18连续性间断点

连续函数是非常重要的一类函数,也是函数的一种重要的性态.自然界中的许多变量都是连续变化着的,即在很短的时间内,它们的变化都是很微小的.这种现象反映在函数关系上,就是函数的连续性;对函数曲线来说就是从起点开始到终点都不间断.1.8函数的连续性与间断点1.8函数的连续性与间断点一、函数的连续性二、函数的间断点与分类三、连续函数的运算四、初等函数的连续性一.函数的连续性1.增量的概念（定义1.10）,)()(内有定义在设函数0xUxf),()(0xfxfyxy0xy00xxx0)(xfyxxx00xxyy)(xfy,0xxx),(0xUx.的增量称为自变量在点0x.)(的增量相应于称为函数xxf曲线不断曲线断开1.8函数的连续性与间断点2.连续的定义设函数)(xf在)(0xU内有定义,如果,xxx0设),()(0xfxfy,00xxx就是).()(00xfxfy就是设函数)(xf在)(0xU内有定义,如果0lim0yx或0)]()([lim000xfxxfx,称函数)(xf在点0x连续,0x称为)(xf的连续点.定义1.11定义1.12那末就称函数)(xf在点0x连续.1.8函数的连续性与间断点函数在一点连续必须满足3个必要条件：对定义的一点说明：(1)在点即(2)极限(3)存在;有定义,存在;定义一般用来证明分段函数在分段点的连续性。1.8函数的连续性与间断点例1.,,,,sin)(处连续在试证函数00001xxxxxxf证,01sinlim0xxx,0)0(f又.)(处连续在函数0xxf),0()(lim0fxfx1.8函数的连续性与间断点例2的连续性.在讨论函数0001x,xx,,x-x,f(x)cos解10)(f)(lim)(xffx00xxcoslim01)(lim)(xffx00)(limxx101函数在x=0点既左连续又右连续连续.处在所以0xf(x)1-8函数的连续性与间断点3.单侧连续,内有定义在若函数],()(0xaxf左连续和右连续统称为单侧连续。处连续在函数0xxf)(,内有定义在若函数)[)(,bxxf0;处左连续在点则称0xxf)(,且)()(00xfxf),()(00xfxf且.处右连续在点则称0xxf)(.)(处既左连续又右连续在是函数0xxf1.8函数的连续性与间断点例3的连续性.在讨论0010x,x,,x,xxf(x)sin解10)(f)(lim)(xffx00xxxsinlim01)(lim)(xffx001连续.处不在所以0xf(x)xxxsinlim0)()(00ff1.8函数的连续性与间断点4.区间上连续在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续..],[)(,,,),(上连续在闭区间则称函数处左连续在右端点处右连续端点并且在左内连续如果函数在开区间baxfbxaxba连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.连续函数的几何意义：注：应用定义可以证明函数在定义域内连续。1.8函数的连续性与间断点例4.),(sin内连续在定义域函数证明xy证),,(x任取xxxysin)sin()2cos(2sin2xxx,1)2cos(xx.sin22xy则,,时当对任意的0|,|sin有,sinxxy22故.,00yx时当.),(sin都是连续的对任意函数即xxy同理可证函数y=cosx在定义域内连续1.8函数的连续性与间断点例5.),(),(内连续在定义域函数证明10aaayx证),,(x任取xxxaayyx0lim.),(都是连续的对任意函数即xayx)(1xxaa)(lim10xxxaa)(lim10xxxaa01.8函数的连续性与间断点)()(lim00xfxfxx)()(lim000xfxxfx0lim0yx)()()(000xfxfxf左连续右连续函数在点连续有下列等价命题:连续的等价命题1.8函数的连续性与间断点5.在某点连续与极限存在的关系：连续极限存在；6.函数在某点连续的证明与判断：1）函数在该点是否有定义？2）函数在该点极限是否存在？3）极限值是否等于函数值？1.8函数的连续性与间断点思考与练习0,x,0,x,xsinx(x)g(3)00,x,0,x,x1(x)h(4)1研究下列分段函数在分段点的连续性0,xinx,s0,x,xf(x)(1)21,xosx,c1,x2,(x)(2)1.8函数的连续性与间断点在在二、函数的间断点(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但)()(lim00xfxfxx不连续:0x设在点)(xf的某去心邻域内有定义,则下列情形这样的点之一函数f(x)在点虽有定义,但虽有定义,且称为间断点.在无定义;1.定义1.8函数的连续性与间断点2.间断点分类:及均存在,若称0x若称0x及中至少一个不存在,称0x若其中有一个为振荡,称0x若其中有一个为,为可去间断点.为跳跃间断点.为无穷间断点.为振荡间断点.第一类间断点第二类间断点1.8函数的连续性与间断点例6.,,,,,)(处的连续性在讨论函数11111012xxxxxxxfoxy112xy1xy2解,1)1(f,2)(lim1xfx,2)(lim1xfx2)(lim1xfx),1(f.0为函数的可去间断点x可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.1.8函数的连续性与间断点注:本例中,,2)1(f令.1,1,1,10,2)(处连续在则xxxxxxfoxy1121.8函数的连续性与间断点例7.,,,,)(处的连续性在讨论函数0010xxxxxxf解,0)(lim)(lim00xxfxx,1)1(lim)(lim00xxfxx),(lim)(lim00xfxfxx.为函数的跳跃间断点0xoxy1.8函数的连续性与间断点例9.sin)(处的连续性在讨论函数01xxxf解xy1sin,处没有定义在0x.sinlim不存在且xx10.为第二类间断点0x.断点这种情况称为的振荡间1.8函数的连续性与间断点思考与练习1.讨论函数x=2是第二类无穷间断点.间断点的类型.答案:x=1是第一类可去间断点,2.设0,0,sin)(21xxaxxxfx____,a时提示:,0)0(f)0(f)0(fa)(xf为连续函数.1.8函数的连续性与间断点例8.,,,,)(处的连续性在讨论函数0001xxxxxxf解oxy,0)0(f,)0(f.为函数的第二类间断点1x故称为无穷间断点。由于,)0(f1.8函数的连续性与间断点3确定函数间断点的类型.xxexf111)(解:间断点1,0xx)(lim0xfx,0x为无穷间断点;,1时当xxx1,0)(xf,1时当xxx1,1)(xf故1x为跳跃间断点.1.8函数的连续性与间断点在其定义域内连续三、连续函数的运算在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,商(利用极限的四则运算法则证明)(分母不为0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数.例如,结论：三角函数在其定义域内连续。1.连续函数的四则运算定理1.121.8函数的连续性与间断点2.复合函数的连续性.定理1.13)].(lim[)()]([lim,)(,)(limxfufxfuufuxxxxxxx000000则有连续在点函数若意义极限符号可以与函数符号互换！.)]([,)(,)(,)(也连续在点则复合函数连续在点而函数且连续在点设函数00000xxxfyuuufyuxxxxu定理1.14是定理1.13的特殊情况.定理1.141.8函数的连续性与间断点复合函数求极限方法)(lim))((lim)(lim)(lim0000ufxfxufuuxxxxuu则存在存在，变量代换法：换序计算法：))(lim())((lim)(lim)(xfxfxufxxxxxx000则存在连续，代入法：))(())((lim)()(00xfxfxufxx则连续连续，1.8函数的连续性与间断点3.反函数的连续性定理1.15例如,xysin在上连续单调递增，其反函数xyarcsin(递减).(证明略)在[－1,1]上也连续单调递增.也连续单调递增结论：反三角函数在其定义域内连续。xey在上连续单调递增,其反函数xyln在上也连续单调递增.又如,连续单调递增（递减）函数的反函数1.8函数的连续性与间断点指数函数及对数函数在它们的定义域内是连续的.,uay幂函数在它们的定义域内是连续的.1.8函数的连续性与间断点四、初等函数的连续性一切初等函数在定义区间内连续。例如,的定义域为因此它无连续点基本初等函数在定义域内连续。初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;注意初等函数求极限的方法：代入法.)()()(lim定义区间000xxfxfxx1.8函数的连续性与间断点例10用代入法求下列极限.sinlim)(121xxe解121xxesinlim)(11esin1esin)())((lim1111112220xxxxx11lim20xxx20.01.8函数的连续性与间断点例11用换序法求下列极限解特别地，1.8函数的连续性与间断点例12求下列极限解1.8函数的连续性与间断点注：形如)()(xvxu如果说明:若,0)(lim0xuxx则有)()(1lim0xvxxxu,)(lim0xvxxee)()(lim0xuxvxx的函数称幂指函数,0)(limaxubxv)(lim则bxvaxu)()(lim1.8函数的连续性与间断点例13综合例题(1)指出函数的连续区间。1.8函数的连续性与间断点解初等函数的定义区间就是其连续区间，所以连续区间为(2)a,b为何值时，函数成为上的连续函数。1.8函数的连续性与间断点解函数在其各个分段区间都是初等函数，连续又故即f(x)成为上的连续函数。1,41,)(xxxxx(3)设解讨论复合函数的连续性.1,2xx1,2xx故此时连续;而)]([lim1xfx21limxx1)]([lim1xfx)2(lim1xx3故x=1为第一类间断点.1)(),(2xx1)(,)(2xx,)]([为初等函数时xfx1在点x=1不连续,1.8函数的连续性与间断点内容小结左连续右连续在点连续的等价形式说明:分段函数在分段点处是否连续需讨论其左、右连续性.1.8函数的连续性与间断点第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型3.连续函数的和差积商的连续性.5.复合函数的连续性.两个定理;4.反函数的连续性.1.8函数的连续性与间断点6.初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法.1.8函数的连续性与间断点思考与练习1、指出)1(22xxxxy在0x是第类间断点；在1x是第类间断点；在1x是第类间断点.2、若)(xf在0x连续，则|)(|xf、)(2