2012全国高中数学联赛

12012年全国高中数学联赛试题（A卷）一、填空题：（本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在题中的横线上）1．设P是函数)0(2xxxy的图像上任意一点，过点P分别向直线xy和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则PBPA的值是.2．设ΔABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足cAbBa53coscos，则BAtantan的值是.3．设x、y、z∈[0，1]，则xzzyyxM的最大值是.4．抛物线pxy22（0p）的焦点为F，准线为l，A、B是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=3．设线段AB的中点M在l上的投影为N，则ABMN的最大值是.5．设同底的两个正三棱锥P-ABC和Q-ABC内接于同一个球，若正三棱锥P-ABC的侧面与底面所成的角为45º，则正三棱锥Q-ABC的侧面与底面所成角的正切值是.6．设)(xf是定义在R上的奇函数，且当0x时，2)(xxf，若对任意的]2,[aax，不等式)(2)(xfaxf恒成立，则实数a的取值范围是.7．满足31sin41n的所有正整数n的和是.8．某情报站有A、B、C、D四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第一周使用A种密码，那么第7周也使用A种密码的概率是.（用最简分数表示）二、解答题：（本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤）9．（本小题满分16分）已知函数2132cos21sin)(aaxxaxf，Ra且0a．（1）若对任意Rx，都有0)(xf，求a的取值范围；（2）若2a，且存在Rx，使得0)(xf，求a的取值范围．10．（本小题满分20分）已知数列{na}的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n，都有33231321)(nnaaaaaa．2（1）当3n时，求所有满足条件的三项组成的数列321,,aaa；（2）是否存在满足条件的无穷数列{na}，使得20122013a？若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．11．（本小题满分20分）如图，在平面直角坐标系XOY中，菱形ABCD的边长为4，且6ODOB．（1）求证：OCOA为定值；（2）当点A在半圆M：)42(4)2(22xyx上运动时，求点C的轨迹．二试一、（本题满分40分）1．如图，在锐角ΔABC中，ABAC，M、N是BC边上不同的两点，使得∠BAM=∠CAN，设ΔABC和ΔAMN的外心分别为1O、2O，求证：1O、2O、A三点共线．32．试证明：集合A={2，22，…，2n,…}满足：（1）对每个Aa，及Nb，若12ab，，则使)1(bb一定不是a2的倍数；（2）对每个Aa（其中A表示A在N中的补集）且1a，必存在Nb，12ab，使)1(bb是a2的倍数．3．设0P，1P，…，nP是平面上1n个点，它们两两间的距离的最小值为d（0d）．求证：)!1(302010ndPPPPPPnn4．设nSn1211，n是正整数，证明：对满足10ba的任意实数a，b，数列]}[{nnSS中有无穷多项属于（a，b）．这里][x表示不超过实数x的最大整数．