2012-2013《高等数学》A试卷A答案

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合肥工业大学试卷(A)共10页第1页2012~2013学年第一学期课程代码课程名称高等数学A(1)学分课程性质:必修、选修、限修考试形式:开卷、闭卷专业班级(教学班)考试日期2012.11.20命题教师高等数学课程组系(所或教研室)主任审批签名刘植命题教师注意事项:1、主考教师必须于考试一周前将“试卷A”、“试卷B”经教研室主任审批签字后送教务科印刷。2、请命题教师用黑色水笔工整地书写题目或用A4纸横式打印贴在试卷版芯中。一、填空题(每小题4分,共20分):1.设2ln(1)yxx,则12d2xydx.2.曲线sin,1cosxttyt在2t处的切线斜率为1.3.若1lim()xfx存在,且111()2lim()xxfxxfx,则1()2xfxxe.4.若01()fx,则000(2)()limarctanufxufxuu3.5.若2lim8xxxaxa,则aln2.二、选择题(每小题4分,共20分):1.设()232xxfx,则当0x时(D).(A)()fx与x是等价无穷小量(B)()fx是比x较低阶的无穷小量(C)()fx是比x较高阶的无穷小量(D)()fx与x是同阶但非等价无穷小量2.若函数()fx在0x点存在左、右导数,则()fx在点0x(A).合肥工业大学试卷(A)共10页第2页2012~2013学年第一学期课程代码课程名称高等数学A(1)学分课程性质:必修、选修、限修考试形式:开卷、闭卷专业班级(教学班)考试日期2012.11.20命题教师高等数学课程组系(所或教研室)主任审批签名刘植命题教师注意事项:1、主考教师必须于考试一周前将“试卷A”、“试卷B”经教研室主任审批签字后送教务科印刷。2、请命题教师用黑色水笔工整地书写题目或用A4纸横式打印贴在试卷版芯中。(A)连续(B)可导(C)不可导(D)不连续3.当1x时,12111xxex的极限(C).(A)等于2(B)等于0(C)不存在但不为(D)为4.设函数21()1limnnxfxx,讨论()fx的间断点,其结论为(A).(A)存在间断点1x(B)存在间断点1x(C)存在间断点0x(D)不存在间断点5.设对任意的x,总有()()()xfxx,且lim()()0xxx,则lim()xfx(C).(A)存在且等于0(B)存在但不一定等于0(C)不一定存在(D)一定不存在合肥工业大学试卷(A)共10页第3页2012~2013学年第一学期课程代码课程名称高等数学A(1)学分课程性质:必修、选修、限修考试形式:开卷、闭卷专业班级(教学班)考试日期2012.11.20命题教师高等数学课程组系(所或教研室)主任审批签名刘植命题教师注意事项:1、主考教师必须于考试一周前将“试卷A”、“试卷B”经教研室主任审批签字后送教务科印刷。2、请命题教师用黑色水笔工整地书写题目或用A4纸横式打印贴在试卷版芯中。三、计算题(本题共4题,共计24分):1.(5分)设tanyxy,求dy;解:(tan)()dydxy22sc1e1secdydydxyddxyy合肥工业大学试卷(A)共10页第4页2012~2013学年第一学期课程代码课程名称高等数学A(1)学分课程性质:必修、选修、限修考试形式:开卷、闭卷专业班级(教学班)考试日期2012.11.20命题教师高等数学课程组系(所或教研室)主任审批签名刘植命题教师注意事项:1、主考教师必须于考试一周前将“试卷A”、“试卷B”经教研室主任审批签字后送教务科印刷。2、请命题教师用黑色水笔工整地书写题目或用A4纸横式打印贴在试卷版芯中。2.(6分)求极限:2lim100xxxx;解:2lim100xxxx22100lim100100lim0015101xxxxxx3.(6分)求极限:01coslim1cosxxxx;解:001cos1coslimlim1(1cos)()2xxxxxxxx202202(1cos)lim(1cos)lim212xxxxxxx4.(7分)设2(cos)yfx,且f二阶可导,求22ddyx.合肥工业大学试卷(A)共10页第5页2012~2013学年第一学期课程代码课程名称高等数学A(1)学分课程性质:必修、选修、限修考试形式:开卷、闭卷专业班级(教学班)考试日期2012.11.20命题教师高等数学课程组系(所或教研室)主任审批签名刘植命题教师注意事项:1、主考教师必须于考试一周前将“试卷A”、“试卷B”经教研室主任审批签字后送教务科印刷。2、请命题教师用黑色水笔工整地书写题目或用A4纸横式打印贴在试卷版芯中。解:22(cos)2cos(sin)sin2(cos)dyfxxxxfxdx)(cos2sin)(cos2cos2)2sin)((cos2sin)(cos2cos22''22'2''2'22xxfxxfxxxfxxfdxyd四、解答题(本题共3小题,共计24分):合肥工业大学试卷(A)共10页第6页2012~2013学年第一学期课程代码课程名称高等数学A(1)学分课程性质:必修、选修、限修考试形式:开卷、闭卷专业班级(教学班)考试日期2012.11.20命题教师高等数学课程组系(所或教研室)主任审批签名刘植命题教师注意事项:1、主考教师必须于考试一周前将“试卷A”、“试卷B”经教研室主任审批签字后送教务科印刷。2、请命题教师用黑色水笔工整地书写题目或用A4纸横式打印贴在试卷版芯中。1.(6分)设13x,132nnxx,证明数列nx的极限存在,并求其极限.证明:单调性:当1n时,13x,2133xx,假设当nk时有1kkxx,则当1nk时仍然有,2113232kkkkxxxx即,数列nx是单调增加数列。有界性:当1n时,133x,假设nk时有3kx,则当1nk时仍然有,132363kkxx即,单调增加数列nx有上界3.综上所述,数列nx的极限存在,设limnnxa。在等式132nnxx两边分别求极限,得到32aa,解出3a。即,数列nx的极限值为3。2.(8分)若0x时,2(1)xeaxbx是比2x高阶的无穷小,求,ab.合肥工业大学试卷(A)共10页第7页2012~2013学年第一学期课程代码课程名称高等数学A(1)学分课程性质:必修、选修、限修考试形式:开卷、闭卷专业班级(教学班)考试日期2012.11.20命题教师高等数学课程组系(所或教研室)主任审批签名刘植命题教师注意事项:1、主考教师必须于考试一周前将“试卷A”、“试卷B”经教研室主任审批签字后送教务科印刷。2、请命题教师用黑色水笔工整地书写题目或用A4纸横式打印贴在试卷版芯中。解:由题意知:220(1)lim0xxeaxbxx。另一方面,由洛必达法则得到:2200(1)2limlim2xxxxeaxbxeaxbxx,则00lim21xxeaxbb,即有:1b。此时,再次用洛必达法则得000221210limlimlim(12)2222xxxxxxeaxbeaxeaaxx,即有:12a。3.(10分)设(),0,()0,0,xgxexfxxx其中()gx有二阶连续导数,且(0)(0)1gg,(0)1g,(1)求()fx;(2)讨论()fx在(,)内的连续性.解:(1)当0x时,2(())(())()xxgxexgxefxx;当0x时,合肥工业大学试卷(A)共10页第8页2012~2013学年第一学期课程代码课程名称高等数学A(1)学分课程性质:必修、选修、限修考试形式:开卷、闭卷专业班级(教学班)考试日期2012.11.20命题教师高等数学课程组系(所或教研室)主任审批签名刘植命题教师注意事项:1、主考教师必须于考试一周前将“试卷A”、“试卷B”经教研室主任审批签字后送教务科印刷。2、请命题教师用黑色水笔工整地书写题目或用A4纸横式打印贴在试卷版芯中。200()(0)()limlimxxxfxfgxexx(连续用两次洛必达法则)00()()limlim22xxxxgxegxex1((0)1)02g。即有:2(())(())0,()00.xxgxexgxexfxxx(2)200(())(())lim()limxxxxgxexgxefxx00(())()(())lim2(())lim21((0).1)20xxxxxxgxexgxegxexgxexxg)0('f()fx在0x处连续。又()fx在0x处由连续函数的运算性质知()fx连续。合肥工业大学试卷(A)共10页第9页2012~2013学年第一学期课程代码课程名称高等数学A(1)学分课程性质:必修、选修、限修考试形式:开卷、闭卷专业班级(教学班)考试日期2012.11.20命题教师高等数学课程组系(所或教研室)主任审批签名刘植命题教师注意事项:1、主考教师必须于考试一周前将“试卷A”、“试卷B”经教研室主任审批签字后送教务科印刷。2、请命题教师用黑色水笔工整地书写题目或用A4纸横式打印贴在试卷版芯中。所以()fx在,内连续。五、(12分)设()fx和()gx在[,]ab上具有二阶导数,且0)(''xg,()()()()0fafbgagb====,证明:(1)对任意(,)xab,()0gx;(2)至少存在一点(,)ab,使()()()()ffgg.证明:(1)反证法:假设存在一点),(0bax满足0)(0xg。则在区间],[0xa上,()gx满足Rolle中值定理条件,由Rolle中值定理得,存在一点),(01xa),(ba,使得0)(1'g;同理,存在一点),(02bx),(ba,使得0)(2'g。由于)('xg在区间],[21),(ba上仍然满足Rolle定理的条件,再由Rolle中值定理得:存在一点),(21),(ba,使得0)(''g,这就与条件()0gx矛盾。(2)令()()()()()Fxfxgxfxgx,显然()Fx在,ab上连续可导,且()()0FaFb。由Rolle中值定理得,合肥工业大学试卷(A)共10页第10页2012~2013学年第一学期课程代码课程名称高等数学A(1)学分课程性质:必修、选修、限修考试形式:开卷、闭卷专业班级(教学班)考试日期2012.11.20命题教师高等数学课程组系(所或教研室)主任审批签名刘植命题教师注意事项:1、主考教师必须于考试一周前将“试卷A”、“试卷B”经教研室主任审批签字后送教务科印刷。2、请命题教师用黑色水笔工整地书写题目或用A4纸横式打印贴在试卷版芯中。存在(,)ab使得()0F,即有:()()()()()()()()()()()()0,xfxgxfxgxfxgxfxgxfgfg结合()0gx与()0gx可得:()()()()ffgg

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