第四章-周期信号频域分析

11主要内容第四章周期信号的频域分析1.连续周期信号的Fourier(傅里叶)级数及其基本性质2.连续周期信号的频谱分析3.离散周期信号的Fourier(傅里叶)级数及其基本性质*4.基于Matalab软件的周期信号频谱的计算方法22周期信号：给定连续信号f(t),若存在一个正常数T0,使得4.1连续周期信号的Fourier级数则称f(t)为周期信号。满足上式的最小T0称为周期信号的基波周期。00()(),ftTfttR0000:2/(:)1/);(TftfTft的基波角频率(FundamentalAngularFrequency)的基波频率(FundamentalFrequency)一、指数形式的Fourier级数0(),0,1,2,(4.2)jntneten将虚指数信号经过整数倍因子的尺度变换后，可得一组复信号虚指数信号是周期信号,0()(4.1)jtfte0000,/21/fTf其基波频率为基波周期为。000()/,netnfTn易知，（）是周期信号，它的基波频率为基波周期为。(联想单位圆)30j()(4.3)ntnnftCe在(4.3)式中，n=0的项称为信号的直流分量；n=+1和n=-1的两项的基波频率都为f0，两项之和称为信号的基波分量或一次谐波分量；n=+2和n=-2的两项的基波频率都为2f0，两项之和称为信号的2次谐波分量；n=+N和n=-N的两项之和称为信号的N次谐波分量。由这些信号的线性组合构成的信号周期信号的Fourier级数：若一个连续周期信号可以表示为(4.3)的形式。Fourier级数的系数Cn可由{en(t)}的正交性求得。4.1连续周期信号的Fourier级数是一个周期为T0的信号。00-jj()0(())ktnktnnfteCeT等式两边都是周期为的周期信号000000-jj()j()000()()TTTktnktnktnnnnftedtCedtCedt44根据{en(t)}的正交性，有Fourier(,:)ft如果一个周期信号的级数表示式成立则其系数可(4.由结论4)计算.因此，得：周期信号f(t)的Fourier级数和系数计算公式为：00-j001().(4.4)TktkCftedtT4.1连续周期信号的Fourier级数000j()*000()()[]TTnktnketetdtedtTnk0000-j01().(4.6)TtntntCftedtT0j(),(4.5)ntnnftCe55结论:若f(t)为实函数，则指数Fourier级数展开式中的系数满足4.1连续周期信号的Fourier级数二、三角形式的Fourier级数*.(4.7)nnCC证明:00000000j-j*00*11()().TtTtntntnnttnnCftedtCftedtTTCC6600001jj01-jj01()()(4.10)ntntnnnnntntnnnftCCeCeCCeCe4.1连续周期信号的Fourier级数二、三角形式的Fourier级数注:(4.7)指出“当信号f(t)为实函数时，f(t)的Fourier系数是共轭偶对称”。利用此性质，可进一步表示指数Fourier级数。0j01()2Re()(4.11)ntnnftCCe注意到，上式中括号内两项是共轭的，因此77将上式代入(4.11),得4.1连续周期信号的Fourier级数00,,22nnnajbaCC由于Fourier级数的系数Cn一般为复数，记0001()/2[cos()sin()].(4.14)nnnftaantbnt易知000002()cos(),(4.15)TtntaftntdtT000002()sin(),(4.16)TtntbftntdtT88公式(4-14)称为三角形式的Fourier级数表示式。注:对实信号而言，两种形式的Fourier级数是等效的；三角形式的Fourier级数的系数是实数；分析时用指数形式的，数值计算时用三角形式的。4.1连续周期信号的Fourier级数0001()/2[cos()sin()].(4.14)nnnftaantbnt9例4-1求图4-1所示幅度为A、周期为T0、脉冲宽度为的周期矩形脉冲的Fourier级数表示式。解:在(4.6)中取则有4.1连续周期信号的Fourier级数00/2,tT00000/2/20/2/2/2/20001()1|()TjntnTjntjntttCftedtTAAedteTTjn00/2/20000000()(/2)(2)sin(/2)Sa(/2)/2jnjnAeeTnjAnAnTnT图4-1周期矩形脉冲10000()(/)Sa(/2).jntnftATne因此，周期矩形脉冲信号的指数形式的Fourier级数为其三角形式的Fourier级数为00001()(/)(2/)Sa(/2)cos().nftATATnnt4.1连续周期信号的Fourier级数11114.1连续周期信号的Fourier级数例4-2求图4-2所示周期三角形脉冲信号的Fourier级数表示式。解:由图4-2可知T0=2,所以图4-2周期三角形脉冲02/2.由f(t)的波形知，C0=0。取t0=-1/2,则Fourier系数为f(t)在区间(-1/2,3/2)的表达式为2,||1/2()2(1),1/23/2AttftAtt12124.1连续周期信号的Fourier级数22,04()sin(/2).jntnnAjftnen因此，该信号的指数形式的Fourier级数为1/23/21/21/2221122(1)224sin(/2).jntjntnCAtedtAtedtAjnn其三角形式的Fourier级数为22128()sin(/2)sin()8111[sin()sin(3)sin(5)sin(7)].92549nAftnntnAt1313Fourier级数的部分和为000|()|0.Tttftdt0(),NjntNnnNftCe三、Fourier级数的收敛条件1.f(t)在一个周期内绝对可积(软Dirichlet条件)，即：周期信号f(t)的Fourier级数存在条件在能量意义下fN(t)收敛于f(t)是指4.1连续周期信号的Fourier级数020lim|()()|0.TNNftftdt2.f(t)在一个周期内不连续点的个数有限、极大值和极小值点的个数有限(强Dirichlet条件)1414三、Fourier级数的收敛条件注：在满足以上两个条件下，信号的Fourier级数收敛。且在信号的连续点处，Fourier级数收敛于信号真值；在信号不连续点处，Fourier级数收敛于左右极限的平均值。例如图4-3所示。4.1连续周期信号的Fourier级数15154.1连续周期信号的Fourier级数图4-3所示16164.1连续周期信号的Fourier级数图4-3所示174.1连续周期信号的Fourier级数四、信号的对称性和Fourier系数的关系周期信号的对称性分为两类。第一类：整个周期对称性(例如，奇函数或偶函数)；第二类：前半周期和后半周期相同或成镜像关系。下面，讨论不同的对称情况下，Fourier系数的性质。图4-4偶对称信号18周期为T0的偶对称信号f(t),具有关系见图4-4。4.1连续周期信号的Fourier级数四、信号的对称性和Fourier系数的关系1偶对称信号()()ftft在(4.6)中，取t0=-T0/2,Fourier级数的系数有0000000/2/20/200/20/20/201()1[()cos()()sin()]1()cos().TjntnTTTTTCftedtTftntjftntdtTftntdtTFourier级数的系数Cn是实偶对称的，且Cn=an/2。因此，001()/2cos()nnftaant注:实偶对称信号的Fourier级数中只含直流项和余弦项。194.1连续周期信号的Fourier级数2奇对称信号周期为T0的奇对称信号f(t),具有关系，见图4-5。()()ftft在(4.6)中，取t0=-T0/2,Fourier级数的系数有0000000/2/200/2/200/20/2011()[()cos()()sin()]()sin().TTjntnTTTTCftedtftntjftntdtTTjftntdtT图4-5奇对称信号204.1连续周期信号的Fourier级数2奇对称信号Fourier级数的系数Cn是纯虚数，虚部是奇对称的，且有Cn=-jbn/2。Fourier级数可简化为01()sin()nnftbnt注：实奇对称信号的Fourier级数展开式中只含正弦项。214.1连续周期信号的Fourier级数3半波重叠信号周期为T0的信号f(t),若具有关系，则称为半波重叠信号。例如，图4-6。0()(/2)ftftT易知，这种信号的基波周期T1=T0/2,对应的角频率为图4-6半波重叠信号1102/2T224.1连续周期信号的Fourier级数3半波重叠信号1001/22001012()().TTjntjntnCftedtftedtTT取t0=0,则由(4.6)有012().jntjntnnnnftCeCe注:半波重叠信号的Fourier级数中只有偶次谐波分量。但其可能既有正弦分量又有余弦分量。信号的Fourier级数可写为234半波镜像信号周期为T0的信号f(t),若具有关系，则称为半波镜像信号。例如，图4-7。0()(/2)ftftT构造周期为T0的信号f1(t),其在第一个周期内的值为图4-7半波镜像信号0100()0/2()0/2fttTftTtT4.1连续周期信号的Fourier级数则由图4-7可知,110()()(/2).ftftftT244半波镜像信号0110,()()(/2)2.jntnnnftftftTCe为奇因此,有01(),jntnnftCe注:半波镜像信号的Fourier级数中只有奇次谐波分量。f1(t)的Fourier级数为4.1连续周期信号的Fourier级数0000(/2)10(/2)(1).jntTjntjntjnnnnnnnnftTCeCeeCe则有00/21000011()().TTnCftdtftdtTT其中25254.2连续时间Fourier级数的基本性质设f(t)是周期信号，周期为T0,基波角频率为f(t)和其Fourier系数Cn的对应关系记为设f(t)和g(t)均为周期为T0的周期信号,其Fourier系数分别为00,2/T1.线性特性()nftC,()()nnftCgtD则af(t)+bg(t)也是周期为T0的周期信号,且有()().nnaftbgtaCbD注:上述结论可以推广到多个具有相同周期的信号。26264.2连续时间Fourier级数的基本性质设f(t)是以T0为周期的周期信号,它Fourier系数为2.时移特性,()nftC则f(t-t1)也是周期为T0的周期信号,且011().jntnftteC27274.2连续时间Fourier级数的基本性