2012-2013高代第二学期期中试卷答案

第1页共5页北京交通大学2012-2013学年第二学期《高等代数II》期中考试试卷参考答案及评分标准一．填空题（本题满分30分，共10道小题，每道小题3分）1．已知R3的两组基：I:)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(321；II:)0,1,1(),1,1,0(),1,0,1(321；那么由I到II的过渡矩阵为011110101。2.在22P中，已知01001A，00012A，00103A，10004A是22P的基，那么，4523A在该基下的坐标为(5,3,2,4)。3.设1W是方程组04321xxxx解空间，2W是方程组0043214321xxxxxxxx的解空间，那么1W∩2W是方程组000332143214321xxxxxxxxxxxx的解空间。4.设3,2,1,1,1,0,1,0,1,0,1,121LWLW,则21dimWW3。5.设1W、2W都是V的子空间，且1W+2W为直和，那么21dimWW0。6.设线性变换A在基21,的矩阵为1011，线性变换B在基12,下的矩阵为第2页共5页1101，那么A+B在基21,下的矩阵为2002.7．设3阶矩阵A的特征为1，2，3，那么A-1的特征值为1,1/2,1/3。8．设A=x10100001与矩阵B=10000001y相似，那么yx,的值分别是0,1。9．设A=211121112，A（X）=AX是P3上的线性变换，那么A的零度=0。10．在P[x]3中,定义D（)())(xfxf，那么D的特征值为0。二．判断题（本题满分20分，共10道小题，每道小题2分）11.一个线性方程组的全体解向量必做成一个线性空间。（错）12.实数域R上的全体n几级可逆矩阵做成nnP的子空间。（错）13.齐次线性方程组的解空间的维数等于自由未知数的个数。（对）14.线性空间V中任意两个子空间的并集仍是V的子空间。（错）15.在子空间的和1W+2W中，如果),(0221121ww，且这种表示形式唯一，那么1W+2W为直和。（对）16．设是V中固定非零向量，V，A)(，那么A是V上的线性变换。（错）17．设V=P22，L(V)是V上的全体线性变换组成的空间，那么L（V）的维数=4。（错）18．两个矩阵A，B有相同的特征值，则A与B相似。（错）19．设线性变换A在给定基下的矩阵为A，那么A的值域的维数等于A的秩。（对）20.线性变换A的核与值域的交是A的不变子空间。（对）第3页共5页三.(6分)设PaaaxaxaaxPoo212213,,|][（1）证明1，1,12xx是3][xP的基，并求由该基到基1,,2xx的过渡矩阵。（2）求21)(xxxf在基1，1,12xx下的坐标。解(1)若a+b(x-1)+c(x2+1)=0,则a-b+c+bx+cx2=0.从而a=b=c=0.这样1，1,12xx线性无关,从而是3][xP的基,它到基1,,2xx的过渡矩阵为.001010111…..3分(2)设a+b(x-1)+c(x2+1)=f(x),则易得a=3,b=1,c=1,从而坐标为(3,1,1).…..3分四.(12分)在P2x2上定义线性变换AXX1111（1）求A在基22211211,,,EEEE下的矩阵；（2）求A的核和它的零度。（3）求A的值域和A的秩。解(1)A(22211211,,,EEEE)=(0101,1010,0101,1010)=(22211211,,,EEEE)1010010110100101.……….4分(2)A的核为{X|AX=0}={baba,a,b∈P}.故它的零度为2…….8分(3)A的值域为L(0101,1010,0101,1010)=L(0101,1010),第4页共5页故它的秩为2………12分五.(12分)设101020101A（1）求A的全部特征值。（2）求A的属于每个特征值的特征向量。（3）求一个可逆矩阵X，使X-1AX为对角形。解(1)特征多项式为|λE-A|=λ(λ-2)2,所以特征值为0,2(二重)……4分(2)λ=2,000101000101321xxx,得101,010321xxx所以属于2的全部特征值为s010+t101,s,t不同时为0.λ=0,000101020101321xxx,得101321xxx所以属于0的全部特征值为k101,k不等于0……..8分(3)令X=110001110,则X-1AX=diag(2,2,0)……………12分六.(6分)设V是n维线性空间，A是V上的线性变换，,为A的不同特征值。（1）证明特征子空间V是A－子空间。（2）证明)(VV的维数=V的维数+V的维数。第5页共5页证明(1)任取Vλ中一个向量θ,则Aθ=λθ∈Vλ,所以Vλ为A的不变子空间……3分(2)α∈Vλ∩V,则Aα=λα=μα,因为λ≠μ,所以α=0,所以Vλ∩V=0,所以)(VV的维数=V的维数+V的维数……3分.七.(6分)已知向量α=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,…,bn),试求矩阵A=αTβ的全部特征值。解如n=1,则A为1阶矩阵,从其特征值为a1b1.…….1分以下设n1.则易见A的各行成比例,故|A|=0,所以0必为A的一个特征值.……3分注意到A的秩最多为1,若A的秩为0,则A只有一个特征值为0…….4分若A的秩为1,则对应于0的特征值子空间的维数为n-1.…………….5分因此,A还有一个不同于0的特征值,由于A的迹等于其特征值之和,所以A的另一特征值为a1b1+a2b2+…+anbn………6分八.(8分)设0,12AXWAA是的解空间，2W是0)(XEA的解空间，证明：nPWW21。证明设k为A的任一特征值,则存在特征向量α使得Aα=kα.……1分从而A2α=kAα=k2α,因为A2=A,所以kα=k2α……….3分由于α为特征向量,必有k=k2,,所以k=1或0。……4分而属于0的特征向量构成的子空间恰为W1,属于1的特征向量构成的子空间恰为W2.所以由第六题结论可知2121。…….6分又因为A(A-E)=0,所以R(E)=R(A-(A-E))≤R(A)+R(A-E)≤n,所以R(A)+R(A-E)=n.dimW1+dimW2=n-R(A)+n-R(A-E)=n.所以nPWW21。…….8分