1参数估计

数理统计问题：如何选取样本来对总体的种种统计特征作出判断。参数估计问题：知道随机变量（总体）的分布类型，但确切的形式不知道，根据样本来估计总体的参数，这类问题称为参数估计（paramentricestimation）。参数估计的类型——点估计、区间估计参数的估计量设总体的分布函数为F(x,)（未知），X1，X2，…，Xn为样本，构造一个统计量来估计参数，则称为参数的估计量。12(,,,)nXXX12(,,,)nXXX将样本观测值代入，得到的值称为参数的估计值。12,,,nxxx12(,,,)nxxx12(,,,)nXXX点估计（pointestimation)：如果构造一个统计量12(,,,)nXXX来作为参数的估计量，则称为参数的点估计。区间估计（intervalestimation）：如果构造两个统计量211212(,,,),(,,,),nnXXXXXX而用来作为参数可能取值范围的估计，称为参数的区间估计。12(,)参数的点估计点估计的方法：数字特征法、矩法、极大似然法。样本的数字特征法：以样本的数字特征作为相应总体数字特征的估计量。以样本均值作为总体均值的点估计量，即X11niiXXn点估计值11niixxn22211()1niiSXXn点估计值以样本方差作为总体方差的点估计量，即2S222211()1niiSxxn例1一批钢件的20个样品的屈服点（t/cm2）为4.985.115.205.205.115.005.355.614.885.275.385.485.275.234.965.154.775.355.385.54试估计该批钢件的平均屈服点及其方差。解由数字特征法，得屈服点及方差的估计值为2022211(5.21)0.049201iiSx20115.2120iixx定义设为随机变量，若存在，则称为的阶原点矩，记作；若存在，则称为的阶中心矩，记作X()kEXEX()kEXXk()kEX()kkVEXXk()kEXEX()kkUEXEX样本的阶原点矩，记作k11()nkkiiBXXn样本的阶中心矩，记作k11nkkiiAXn阶矩的概念k参数的矩法估计矩法估计：用样本的矩作为总体矩的估计量，即1111,()nnkkkkikkiiiVAXUBXXnn若总体X的分布函数中含有m个参数1，2，…，m，总体的k阶矩Vk或Uk存在，则1211(,,,)nkkmiiVXn(1,2,,)km1211(,,,)()nkkmiiUXXn(1,2,,)km或参数的矩法估计1211(,,,)nkkmiiVXn(1,2,,)km1211(,,,)()nkkmiiUXXn(1,2,,)km或得m个方程构成方程组，解得的即为参数12,,,m12,,,m的矩估计量，代入样本观测值，即得参数的矩估计值。矩法估计：用样本的矩作为总体矩的估计量，即例2设某总体X的数学期望为EX=，方差DX=2，X1，X2，…，Xn为样本，试求和2的矩估计量。解总体的k阶原点矩为1V22222()VEXDXEX样本的k阶原点矩为1AX2211niiAXn由矩法估计，应有X22211niiXn所以X22211niiXXn211()niiXXn11niiXXn22211()niniXXSn结论：不管总体X服从何种分布，总体期望和方差的矩估计量分别为样本均值、样本方差，即估计值为11niixxn2211()niixxn例3设X1，X2，…，Xn为总体X的样本，试求下列总体分布参数的矩估计量。解（1）由于2(1)~,(2)~,(3~()XNXBNpNXP已知）(）2EXDX（2）由于NpX所以参数和2的矩估计量为X2211()niiXXnEXNp1111niipXXNNn所以得参数p的矩估计量为例3设X1，X2，…，Xn为总体X的样本，试求下列总体分布参数的矩估计量。解（3）由于2(1)~,(2)~,(3~()XNXBNpNXP已知）(）EXDX所以参数的矩估计量为11niiXXn211()niiXXn可见：同一个参数的矩估计量可以不同。所以统计量存在“优、劣”之分。或一阶矩二阶矩例4设总体X服从[1，2]上的均匀分布，12，求1，2的矩估计量，X1，X2，…，Xn为X的一个样本。解由于21221(),212EXDX所以由矩法估计，得13nXS122X2221()12nS解得23nXS区间长度的矩估计量为2123nS解由于202()3aaEXxaxdxa所以由矩法估计，得133niiaXXn3aX解得22(),(0)()0,axxafxa其它所以，参数的矩估计量为13niiaXna例5对容量为n的子样，求下列密度函数中参数的矩估计量。a参数的极大似然估计法思想：设总体X的密度函数为f(x,)，为未知参数，则样本（X1,X2,…,Xn）的联合密度函数为121(,,,,)(,)nniifxxxfx121()(,,,,)(,)nniiLfxxxfx令参数的估计量，使得样本（X1,X2,…,Xn）落在观测值的邻域内的概率L()达到最大，即ˆ12(,,,)nxxx1212ˆ(,,,,)max(,,,,)nnLxxxLxxx则称为参数的极大似然估计值。ˆ参数的极大似然估计法求解方法：121ln(,,,,)ln(,)nniiLxxxfx121()(,,,,)(,)nniiLfxxxfx（2）取自然对数其解即为参数的极大似然估计值。ˆ（3）令ln0dLd（1）构造似然函数若总体的密度函数中有多个参数1，2，…，n，则将第（3）步改为ln0,(1,2,,)iLin解方程组即可。例6假设（X1，X2，…，Xn）是取自正态总体N(,2)的样本，求和2的极大似然估计量。解构造似然函数22()211()2ixniLe取对数22()211ln()ln2ixniLe221()ln2ln2niix续解求偏导数，并令其为01221()2()(1)ln02niniiixxL222221()ln11022niixL解得11niixxn2211()niixxn所以μ，2的极大似然估计量为11ˆniiXXn2211ˆ()niiXXn与矩估计量相同估计量的评选标准——无偏性、有效性、相合性*、充分性与完备性*无偏估计量：设是的估计量，如果则称是的无偏估计量（unbiasedestimation）(),E例题设总体的数学期望EX和方差DX都存在，证明：样本均值、样本方差分别是EX、DX的无偏估计。X2211()1niiSXXn例题设总体的数学期望EX和方差DX都存在，证明：样本均值、样本方差分别是EX、DX的无偏估计。X2211()1niiSXXn证明2211()()1niiESEXXn211()1niinEXXnn22111niinEXXnn2211()1niinEXEXnn222[()]()1nnDXEXDXEXnn证明2211()()1niiESEXXn222[()]()1nnDXEXDXEXnn22[()]()1nnDXEXDXEXnnnDX2111()niinEXXDXnn有效性设是的无偏估计量，当样本容量n固定时，使达到最小的称为的有效估计2()E比较：若，则比有效。12212()()EE2例如及（其中）都是EX的无偏估计，但比有效。X1niiiaX11niiaX1niiiaX例如及（其中）都是EX的无偏估计，但比有效。X1niiiaX11niiaX1niiiaX因为22DXEXEXEXEXDXn22111nnniiiiiiiiiEaXEXEaXEaX211()nniiiiiiDaXaDX21()niiDXa211()niiDXnan211()niiDXan1()DXn算术平均≤几何平均小结参数估计的点估计方法数字特征法：以样本均值、方差作为总体期望、方差的估计量。11niiXXn22211()1niiSXXn矩法估计：以样本k阶矩作为总体k阶矩的估计量。1211(,,,)nkkmiiVXn(1,2,,)km1211(,,,)()nkkmiiUXXn(1,2,,)km或作业P1301，2，4预习第三节区间估计