1插值法

第一章插值法本章要求1.熟悉插值法的含义及其几何意义2.熟悉Lagrange插值公式及逐步插值3.熟悉插值逼近的概念，掌握插值函数的3种构造方法4.了解分段插值法和样条插值法§1.1引言本节内容一.插值问题提出二.几何意义测得在某处海洋不同深度处的水温如下：深度（M）46674195014221634水温（oC）7.044.283.402.542.13根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如500米，600米，1000米…）处的水温§1.1引言§1.1引言§1.1引言§1.1引言§1.1引言一.问题提出：表示两个变量x,y内在关系一般由函数式y=f(x)表达。但在实际问题中，有两种情况：1.由实验观测而得的一组离散数据(函数表),显然这种函数关系式y=f(x)存在且连续,但未知。2.函数解析表达式已知,但计算复杂,不便使用。通常也造函数表。如:y=sin(x),y=lg(x)。有时要求不在表上的函数值,怎么办？§1.1引言)()()()()()(,],[)()()()(:),...,2,1,0()(,,],[)(,多项式插值代数插值为多项式函数或者取三角插值为三角函数通常取叫截断误差叫插值节点插值区间区间插值法插值条件使被插函数近似代替插值函数用简单函数希望只知离散数据但未知上连续存在在区间函数实际中xPxPxPxfxRxbaxfxPxfxPnixfybaxfyiiiii9/47§1.1引言二.几何意义：两条曲线有交点（公共点）1.2拉格朗日插值1.2.1线性插值(二点一次插值）1定义已知f(x0)=y0，f(x1)=y1,x0≠x1xx0x1yy0y1要构造线性函数P(x)=a0+a1x,使满足插值条件P(x0)=y0,P(x1)=y1.100010()()yyPxyxxxx010100110110()()()xxxxPxyylxylxyxxxx2表达式拉格朗日插值多项式公式的结构：它是两个一次函数的线性组合01011010)(,)(xxxxxlxxxxxl线性插值基函数010010yyyyxxxx()Px()fx3线性插值的几何意义用直线近似代替被插值函数例造数学用表。平方根表给定函数在100、121两点的平方根如下表，试用线性插值求115的平方根。115121115101115(115)101110.914100121121100P解x0=100,x1=121,x=115x100121y101101010110()xxxxPxyyxxxx抛物线（二次）插值:(三点二次插值）1定义已知f(x)在三个互异点x0,x1,x2的函数值y0,y1,y2xx0x1x2yy0y1y2构造一个次数不超过二次的多项式2012()Pxaaxax使满足插值条件i(),(0,1,2)iPxyi1200102()()()()xxxxlxxxx0211012()()()()xxxxlxxxx0122021()()()()xxxxlxxxx插值基函数1000100010x1x2x0()lx1()lx2()lx001122()()()()Pxlxylxylxyi(),(0,1,2)iPxyi2公式的构造：拉格朗日二次插值多项式满足插值条件012()()lAxxxx000102()()()1lxAxxxx01021()()Axxxx1200102()()()()xxxxlxxxx例造平方根表已知100，121，144的平方根，计算115的平方根的近似值。x100121144y101112解(121)(144)(100)(144)()1011(100121)(100144)(121100)(121144)xxxxPx(115)(115)10.7228fP(100)(121)12(144100)(144121)xx二次插值也称为抛物插值。当三点(x0,y0),(x1,y1),(x2,y2)位于一条直线上时，显然插值函数的图形是直线。1.2.2拉格朗日插值多项式定理若001110111()()()()()()0,1,,()()()()()nikikiikkknkkkkkkknxxlxxxxxxxxxxxxxknxxxxxxxxxx则()1(),()0(),0,1,,kikilxkilxkiikn、lk(x)称为关于节点xi(i=0,1,…,n)的n次插值基函数。基函数的特点1.基函数的个数等于节点数。2.n+1个节点的基函数是n次代数多项式。3.基函数和每一个节点都有关。节点确定，基函数就唯一的确定。4.基函数和被插值函数无关。5.基函数之和为1。001100()()()()()()nkknnknikikiikpxylxylxylxylxxxlxxx其中定理n次拉格朗日插值多项式证基函数是关于x的n次多项式，所以p(x)是关于x的不超过n次的多项式。又满足插值条件。0()()nikkiikpxylxy1230230101020310121301301223202123303132()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()xxxxxxxxxxxxPxyyxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxyyxxxxxxxxxxxx拉格朗日三次多项式n次拉格朗日插值多项式其中010()()()()()ninixxxxxxxxx§1.3分段插值分段插值(piecewisepolynomialapproximation)本节内容一.Runge现象二.分段线性插值三.分段Hermite插值返回章节目录一.计算中的Runge现象由插值问题的提出,通常我们会觉得当节点越来越密时,插值函数越来越接近于原函数。但是结果并非如此,因为多项式是上下震荡的,震荡的幅度不尽相同,不同区段的震荡密度也不一样,由此导致,利用较高阶的插值多项式所计算的结果,与原来的函数值相差甚远。这说明高次插值未必可行。结果表明,并不是插值多项式的次数越高,插值效果越好,精度也不一定是随次数的提高而升高,这种现象在上个世纪初由Runge发现,故称为Runge现象。§1.3分段插值24/47§2.4分段插值-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52n=2n=4n=6n=8n=10f(x)=1/(1+x2)-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52n=2n=4n=6n=8n=10f(x)=1/(1+x2)不同次数的Lagrange插值多项式的比较图Runge现象),...,0(105)(11)(]5,5[2niinxxLxxfin取。的上考察在-5-4-3-2-1012345-0.500.511.522.5n越大，端点附近抖动越大，称为Runge现象Ln(x)f(x)分段低次插值§1.5分段插值二.分段线性插值)()(0||max],[)()(:)()(1,],[111111111xfxPhxxhxxxyxxxxyxxxxxPxfxfxxhiiiiiiiiiiiiii一致时，易证：当，记其中，逼近直线阶多项式用上在每个区间失去了原函数的光滑性。§1.3分段插值三.分段Hermite插值函数次造构及上利用两点的在给定Hermiteyyxxyyyyxxiinnn3'],[,...,;,...,;,...,1000导数一般不易得到。§1.3分段插值28/47分段线性插值（图）29/47分段三次Hermite插值（图）§1.4样条插值本节内容一.分段插值法二.三次样条插值三.三次样条插值函数四.边界条件一.分段插值法：问题：结点增多,多项式次数增高,逼近精度越好?未必!多结点高次插值往往在局部误差更大——Runge现象。实用：采用分段低次插值。有分段线性,分段二次插值等,其几何意义缺点：分段插值函数只能保证连续性,不能保证光滑性。折线代替曲线§1.4样条插值二、什么是样条：是指飞机或轮船等的制造过程中为描绘出光滑的外形曲线（放样）所用的工具；样条本质上是一段一段的三次多项式拼合而成的曲线；在拼接处，不仅函数是连续的，且一阶和二阶导数也是连续的；1946年，Schoenberg将样条引入数学，即所谓的样条函数。§1.4样条插值§1.4样条插值§1.4样条插值三.三次样条插值函数的三次样条插值函数。为则称上具二阶连续导数。在内结点或在整个区间上是三次多项式；在每个小区间）（叫插值函数；此时—）（满足：若函数作分划对区间定义：)()((3)],[2)()(1)(:],[110xfyxSxxxSyxSxSbxxxabaiiiin§1.4样条插值四.边界条件S(x)在区间[xi-1,xi]上是三次多项式,S(x)=aix3+bix2+cix+di,有4个待定系数,要确定S(x)共要4n个待定系数。已知条件：(1)经过n+1个节点:,有n+1个条件(2)内节点的函数值连续:,有n-1个条件(3)内节点一阶导数连续:,有n-1个条件(4)内节点二阶导数连续:,有n-1个条件共有4n-2个条件。尚缺少两个条件。为得到唯一的三次样条函数,通常可在区间[a,b]的端点x0=a,xn=b上各加一个条件,称为边界条件。§1.4样条插值注：4n-2个条件S(xi)=yi，i=0,1,…,n,有n+1个条件。S(xi-0)=S(xi+0),i=1,2…,n-1,有n-1个条件S(xi-0)=S(xi+0),i=1,2…,n-1,有n-1个条件S(xi-0)=S(xi+0),i=1,2…,n-1,有n-1个条件§1.4样条插值常用的边界条件有1.S(x0)=y0,S(xn)=yn;(夹持条件)2.S(x0)=y0,S(xn)=yn;(自然边界条件)§1.4样条插值