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高等教育自学考试辅导《概率论与数理统计（经管类）》════════════════════════════════════════════════════════════════自考365（-）2012年04月真题讲解一、前言学员朋友们，你们好！现在对《全国2012年4月高等教育自学考试概率论与数理统计（经管类）试题》进行必要的分析，并详细解答，供学员朋友们学习和应试参考.三点建议：一是在听取本次串讲前，请对课本内容进行一次较全面的复习，以便取得最佳的听课效果；二是在听取本次串讲前，务必将本套试题独立地做一遍，以便了解试题考查的知识点，以及个人对课程全部内容的掌握情况，有重点的听取本次串讲；三是在听取串讲的过程中，对重点、难点的题目，应该反复多听几遍，探求解题规律，提高解题能力.一点说明：本次串讲所使用的课本是2006年8月第一版。二、考点分析1.总体印象对本套试题的总体印象是：题目比较新颖，难度不大.内容比较常规：①概率分数偏高，共76分；统计分数只占24分，与以往考题的分数分布情况稍有不同；②除《回归分析》外，对课本中其他各章内容都有涉及，但前三章比重略高。难度不大：与历次试题比较，本套试题难度不大.如果粗略得把题目难道划分为易、中、难三个等级，本套试题容易的题目约占24分，中等题目约占60分，稍偏难题目约占16分，计算量不大.当然，以上观点只是相对于历年试题而言，是在与历年试题对比中产生的看法.如果只看本套试题，应该说是一套不错的试题.2.考点分布按照以往的分类方法：事件与概率22分，一维随机变量（包括数字特征）22分，二维随机变量（包括数字特征）30分，大数定律2分，统计量及其分布4分，参数估计16分，假设检验4分，回归分析0分.考点分布的柱状图如下：三、试题详解一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）高等教育自学考试辅导《概率论与数理统计（经管类）》════════════════════════════════════════════════════════════════自考365（-）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分.1.设A，B为随机事件，且，则等于（）.A.B.C.D.A[答疑编号918130101]『正确答案』C『答案解析』本题考查包含关系的事件的性质.因为，所以AB=A，故选择C.『提示』事件的关系：（1）包含关系：如果事件A发生必然导致事件B发生，则事件B包含事件A，记做；对任何事件C，都有.（2）相等关系：若且，则事件A与B相等，记做A=B.（3）互不相容关系：若事件A与B不能同时发生，称事件A与B互不相容或互斥，可表示为A∩B＝.（4）对立事件：称事件“A不发生”为事件A的对立事件或逆事件，记做；满足且.显然：①；②，.（5）两个事件的相互独立性：若P（AB）=P（A）（B），则称事件A，B相互独立；性质1：四对事件A与，与B，A与，与其中一对相互独立，则其余三对也相互独立；性质2：若A，B相互独立，且P（A）0，则P（B|A）=P（B）.这些基本概念一定要十分清楚，熟练掌握.2.设A，B为随机事件，则P（A-B）=（）.A.P（A）-P（B）B.P（A）-P（AB）C.P（A）-P（B）+P（AB）D.P（A）+P（B）-P（AB）[答疑编号918130102]『正确答案』B『答案解析』本题考查“事件差”的性质.高等教育自学考试辅导《概率论与数理统计（经管类）》════════════════════════════════════════════════════════════════自考365（-）因为A，B为随机事件，所以A-B=A-AB，而，所以P（A-B）=P（A）-P（AB），故选择B.『提示』事件的运算（1）事件的和：称事件“A，B至少有一个发生”为事件A与B的和事件，也称为A与B的并A∪B或A+B.性质：①，；②若，则A∪B=B；③P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）；（2）事件的积：称事件“A，B同时发生”为事件A与B的积事件，也称为A与B的交，记做F=A∩B或F=AB.性质：①，；②若，则AB=A；③P（AB）=P（A）P（B|A）=P（B）P（A|B）.（3）事件的差：称事件“A发生而事件B不发生”为事件A与B的差事件，记做A-B.性质：①；②若，则；③；④P（A-B）=P（A）-P（AB）.（4）事件运算的性质（i）交换律：，AB=BA；（ii）结合律：，（AB）C=A（BC）；（iii）分配律：；；（iv）摩根律（对偶律），.3.设随机变量X的概率密度为则P{3X≤4}=（）.A.p{1X≤2}B.P{4X≤5}C.P{3X≤5}D.P{2X≤7}[答疑编号918130103]高等教育自学考试辅导《概率论与数理统计（经管类）》════════════════════════════════════════════════════════════════自考365（-）『正确答案』B『答案解析』本题考查均匀分布用概率密度求事件概率的方法.因为随机变量X服从均匀分布，所以，故选择B.『提示』一维连续型随机变量概率密度的性质：①f（x）≥0；②；③；④P{xXx+△x}=F（x+△x）-F（x）；⑤设x为f（x）的连续点，则F’（x）存在，且F’（x）=f（x）.这是一个“高频考点”，务必熟练掌握.4.已知随机变量X服从参数为的指数分布，则X的分布函数为（）.A.B.C.D.[答疑编号918130104]『正确答案』C『答案解析』本题考查参数为λ的指数分布的特征.显然，选择C.『提示』常用的六种分布（1）常用离散型随机变量的分布：X01概率qpA.两点分布①分布列：②数学期望：E（X）=p；③方差：D（X）=pq.B.二项分布：X～B（n,p）高等教育自学考试辅导《概率论与数理统计（经管类）》════════════════════════════════════════════════════════════════自考365（-）①分布列：，k=0，1，2，…，n；②数学期望：E（X）=np；③方差：D（X）=npq.C.泊松分布：X～P（λ）①分布列：，k=0，1，2，…②数学期望：E（X）=λ；③方差：D（X）=λ.（2）常用连续型随机变量的分布A.均匀分布：X～U[a,b]①密度函数：②分布函数：，③数学期望：E（X）＝，④方差：D（X）＝.B.指数分布：X～E（λ）①密度函数：，②分布函数：，③数学期望：E（X）＝，④方差：D（X）＝.C.正态分布（A）正态分布：X～N（μ，σ2）高等教育自学考试辅导《概率论与数理统计（经管类）》════════════════════════════════════════════════════════════════自考365（-）①密度函数：，－∞x＋∞②分布函数：③数学期望：E（X）=μ，④方差：D（X）＝σ2，⑤标准化代换：若X～N（μ，σ2），，则Y～N（0,1）.（B）标准正态分布：X～N（0,1）①密度函数：，－∞x＋∞②分布函数：，－∞x＋∞③数学期望：E（X）＝0；④方差：D（X）＝1.要求：记忆，可直接使用结果.5.设随机变量X的分布函数为F（x），则（）.A.F（-∞）=1B.F（0）=0C.F（+∞）=0D.F（+∞）=1[答疑编号918130105]『正确答案』D『答案解析』本题考查随机变量分布函数的性质.显然，选择D.『提示』分布函数的性质：①0≤F（X）≤1；②对任意x1，x2（x1x2），都有P{x1X≤x2}=F（x2）-F（x1）；③F（x）是单调不减函数；④，；⑤F（x）右连续；⑥设x为F（x）的连续点，则F’（x）存在，且F’（x）=f（x）.6.设随机变量X与Y相互独立，它们的概率密度分别为fX（x）,fY（y），则（X，Y）的概率密度为（）.A.B.fX（x）+fY（y）C.D.fX（x）fY（y）[答疑编号918130106]『正确答案』D『答案解析』本题考查相互独立随机变量概率密度函数的关系.高等教育自学考试辅导《概率论与数理统计（经管类）》════════════════════════════════════════════════════════════════自考365（-）若随机变量X与Y相互独立，则（X，Y）的概率密度为f（x,y）=fX（x）fY（y）故选择D.『提示』随机变量的独立性（1）定义：设F（x,y）及FX（x），FY（y）分别为二维随机变量（X,Y）的分布函数及边缘分布函数，若对任意x，y有F（x,y）=fX（x）fY（y），则称随机变量X和Y相互独立.（2）二随机变量相互独立的等价关系：随机变量X和Y相互独立P{X≤x,Y≤y}=Ｐ{X≤x}Ｐ{Y≤y}（3）二维离散型随机变量的独立性：设（X,Y）为离散型随机变量，其分布律为Pij=P{X=xi,Y=yj}，边缘分布律为和，则X与Y是相互独立的充要条件是，对一切i,j即.（4）设二维连续型随机变量（X,Y）的概率密度函数为f（x,y），fX（x），fY（y）分别是X和Y的边缘概率密度，则X和Y相互独立的充要条件是等式f（x,y）=fX（x）fY（y）几乎处处成立.7.设随机变量X~B（n,p），且E（X）=2.4，D（X）=1.44，则参数n，p的值分别为（）.A.4和0.6B.6和0.4C.8和0.3D.3和0.8[答疑编号918130107]『正确答案』B『答案解析』本题考查二项分布的数字特征.若随机变量X~B（n,p），则E（X）=np，D（X）=npq，由已知得，所以p=0.4.故选择B.『提示』注意，本题为什么不再求n？8.设随机变量X的方差D（X）存在，且D（X）0，令Y=-X，则ρXY=（）.A.-1B.0C.1D.2[答疑编号918130108]『正确答案』A『答案解析』本题考查随机变量函数的方差及相关系数.因为Y=-X，则D（Y）=（-1）2D（X）=D（X），而Cov（X,Y）=Cov（X,-X）=-Cov（X,X）=-D（X）所以，.其实，本题完全可以不用计算，根据相关系数的意义就可以得到答案为-1.因为，Y=-X属于完全负线性相关.故选择A.高等教育自学考试辅导《概率论与数理统计（经管类）》════════════════════════════════════════════════════════════════自考365（-）『提示』（1）方差的性质：①D（c）=0，c为常数；②D（aX）=a2D（X），a为常数；③D（X+b）=D（X），b为常数；④D（aX+b）=a2D（X），a，b为常数.（2）协方差A）定义：称E（X-E（X））（Y-E（Y））为随机变量X与Y的协方差.记做Cov（X,Y）.B）协方差的计算①离散型二维随机变量：；②连续性二维随机变量：；③协方差计算公式：Cov（X,Y）=E（XY）-E（X）E（Y）；④特例：Cov（X,X）=D（X）.C）协方差的性质：①Cov（X,Y）＝Cov（Y,X）；②Cov（aX,bY）＝abCov（X,Y），其中a，b为任意常数；③Cov（X1+X2,Y）＝Cov（X1,Y）＋Cov（X2,Y）；④若X与Y相互独立，Cov（X,Y）＝0，协方差为零只是随机变量相互独立的必要条件,而不是充分必要条件；⑤；⑥；⑦补充性质：课本P111，例4-36.高等教育自学考试辅导《概率论与数理统计（经管类）》══════════════════════════════════════════════════════════