2012-2013高中数学3-4不等式的实际应用同步检测新人教B版必修5

-1-3.4不等式的实际应用基础巩固一、选择题1．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为获得最大利润，售价应定在()A．每个95元B．每个100元C．每个105元D．每个110元[答案]A[解析]设每个涨价x元，则利润y＝(x＋10)(400－20x)＝－20x2＋200x＋4000，∴当x＝20040＝5时，y取得最大值．故每个售价为95元时利润最大．2．在面积为S(S为定值)的扇形中，当扇形中心角为θ，半径为r时，扇形周长最小，这时θ、r的值分别是()A．θ＝1，r＝SB．θ＝2，r＝4SC．θ＝2，r＝3SD．θ＝2，r＝S[答案]D[解析]S＝12θr2⇒θ＝2Sr2，又扇形周长P＝2r＋θr＝2r＋Sr≥4S，当P最小时，r＝Sr⇒r＝S，此时θ＝2.3．设计用32m2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通规定车厢宽为2m，则车厢的最大容积是()A．(38－373)m3B．16m3C．42m3D．14m3[答案]B[解析]设长方体长为am，高为hm，则有2a＋2(2h)＋2(ah)＝32，即a＋2h＋ah＝16，∴16≥22ah＋ah，即(ah)2＋22·ah－16≤0，解得0ah≤22，∴ah≤8，∴V＝2ah≤16.-2-4．做一个面积为1m2，形状为直角三角形的铁架框，在下面四种长度的铁管中，最合理(够用，又浪费最少)的是()A．4.6mB．4.8mC．5mD．5.2m[答案]C[解析]设直角三角形两直角边长分别为x，y，则12xy＝1，即xy＝2.周长l＝x＋y＋x2＋y2≥2xy＋2xy＝(1＋2)×2≈4.83，当且仅当x＝y时取等号．考虑到实际问题，故选C.二、填空题5．光线透过一块玻璃，其强度要减弱110.要使光线的强度减弱到原来的13以下，至少需这样的玻璃板________块．(参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)[答案]11[解析]设至少需要经过这样的n块玻璃板，则，(1－110)n13，即n·lg910lg13∴nlg13lg910＝－lg32lg3－1＝－0.47712×0.4771－1≈10.45.又∵n∈N＋，∴n＝11.6．建造一个容积为8m3，深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低造价为__________元．[答案]1760[解析]设水池的底面长、宽分别为xm，ym，则2xy＝8，xy＝4.水池造价为z元．则z＝120xy＋2(2x＋2y)×80＝480＋320(x＋y)≥480＋320×4＝1760.三、解答题7．某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧用砖墙，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．计算：(1)仓库底面积S的最大允许值是多少？(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？-3-[解析](1)设正面铁栅长xm，侧面长为ym，总造价为z元，则z＝40x＋2×45y＋20xy＝40x＋90y＋20xy，仓库面积S＝yx.由条件知z≤3200，即4x＋9y＋2xy≤320.∵x0，y0，∴4x＋9y≥24x·9y＝12xy.∴6S＋S≤160，即(S)2＋6S－160≤0.∴0S≤10，∴0S≤100.故S的最大允许值为100m2.(2)当S＝100m2时，4x＝9y，且xy＝100.解之得x＝15(m)，y＝203(m)．答：仓库面积S的最大允许值是100m2，此时正面铁栅长15m.8．某企业生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本(即需另增加投入)0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售的收入函数为R(x)＝5x－12x2(万元)，(0≤x≤5)，其中x是产品生产并售出的数量．(单位：百台)(1)把利润表示为年产量的函数．(2)年产量为多少时，企业所得利润最大？(3)年产量多少时，企业才不亏本．(不赔钱)?[解析](1)设利润为y.则y＝Rx－0.5－0.25xxR－0.5－0.25xx＞，∴y＝－12x2＋4.75x－x12－0.25xx＞.(2)y＝－12(x－4.75)2＋10.78125∴x＝4.75时即年产量为475台时企业所得利润最大．(3)要使企业不亏本，须y＞0即0≤x＜5－12x2＋4.75x－0.5＞0或12－0.25x＞0x≥5.2．65＜x＜5或5≤x＜48，即2.65＜x＜48.∴年产量在265台至4800台时，企业才会不亏本．能力提升-4-一、选择题1．某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下：行业名称计算机机械营销物流贸易应聘人数2158302002501546767457065280行业名称计算机营销机械建筑化工招聘人数124620102935891157651670436若用同一行业中应聘人数和招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是()A．计算机行业好于化工行业B．建筑行业好于物流行业C．机械行业最紧张D．营销行业比贸易行业紧张[答案]B[解析]就业情况＝应聘人数招聘人数，计算机就业形式＝215830124620＞1，化工业就业形式＝应聘人数70436＜6528070436＜1，则A不合适．同理，建筑行业就业形式＝应聘人数76516＜6528076516＜1，物流业就业形式＝74570招聘人数＞7457070436＞1.2．某公司从2006年起每人的年工资主要由三个项目组成并按下表规定实施：项目计算方法基础工资2006年1万元，以后每年逐增10%住房补贴按工龄计算：400元×工龄医疗费每年1600元固定不变若该公司某职工在2008年将得到的住房补贴与医疗费之和超过基础工资的25%，到2008年底这位职工的工龄至少是()A．2年B．3年-5-C．4年D．5年[答案]C[解析]设这位职工工龄至少为x年，400x＋1600＞10000·(1＋10%)2×25%，即400x＋1600＞3025，即x＞3.5625，所以至少为4年．二、填空题3．现有含盐7%的食盐水200克，生产上需要含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x克，则x的取值范围是__________．[答案]100＜x＜400[解析]由题意可列式5%7%×200＋4%×x200＋x6%，即51400＋4x200＋x6解得100x400.4．周长为2的直角三角形的面积的最大值为________．[答案]3－22[解析]设直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，则直角三角形的面积S＝12ab.由已知，得a＋b＋c＝2，∴a＋b＋a2＋b2＝2，∴2＝a＋b＋a2＋b2≥2ab＋2ab＝(2＋2)ab，∴ab≤22＋2＝2－2，∴ab≤(2－2)2＝6－42，∴S＝12ab≤3－22，当且仅当a＝b＝2－2时，S取最大值3－22.三、解答题5．假设国家收购某种农副产品的价格是120元/担，其中征税标准是每100元征税8元(叫做税率是8个百分点，即8%)，计划收购m万担，为了减轻农民负担，决定税率降低x个百分点，预计收购量可增加2x个百分点，要使此项税收在税率降低后不低于原计划的78%，试确定x的取值范围．[解析]税率降低后是(8－x)%，收购量为m(1＋2x%)万担，税收为120m(1＋2x%)(8－x)%万元，原来的税收为120m·8%万元．根据题意可得120m(1＋2x%)(8－x)%≥120m·8%·78%即x2＋42x－88≤0解之得－44≤x≤2，又x＞0，∴0＜x≤2∴x的取值范围是(0,2]．-6-6.某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形．上部是等腰直角三角形．要求框架围成的总面积8cm2.问x、y分别为多少时用料最省？(精确到0.001m)[解析]由题意得xy＋14x2＝8，∴y＝8－x24x＝8x－x4(0＜x＜42)．于是，框架用料长度为l＝2x＋2y＋2(22x)＝(32＋2)x＋16x≥46＋42.当(32＋2)x＝16x，即x＝8－42时等号成立．此时，x≈2.343，y＝22≈2.828.故当x为2.343m，y为2.828m时，用料最省．7．某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年增加4万元，每年捕鱼收益50万元．(1)问第几年开始获利？(2)若干年后，有两种处理方案：①年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；②总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案最合算？[解析]由题设知每年的费用是以12为首项，4为公差的等差数列．设纯收入与年数的关系为f(n)，则f(n)＝50n－[12＋16＋…＋(8＋4n)]－98＝40n－2n2－98.(1)由f(n)0得，n2－20n＋490，∴10－51n10＋51，又∵n∈N，∴n＝3,4，…，17.即从第3年开始获利；-7-(2)①年平均收入＝fnn＝40－2(n＋49n)≤40－2×14＝12，当且仅当n＝7时，渔船总收益为12×7＋26＝110(万元)．②f(n)＝－2(n－10)2＋102.因此当n＝10时，f(n)max＝102，总收益为102＋8＝110万元，但710，所以第一种方案更合算．