2012中考数学专题复习数学猜想与规律发现

中考数学专题复习：数学猜想与规律发现归纳与猜想问题指的是给出一定条件（可以是有规律的算式、图形或图表），让学生认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探索题。其解题思维过程是：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论，这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性。一、知识网络图二、基础知识整理猜想规律型的问题难度相对为中等题，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的又一热点。◆典型例题分析1.（烟台09）如图，细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：（1）2＋1＝2S1＝12（2）2＋1＝3S2＝22（3）2＋1＝4S3＝32⑴请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；⑵推算出OA10的长；⑶求出S12＋S22＋S32＋…＋S102的值．解：⑴（n）2＋1＝n＋1，Sn＝n2；⑵∵OA1＝1，OA2＝2，OA3＝3，…，∴OA10＝10；猜想性问题猜想规律型猜想结论型猜想数式规律猜想图形规律猜想数值结果猜想数量关系猜想变化情况A6…A511A41A3A21A111OS1S2S3S4S5⑶S12＋S22＋S32＋…＋S102＝14（1＋2＋3＋…＋10）＝554．2.（2011浙江省，10，）如图，下面是按照一定规律画出的“数形图”，经观察可以发现：图A2比图A1多出2个“树枝”，图A3比图A2多出4个“树枝”，图A4比图A3多出8个“树枝”，……，照此规律，图A6比图A2多出“树枝”（）A.28B.56C.60D.124【答案】C3.（2011内蒙古乌兰察布）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第n个图形有个小圆.（用含n的代数式表示）【答案】(1)4nn或24nn4.（2011湖南益阳）观察下列算式：①1×3-22=3-4=-1②2×4-32=8-9=-1③3×5-42=15-16=-1④……（1）请你按以上规律写出第4个算式；（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．【答案】解：⑴246524251；第1个图形第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形第18题图⑵答案不唯一.如2211nnn；⑶221nnn22221nnnn22221nnnn1.5．(2009年湖州市)观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…根据上述算式中的规律，你认为810的末位数字是()A．2B．4C．8D．66.观察下列数表：1234…第一行2345…第二行3456…第三行4567…第四行…………第一列第二列第三列第四列根据数表所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为＿＿＿＿，第n行与第n列交叉点上的数应为＿＿＿＿。（用含正整数n的式子表示）解：11，2n—1.7.（2011广东肇庆）如图5所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n（n是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是．【答案】)2(nn8.（2011四川绵阳）观察上面的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第_____个图形共有120个。【答案】159.（2011湖南常德）先找规律，再填数：1111111111111111,,,,122342125633078456............111+_______.2011201220112012则【答案】11006（第11题图）…①②③10．（2011年浙江省杭州市模拟）如图，，过上到点的距离分别为的点作的垂线与相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为．观察图中的规律，求出第10个黑色梯形的面积()A.32B.54C.76D.8611.（2011年浙江杭州七模）图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为12的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪如图掉正三角形纸板边长的21）后，得图③，④，…，记第n(n≥3)块纸板的周长为Pn，则Pn-Pn-1的值为（）A．1n41）（B．n41）（C．1n21）（D．n21）（答案：C12.（2011年黄冈中考调研六）瑞士的一位中学教师巴尔末从光谱数据95，1612，2521，3632，中，成功地发现了其规律，从而得到了巴尔末公式，继而打开了光谱奥妙的大门．请你根据这个规律写出第9个数答案11712113.（2011年浙江杭州三模）如图，在平面直角坐标系上有个点P(1，0)，点P第1次向上跳动1个单位至点P1(1，1)，紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2(―1，1)，第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，……，依此规律跳动下去，点P第100次跳动至点P100的坐标是。答案：（26，50）14.（茂名2011模拟）一串有趣的图案按一定的规律排列(如图)：按此规律在右边的圆中画出的第2011个图案：。答案：……15.（2011年广东省澄海实验学校模拟）根据图中箭头的指向的规律，从2007到2008再到2009，箭头的方向是以下图示中的（）…答案：C16.（2011深圳模拟）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，过点C作CD1⊥AB于D1，过点D1作D1D2⊥BC于D2，过点D2作D2D3⊥AB于D3，这样继续作下去，线段DnDn+1(n为整数)等于（）A、1)21(nB、1)23(nC、n)23(D、1)23(n答案：D17．（2011年重庆江津区七校联考一模）观察下列各式：11111112,23,34,334455……请你将猜想到的规律用含自然数n(n≥1)的代数式表示出来是__________.答案：21)1(21nnnn18.（2011杭州上城区一模）如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，abcd、、、是相邻两行的前四个数（如图所示），那么当a=8时，c，d．答案：9，3719.（2011年黄冈浠水模拟）下面是用棋子摆成的“上”字：第一个“上”字第二个“上”字第三个“上”字如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：第n个“上”字需用棋子．答案：42n20.（2011年北京四中3模）如下图，第（1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为a3，第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为a4，……以此类推，由正n边形“扩展”而来的多边形的边数记为an(n≥3)，则a6=，当30398113naa时，则n=。答案：42；100901256108743ABCD16题图（第18题）21．（2010重庆）有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，……，则第10次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（）A．图①B．图②C．图③D．图④【分析】规律的归纳：通过观察图形可以看到每转动4次后便可重合，即4次一个循环，10÷4＝2…2，所以应和图②相同．【解答】B22.（2010年山东青岛中考题）如图1，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要枚棋子，摆第n个图案需要枚棋子．23.（2011山东济宁）观察下面的变形规律：211＝1－12；321＝12－31；431＝31－41；……解答下面的问题：（1）若n为正整数，请你猜想)1(1nn＝；（2）证明你猜想的结论；（3）求和：211＋321＋431＋…[phone].【答案】（1）111nn（2）证明：n1－11n＝)1(1nnn－)1(nnn＝1(1)nnnn＝)1(1nn.（3）原式＝1－12＋12－31＋31－41＋…[phone]＝12009120102010.…图1