1离散时间信号与离散时间系统-zhj.

第1章离散时间信号和离散时间系统基本要求：掌握离散时间信号与系统的基本概念和分析方法；掌握线性移不变（LSI）系统输入输出关系的差分程及时域卷积分析方法；掌握离散信号频域分析的基本概念；掌握确定性信号相关函数的定义、性质及其应用。第1章离散时间信号和离散时间系统一、离散时间信号基本概念；二、信号的分类；三、噪声；四、信号空间；五、离散时间系统；六、LSI系统输入、输出关系；七、LSI系统的频率响应；八、确定性信号的相关函数主要内容：若对模拟信号Xa(t)进行等间隔采样，采样间隔为Ts，得到：这里n取整数。对于不同的n值，Xa(nTs)是一个有序的数字序列：…Xa(-T)、Xa(0)、Xa(T)…，该数字序列就是时域离散信号1离散时间信号的基本概念信号通常是含一个自变量或几个自变量的携带有信息的函数。自变量：可以是时间、距离、温度、电压等，本书一般地把信号看作时间的函数。离散时间信号（DiscreteTimeSignal）—时间上不连续的序列()(),satnTasxtxnTn离散信号（数字信号）—时间和幅度上都取离散值的信号几种常见的离散时间序列1单位抽样序列101()()000nnknnknnk()()kpnnk()1()0,0tdtttp(n):脉冲串序列几种常见的离散时间序列1单位抽样序列几种常见的离散时间序列1单位抽样序列几种常见的离散时间序列1单位抽样序列()()kpnnk脉冲串序列：或写为={…,1,1,1,…}将用来替换snTn()pn冲激串：()()sxnTxn离散序列()()skpttkT()()()()()ssnxnTxtptxttnT几种常见的离散时间序列2单位阶跃序列10()00nunn3矩形序列RN(n)101()0NnNRnn其他几种常见的离散时间序列()sin(2)sin()xtAftAt(:Hz;:rad/s;:抽样频率,Hz)()()|sin(2/)stnTsxnxtAfnf()sin()xnAn定义：2/()sffradfsf4正弦信号010203040506070-1-0.500.51010203040506070-1-0.500.517复正弦序列8实指数序列)()(nuanxn|a|1时，序列发散，|a|1序列收敛，a0时，序列有正有负，是摆动的。离散傅立叶变换的基函数()cos()sin()jnxnenjn几种常见的离散时间序列序列值为复数的序列称为复序列。复序列的每个值具有实部和虚部两部分。复指数序列是最常用的一种复序列：njAenx)(0)(9复指数序列10周期序列如果对所有n存在一个最小的正整数N，使下面等式成立：x(n)=x(n+N),-∞n∞则称序列x(n)为周期性序列，周期为N，注意N要取整数讨论一般正弦序列x(n)=Asin(ω0n+φ)的周期性几种常见的离散时间序列几种常见的离散时间序列设那么如果则要求N=(2π/ω0)k。式中，k与N均取整数，且k的取值要保证N是最小的正整数，满足这些条件，正弦序列才是以N为周期的周期序列。)sin()(0nAnx)sin())(sin()(000NnANnANnx)()(nxNnx序列的基本运算包括移位、翻转、和、积、差分、卷积和以及时间尺度变化、分解、变换等)()(mnxnw1．序列的移位当m为正时，则x(n-m)是指序列x(n)逐项依次延时（右移）m位而给出的一个新序列;当m为负时，x(n-m)是指依次超前（左移）m位。:当前时刻:过去时刻:将来的单位延迟是以后用表示1z序列的基本运算序列的基本运算2．序列的翻转如果序列为x(n),则x(-n)是以n=0的纵轴为对称轴将序列x(n)加以翻褶。x(n)及x(-n)如图(a)、(b)所示。nnx(n)－6－5－4－3－2－1012345x(－n)－5－4－3－2－10123456(a)(b)3．序列相加（和）两序列的和是指同序号n的序列值逐项对应相加而构成的一个新序列，即：)()()(nynxnz4．序列的乘积两序列的积是指同序号n的序列值逐项对应相乘而构成的一个新序列，即：()()()znxnyn5．序列的累加它表示y(n)在某一个n0上的值y(n0)等于在这一个n0上的x(n0)值与n0以前所有n上的x(n)之和。()()kynxk序列的基本运算用单位抽样序列来表示任意序列设{x(m)}是一个序列值的集合，其中的任意一个值x(n)可以表示成单位采样序列的移位加权和，即这种表达式提供了一种信号分析工具。)()()(mnmxnxm应用举例：序列的基本运算6．卷积和设和为两个离散序列，则它们的卷积和定义为：卷积和与两序列的先后次序无关()()()()()()()()()mmynxnhnxmhnmhmxnmhnxn这是一种非常重要的运算序列的基本运算卷积和求解过程①将x(n)和h(n)用x(m)和h(m)表示，并将h(m)进行翻转，形成h(-m)；②将h(-m)移位n，得到h(n-m)。当n0时，序列右移；n0时，序列左移；③将x(m)和h(n-m)相同m的序列值对应相乘后，再相加。按照以上三个步骤可得到卷积结果y(n)。卷积中主要运算是翻转、移位、相乘和相加，这类卷积称为序列的线性卷积。设两序列的长度分别是N和M，线性卷积后的序列长度为(N+M-1)。线性卷积服从交换律、结合律和分配律序列的基本运算7．信号时间尺度的变化1()()(/)1axtytxtaax(t)在时间轴上扩展a倍的结果x(t)在时间轴上压缩a倍的结果()()()()()ynxMnxnynxnlx(n)作M倍抽取的结果x(n)作L倍插值的结果序列的基本运算()xt()xat(/)xta000ttt1a8．信号的分解1()Nnnnxna将一个实际的物理信号分解为有限或无限小的信号是信号处理和分析中常用的方法。12n，，，设是一组基向量，对给定的信号x，将其按这样一组向量作分解9．信号的变换将信号由一个域映射到另一个域的运算，如傅立叶变换、小波变换等。序列的基本运算2信号的分类2信号的分类能量信号：功率信号：2信号的分类例：信号可求出：能量信号信号可求出：不收敛，非能量信号3噪声噪声的种类1.白噪声：频谱为一直线自相关函数为函数各点之间互不相关WhiteNoise白噪声是信号处理中最常用的噪声模型！02040608010000.20.40.60.81u(n)(a)n=1---10000.20.40.60.81050010001500histogramofu(n)(b)binsofxaxis3噪声噪声的种类ColoredNoise3.脉冲噪声4.工频噪声2.有色噪声：特点：频谱不是直线噪声与信号的关系：加法性噪声乘法性噪声去除噪声是信号处理的永恒话题！4信号空间11222222||||(),|||||()|nxxtdtxxn从不同的角度测量了信号的某个特征。分别为：最大幅度、绝对和、能量。范数Norm4信号空间范数的性质0,0,ifthenxxxxxxyxy全零信号三角不等式4信号空间赋范线性空间的的集合2:xl是能量信号的的集合的的集合距离的性质：0(,)(,)0,(),()?(,)(,)(,)(,)(,)dxyifdxythenxnyndxydyxdxydxzdzy两个信号之间的距离度量空间（MetricSpace)处处相等或y（n）在均方意义上收敛于x（n）度量空间11：均值：方差矩阵22：均值：方差矩阵集合1集合21d2d21ifddthenx集合2“距离”的应用：样本x内积空间如果则正交许瓦兹不等式,()(),()()nxtytdtxnynxyxy内积x,y=y,x*αx+βy,z=αx,z+βy,zx,x≥0,当且仅当x=0，x,x=0,0是零向量空间的概念线性空间：即向量空间；赋范线性空间：定义了范数的线性空间；度量空间（MetricSpace):定义了距离的空间，赋范线性空间也是度量空间；内积空间：定义并满足内积性质的空间；Hilbert空间：完备的内积空间称为Hilbert空间5离散时间系统的基本概念一个离散时间系统在数学上的定义是将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的唯一性变换或运算。它的输入是一个序列，输出也是一个序列，其本质是将输入序列转变成输出序列的一个运算。对T[·]加以种种约束，可定义出各类离散时间系统。离散时间系统中最重要、最常用的是“线性、时不变系统(LSI)”。()()[()]xnynTxn5离散时间系统的基本概念连续系统的描述：微分方程,卷积，转移函数（Laplace变换）,频率响应（Fourier变换）离散系统的描述：差分方程,卷积，转移函数（Z变换）,频率响应（DTFT,DFT）例:当前时刻一阶自回归差分方程前一时刻5离散时间系统的基本概念()()(1)(2)3ynxnxnxn三点加权平均器例:5离散时间系统的基本概念单位抽样响应()()[()]xnynTxn令则()hn描述了离散系统的特征，是重要的“物理量”，由可得到()hn(),()jHzHe()[()]hnTn5离散时间系统的基本概念单位抽样响应例:IIR系统即5离散时间系统的基本概念单位抽样响应有限长：FIR系统例:线性----（满足叠加原理的系统）设y1（n）=T[x1（n）]，y2（n）=T[x2（n）]；5离散时间系统的基本概念5离散时间系统的基本概念移不变性移不变性质保证对给定的输入，系统的输出和输入施加的时间无关。线性移不变系统（LSI）：既满足迭加原理又具有移不变性的系统。5离散时间系统的基本概念例：给定系统y(n)=nx(n);判断是否线性、移不变性。Linear-ShiftInvariantSystemLSI系统的因果性因果系统：系统的输出y（n）只取决于此时以及此时以前的输入因果系统的充要条件：h（n）≡0，n05离散时间系统的基本概念非因果系统如果因果信号系统的稳定性稳定系统：对于每一个有界输入产生一个有界输出的系统当且仅当时，该线性时不变系统是稳定的稳定性判据I：5离散时间系统的基本概念如何判断：线性？移不变？因果？稳定？5离散时间系统的基本概念例:则线性如何判断：线性？移不变？因果？稳定？5离散时间系统的基本概念例:所以：系统对的输出是()xn()nxn对的输出是()xnk()nxnk由于：()()[()]ynnxnTxn而：()()()ynknkxnk所以：()[()]ynkTxnk本系统不具备移不变性！如何判断：线性？移不变？因果？稳定？5离散时间系统的基本概念例:系统是因果的，但不是稳定的6LSI系统的输入与输出的关系10()()()()()NMkrynakynkbrxnr差分方程描述：抽样响应描述：抽样响应描述关系的导出：设系统的输入为x(n)，输出为y(n)，系统的单位抽样响应为h(n)()[()][()()]()[()]()()()*()((()))mmmmynTxnTxmxnxnmxmTnmxmhnmxnhmmnn6LSI系统的输入与输出的关系求解方法序列域求解法变换域求解法：Z变换法求解迭代法：较简单，只能得到数值解时域经典解法：求其次解和特解，由边界条件求待定系数卷积和计算法：用于系统起始状态为零时的求解6LSI系统的输入与输出的关系7L