19-2量子力学初步2

量子力学初步引言量子力学是描述微观粒子运动规律的学科。它是现代物理学的理论支柱之一，被广泛地应用于化学、生物学、电子学及高新技术等许多领域。本章主要介绍量子力学的基本概念及原理，并通过几个具体事例的讨论来说明量子力学处理问题的一般方法。波函数回顾：德布罗意关于物质的波粒二象性假设速度为质量为的自由粒子一方面可用能量和动量来描述它的粒子性另一方面可用频率和波长来描述它的波动性波函数是描述具有波粒二象性的微观客体的量子状态的函数，知道了某微观客体的波函数后，原则上可得到该微观客体的全部知识。下面从量子力学的基本观点出发，建立自由粒子的波函数。自由粒子波函数在量子力学中用复数表达式：应用欧拉公式取实部应用德布罗意公式即即即的自由粒子的波函数为沿X方向匀速直线运动在波动学中，描述波动过程的数学函数都是空间、时间二元函数一列沿X轴正向传播的平面单色简谐波的波动方程沿方向匀速直线运动的自由粒子的波函数为续4在量子力学中用复数表达式：应用欧拉公式取实部应用德布罗意公式即即即沿方向匀速直线运动的自由粒子的波函数为的自由粒子的波函数为沿X方向匀速直线运动在波动学中，描述波动过程的数学函数都是空间、时间二元函数一列沿X轴正向传播的平面单色简谐波的波动方程自由粒子的波函数自由粒子的能量和动量为常量，其波函数所描述的德布罗意波是平面波。不是常量，其波函数所描述的德布罗意波就不是平面波。对于处在外场作用下运动的非自由粒子，其能量和动量外场不同，粒子的运动状态及描述运动状态的波函数也不相同。微观客体的运动状态可用波函数来描述，这是量子力学的一个基本假设。概率密度设描述粒子运动状态的波函数为，则空间某处波的强度与在该处发现粒子的概率成正比；在该处单位体积内发现粒子的概率（概率密度）与的模的平方成正比。是的共轭复数德布罗意波又称概率波波函数又称概率幅取比例系数为1，即1926年提出了对波函数的统计解释波函数归一化因概率密度故在矢端的体积元内发现粒子的概率为在波函数存在的全部空间V中必能找到粒子，即在全部空间V中粒子出现的概率为1。此条件称为波函数的归一化条件满足归一化条件的波函数称为归一化波函数波函数具有统计意义，其函数性质应具备三个标准条件：波函数标准条件波函数的三个标准条件：连续因概率不会在某处发生突变，故波函数必须处处连续；单值因任一体积元内出现的概率只有一种，故波函数一定是单值的；有限因概率不可能为无限大，故波函数必须是有限的；以一维波函数为例，在下述四种函数曲线中，只有一种符合标准条件符合不符合不符合不符合概率波与经典波德布罗意波（概率波）不同于经典波（如机械波、电磁波）德布罗意波经典波是振动状态的传播不代表任何物理量的传播波强（振幅的平方）代表通过某点的能流密度波强（振幅的平方）代表粒子在某处出现的概率密度概率密度分布取决于空间各点波强的比例，并非取决于波强的绝对值。能流密度分布取决于空间各点的波强的绝对值。因此，将波函数在空间各点的振幅同时增大C倍，不影响粒子的概率密度分布，即和C所描述德布罗意波的状态相同。因此，将波函数在空间各点的振幅同时增大C倍，则个处的能流密度增大C倍，变为另一种能流密度分布状态。波函数存在归一化问题。波动方程无归一化问题。。算例某粒子的波函数为归一化波函数概率密度概率密度最大的位置令求积分得：得到归一化波函数：概率密度得令求极大值的x坐标解得另外两个解处题设处最大薛定谔方程引言经典力学牛顿力学方程根据初始条件可求出经典质点的运动状态经典质点有运动轨道概念不考虑物质的波粒二象性量子力学针对物质的波粒二象性微观粒子无运动轨道概念运动状态波函数量子力学方程是否存在一个根据某种条件可求出微观粒子的基本算符量子力学中的算符是表示对某一函数进行某种数学运算的符号。在量子力学中，一切力学量都可用算符来表示。这是量子力学的一个很重要的特点。算符劈形算符数学运算符号拉普拉斯算符动量算符动能算符哈密顿算符含动、势能位矢算符力学量算符统称举例若作用在某函数上的效果和与某一常量的乘积相当，即则称为的本征值称为的本征函数所描述的状态称为本征态力学量的可能值是它的本征值力学量的平均值由下述积分求出薛定谔方程1925年德国物理学家薛定谔提出的非相对论性的量子力学基本方程获1933年诺贝尔物理学奖当其运动速度远小于光速时它的波函数所满足的方程为质量为的粒子在势能函数为的势场中运动它反映微观粒子运动状态随时间变化的力学规律，又称含时薛定谔方程。式中，为哈密顿算符，薛定谔方程(非相对论)一.含时间的薛定谔方程的建立),()],([),(trtrUmtrti2221.一维自由粒子运动0exp[()]iEtpxmpxm222222Eti则有：由于,mpE222222xmti2.一维势场中运动的粒子),(txUmpE22Uxmti22223.三维势场中运动的粒子),(trUmti222含时间的薛定谔方程。这就是，称为拉普拉斯算符，式中2222222zyx定态薛定谔方程可分离变量，写成解释：若则积分解得将常量归入中，得定态波函数此外，对得定态薛定谔方程故常量时间的函数空间的函数由对应一个可能态有一常量定态薛定谔方程势场只是空间函数即若粒子所在的有一个能量定值含时薛定谔方程定态波函数对应于一个可能态，则续14其概率密度与时间无关所描述的状态。它的重要特点是：所谓“定态”，就是波函数具有形式定态波函数中的称为振幅函数（有时直称为波函数）。的函数形式也应满足统计的条件连续、单值、有限的标准条件；归一化条件；对坐标的一阶导数存在且连续（使定态薛定谔方程成立）。定态问题是量子力学最基本的问题，我们仅讨论若干典型的定态问题。若已知势能函数，应用定态薛定谔方程可求解出，并得到定态波函数态跌加原理为薛定谔方程的两个解，分别代表体系的两个可能状态。设为它们的线性叠加即为复常数将上式两边对时间求偏导数并乘以因都满足薛定谔方程即这表明：体系两个可能状态的叠加仍为体系的一个可能态。称为态叠加原理一维无限深势阱粒子在某力场中运动，若力场的势函数U具有下述形式该势能函数称作一维无限深势阱应用定态薛定谔方程可求出运动粒微观系统中，有关概率密度、能量这是一个理想化的物理模型，子的波函数，有助于进一步理解在量子化等概念。续17求解阱内阱外只有因及要连续、有限，薛定谔方程才成立，在阱外故粒子在无限深势阱外出现的概率为零。设质量为的微观粒子，处在一维无限深势阱中该势阱的势能函数为阱外阱内建立定态薛定谔方程一维问题续18求解求定态薛定谔方程的通解阱内即令得此微分方程的通解为其三角函数表达形式为式中和为待定常数根据标准条件确定常数和并求能量的可能取值以及在边界和处又因得的取值应与阱外连续，边界处的故得及时阱内不合理舍去的负值和正值概率密度相同同一取得续求解求归一化定态波函数由上述结果阱外阱内及得应满足归一化条件得积分归一化定态波函数概率密度势阱问题小结能量量子化极不明显，可视为经典连续。间距太小在微观粒子可能取如，电子9.1×10–31kg处在宽度10-10m(原子线度)的势阱中算得×37.7eV能量量子化明显处在宽度10–2m(宏观尺度)的势阱中算得×37.7×10-15eV能量量子化是微观世界的固有现象从能级绝对间隔看，从能级相对间隔看，则的各种能态中，随着值增大，逐渐向经典过渡。一维无限深势阱中的微观粒子（小结）能量量子化称基态能或零点能相邻能级的能量间隔波函数好比驻波概率密度的称节点位置极大的称最概然位置增大,节点数增多,最概然位置间隔变小。很大，概率密度趋近经典均匀分布。势垒粒子在某力场中运动，若力场的势函数U具有下述形式该势能函数称作一维矩形势垒。按经典力学观点，在量子力学中能量的粒子不可能穿越势垒后才能下结论。应求解定态薛定谔方程隧道效应区区区式中得上述微分方程的解为设：一矩形势垒的势能函数在势函数定义的全部空间粒子的波函数都应满足薛定谔方程一质量为、能量为的粒子由区向势垒运动续23区区区入射波反射波透射波区无反射入入射波反反射波透透射波根据边界条件和处和必须连续，可求方程中各系数的关系透射粒子数入射粒子数透射系数透入为描述粒子透过势垒的概率引入为原设为势垒宽度估算表明可见，粒子能穿过比其能量更高的势垒，这种现象称为势垒贯穿亦称隧道效应。这是微观粒子波动性的表现。隧道效应已被许多实验所证实，并在半导体器件、超导器件、物质表面探测等现代科技领域中有着重要的应用。扫描隧道显微镜两金属的平均逸出电势垒高度金属1金属2逸出电势垒高金属1逸出电势垒高金属2金属中的电子由于隧道效应有可能穿越比其能量更高的表面势垒（逸出电势垒）而逸出金属表面，在金属外表面附近形成电子云，电子云的分布形式与金属晶体的结构和表面性质有关。若两块金属表面相距很近，至使表面的电子云发生相互重叠，此时若在两金属间加一微弱电压（操作电压），则会有微弱的电流（隧道电流）从一金属流向另一金属，并可表示为实验表明，只要改变0.1nm(原子直径线度），就会引起变化一千倍左右。扫描隧道显微镜利用隧道效应中的这种灵敏特性，将一金属做成极细的探针（针尖细到一个原子大小），在另一金属样品表面附近扫描，它能够以原子级的空间分辨率去观察物质表面的原子结构。若势垒宽度和势垒平均高度分别以nm和eV为单位时，约为1续25电子云Si(111)表面7×7元胞的STM图像亮点表示突起，暗部表示下凹电子测控及数据处理系统计算机显示系统横向分辨率达0.1nm纵向分辨率达0.005nm真空或介质沿XY逐行扫描的同时，自控系统根据反馈信号调节针尖到样品表层原子点阵的距离，使保持不变。针尖的空间坐标的变化反映了样品表面原子阵列的几何结构及起伏情况。经微机编码可显示表面结构图像。STM可用于金属、半导体、绝缘体和有机物表面的研究。是材料科学、生命科学和纳米科学与技术的有力武器。AtomicResolutionSTMonSi(111)作业10、13、16、19