1)，2FM＝(x－3，y)，AM＝(x，y－1)，1AF＝(－3，－1)．由已知条件得x(x－3)＋y(y－1)＝45－3x－y，整理，得M的轨迹C2的方程为x2＋y2＝45.(3)证明：l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx＋m，代入椭圆方程并整理，得(1＋4k2)x2＋8mkx＋4m2－4＝0，Δ＝(8mk)2－16(m2－1)(1＋4k2)0.设Q(x1，y1)，R(x2，y2)，则x1＋x2＝－8mk1＋4k2，x1·x2＝4m2－41＋4k2，taoti.tl100.com你的首选资源互助社区诚信经营超值服务——天利会员：诚信精品——与您共建淘题精品世界第7页共7页所以y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，OQ·OR＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝(1＋k2)(4m2－4)1＋4k2－8m2k21＋4k2＋m2＝5m2－4k2－41＋4k2.又l与C2相切，所以|m|1＋k2＝255，即5m2－4k2－4＝0.所以OQ·OR＝0.当l的斜率不存在时，l的方程为x＝±255，带入椭圆方程得Q(255，255)，R(255，－255)或Q(－255，255)，R(－255，－255)，此时，OQ·OR＝45－45＝0.综上所述，OQ·OR＝0.