2012一轮复习《高考调研》全套复习课件和练习9-46

课时作业(四十六)一、选择题1．双曲线x225－y29＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为()A．22或2B．7C．22D．2答案A解析由对称性，不妨设点在右支上，①若12为到右焦点的距离，则所求为12＋2a＝22；②若12为到左焦点的距离，则所求为12－2a＝2，故本题答案为A.2．(2011·山东聊城)已知二次曲线x24＋y2m＝1，则当m∈[－2，－1]时，该曲线的离心率e的取值范围是()A．[22，32]B．[22，62]C．[52，62]D．[32，62]答案C解析∵m∈[－2，－1]，∴曲线为双曲线，即x24－y2－m＝1.∴c2＝4－m.∴e2＝c2a2＝4－m4＝1－m4∈[54，32]．∴e∈[52，62]，故选C.3．(2010·全国卷Ⅰ，理)已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则P到x轴的距离为()A.32B.62C.3D.6答案B解析在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，即(22)2＝22＋|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝4.设P到x轴的距离为h，由S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin60°＝12|F1F2|·h，解题h＝62.4．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是()A．aB．bC.abD.a2＋b2答案B解析圆的半径即为双曲线C的右焦点到渐近线的距离，渐近线方程为y＝bax，即bx－ay＝0，所以r＝|bc|a2＋b2＝b.5．(2011·西城区)某圆锥曲线C是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点A(－2,23)，B(32，－5)，则()A．曲线C可为椭圆也可为双曲线B．曲线C一定是双曲线C．曲线C一定是椭圆D．这样的曲线C不存在答案B解析设此曲线方程为mx2＋ny2＝1，(m≠0，n≠0)∴4m＋12n＝1，94m＋5n＝1，解之，得m＝1，n＝－14.曲线C为双曲线x2－y24＝1.6．(09·天津)设双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为()A．y＝±2xB．y＝±2xC．y＝±22xD．y＝±12x答案C解析由题意知2b＝2,2c＝23，所以b＝1，c＝3，a＝c2－b2＝2，故双曲线的渐近线方程为y＝±22x，选C.二、填空题7．(2010·福建卷，文)若双曲线x24－y2b2＝1(b0)的渐近线方程为y＝±12x，则b等于________．答案1解析x24－y2b2＝1的渐近线方程为y＝±12bx，∵y＝±12x，∴12b＝12，∴b＝1.8．等轴双曲线x2－y2＝1上一点P与两焦点F1、F2连线互相垂直，则△PF1F2的面积为________．答案1解析设P(x0，y0)，则x20－y20＝1①PF1→＝(－2－x0，－y0)，PF1→＝(2－x0，－y0)∵PF1→·PF2→＝0,∴x20－2＋y20＝0②由①②解得|y0|＝22∴S△PF1F2＝12·|F1F2|·|y0|＝19．已知F1、F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为________．答案3＋1解析设正三角形MF1F2的边MF1的中点为H，则M(0，3c)，F1(－c,0)．所以H(－12c，32c)，H点在双曲线上，故－12c2a2－32c2b2＝1，化简e4－8e2＋4＝0，解得e2＝4＋23，所以e＝3＋1.10．已知双曲线x22－y2b2＝1(b0)的左、右焦点分别为F1、F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(3，y0)在该双曲线上，则PF1→·PF2→＝________.答案0解析∵双曲线的一条渐近线方程为y＝x，∴b2＝1，即b＝2，∴双曲线方程为x22－y22＝1，焦点F1(－2,0)，F2(2,0)，∵点P(3，y0)在双曲线上，∴y20＝1，∴PF1→·PF2→＝(－2－3，－y0)·(2－3，－y0)＝0.11．(2011·济南统考)已知双曲线x2m－y2n＝1的一条渐近线方程为y＝43x，则该双曲线的离心率e为________．答案53或54解析设m0，n0，∴nm＝43，∴nm＝169.∴m＋nm＝259.∴e＝53.设m0，n0.则y2－n－x2－m＝1，∴nm＝43.∴nm＝169.∴mn＝916.∴m＋nn＝2516.∴e＝54.∴双曲线的离心率为53或54.12．(2010·北京卷)已知双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x225＋y29＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为________；渐近线方程为________．答案(±4,0)3x±y＝0.解析椭圆的焦点坐标是(±4,0)，这也是双曲线的焦点坐标．对于此双曲线，根据ca＝2且c＝4，得a＝2，故b＝16－4＝23，所以双曲线的渐近线方程是y＝±bax＝±3x，即3x±y＝0.三、解答题13．已知双曲线的渐近线方程为y＝±43x，并且焦点都在圆x2＋y2＝100上，求双曲线方程．解析法一：①当焦点在x轴上时，设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，因渐近线的方程为y＝±43x，并且焦点都在圆x2＋y2＝100上，∴ba＝43a2＋b2＝100，解得a＝6b＝8，∴双曲线的方程为x236－y264＝1.②当焦点在y轴上时，设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，因渐近线的方程为y＝±43x，并且焦点都在圆x2＋y2＝100上，∴ab＝43a2＋b2＝100，解得a＝8b＝6.∴双曲线的方程为y264－x236＝1.综上，双曲线的方程为x236－y264＝1和y264－x236＝1.法二：设双曲线的方程为42·x2－32·y2＝λ(λ≠0)，从而有(|λ|4)2＋(|λ|3)2＝100，解得λ＝±576，∴双曲线的方程为x236－y264＝1和y264－x236＝1.14.如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，F1、F2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P，∠F1PF2＝π3，且△PF1F2的面积为23，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．解析设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1∴F1(－c,0)，F2(c,0)，P(x0，y0)．在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cosπ3＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，即4c2＝4a2＋|PF1|·|PF2|.又∵S△PF1F2＝23，∴12|PF1|·|PF2|·sinπ3＝23.∴|PF1|·|PF2|＝8.∴4c2＝4a2＋8，即b2＝2.又∵e＝ca＝2，∴a2＝23.∴所求双曲线方程为3x22－y22＝1.15．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点为F，过点F作直线PF垂直于该双曲线的一条渐近线l1于P(33，63)．(1)求该双曲线方程；(2)过点F作直线l2交该双曲线于M，N两点，如果|MN|＝4，求直线l2的方程．解析(1)设F(c,0)，l1：y＝bax，PF：y＝－ab(x－c)．解方程组y＝baxy＝－abx－c，得P(a2c，abc)，又已知P(33，63)，故解得a＝1，b＝2，所以双曲线方程为x2－y22＝1.(2)若直线l2垂直于x轴，交双曲线于M，N.由(1)得右焦点为F(3，0)，将x＝3代入x2－y22＝1，得y＝±2，所以|MN|＝4，若直线l2不垂直于x轴，设MF：y＝k(x－3)，代入x2－y22＝1，得2x2－k2(x－3)2＝2，整理，得(2－k2)·x2＋23k2x－3k2－2＝0，所以x1＋x2＝23k2k2－2，如果M，N两点均在双曲线的右支上，则k22；如果M，N两点在双曲线的两支上，则k22.又若M，N两点均在双曲线的右支上，由于通径最短且为4，故M，N两点只可能分别在双曲线的两支上，此时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，|MN|＝||NF|－|MF||＝3[(13－x2)－(x1－13)]，所以4＝2－3(x1＋x2)，即3·23k2k2－2＝－2，k＝±22，所以所求直线l2的方程为x＝3或y＝±22(x－3)．1．P是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，焦距为2c，则△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为()A．－aB．aC．－cD．c答案B解析如图所示内切圆与三条边的切点分别为A、B、C，由切线性质F1C＝F1A，PC＝PB，F2A＝F2B由双曲线定义知，PF1－PF2＝2a即(PC＋CF1)－(PB＋BF2)＝2a∴CF1－BF2＝2a即F1A－F2A＝2a∵F1A＋F2A＝2c.∴F1A＝a＋c.∴A(a,0)．选B.2．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于________．答案－143．(09·安徽)下列曲线中离心率为62的是()A.x22－y24＝1B.x24－y22＝1C.x24－y26＝1D.x24－y210＝1答案B解析∵e＝ca，c2＝a2＋b2，∴e2＝c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2＝32，∴b2a2＝12，故选B.4．(08·全国Ⅱ)设a1，则双曲线x2a2－y2a＋12＝1的离心率e的取值范围是()A．(2，2)B．(2，5)C．(2,5)D．(2，5)答案B解析由题意得双曲线x2a2－y2a＋12＝1的离心率e＝a＋12＋a2a＝2＋2a＋1a2，又a1，∴2e5.1．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右顶点分别为A1，A2，右焦点为F(2,0)，点P为双曲线上一点，PF→·A1A2→＝0，PA1→·PA2→＝43.(1)求双曲线的方程；(2)若双曲线上有两个不同点M，N，点E(0，－1)，当MN→＝λ(3,1)且|EM→|＝|EN→|时，求△MON的面积(O为原点)．解析(1)由PF→·A1A2→＝0得PF⊥A1A2，∴P(c，b2a)(不妨设P在x轴上方)，又A1(－a,0)，A2(a,0)，PA1→＝(－a－c，－b2a)，PA2→＝(a－c，－b2a)，∴PA1→·PA2→＝c2－a2＋b4a2＝b2(1＋b2a2)＝b2·c2a2＝43.又∵c2＝4，∴a2＝3b2a2＋b2＝4，∴a2＝3b2＝1，∴双曲线方程为x23－y2＝1.(2)由MN→＝λ(3,1)可知直线MN的斜率为k＝13，设直线MN：y＝13x＋m，与x2－3y2＝3联立整理得2x2－6mx－9m2－9＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝3m，x1x2＝－9m2＋12.设MN的中点为G(x0，y0)，则x0＝x1＋x22＝3m2，y0＝13x0＋m＝3m2.由|EM→|＝|EN→|得MN⊥EG，∴kMN·kEG＝－1，∴13×32m＋13m2＝－1，∴m＝－16，此时x1＋x2＝－12，x1x2＝－378，∴|MN|＝1＋k2MN[x1＋x22－4x1x2]＝1＋19[－122－4×－378]＝5630，又点O到直线MN的距离为d＝|2×0－6×0－1|22＋－62＝1210，∴S△MON＝12×d×|MN|＝12×1210×5630＝5324.