1线性代数11-12

1线性代数•主讲：芮杰（理学院）•电话：[phone]•教材：线性代数•中国石油大学出版社2一、学习必要性二、课程特点1、线性代数是高等工科学校本科各专业的一门重要的基础理论课；2、线性代数是一门必修课,考研必考内容.1、概念多、符号多、定理多；2、内容抽象；应用广.3三、主要内容:Chap1、行列式Chap2、矩阵Chap3、向量组及其相关知识Chap4、线性方程组Chap5、相似矩阵及二次型四、学习要求课前预习，课上认真听讲，积极思考，课后巩固学习，多练习。五、成绩评定：平时（20%左右）+期末卷面成绩（80%左右）•本次线性代数练习册通过银行汇款的形式交费，学生按班级为单位汇款后凭汇款回执单统一领取练习册。每册5元•户名：宋允全。银行：中国银行，汇款账号：6235726000000083336•领取时间：星期五（9月9号）白天9：00-11:30，14：00-16：30。领取地点：文理楼276。如有问题，请拨打13863900453。5线性代数的应用6应用1、营养减肥食谱剑桥减肥食谱—用33种食物精确提供31种营养现仅考虑三种食品三种营养成分如下表：营养每100克成分所含的营养(g)剑桥食谱一天脱脂牛奶大豆粉乳清所提供的营养蛋白质36511333碳水化合物52347445脂肪071.13试求三种食品的组合，使得混合食物提供剑桥食谱需要的营养.321,,xxx31.1704574345233135136B解：设这三种食物的量为（单位：100g）营养每100克成分所含的营养(g)剑桥食谱一天脱脂牛奶大豆粉乳清所提供的营养蛋白质36511333碳水化合物52347445脂肪071.1331.1704574345233135136B1000.277~0100.3920010.233r为了提供所需要的蛋白质、碳水化合物和脂肪总量食谱中需要包含0.227单位的脱脂牛奶，0.392单位的大豆粉，0.233单位的乳清.用第二章矩阵的计算方法或用mathematica计算得应用2：生产成本某工厂生产三种产品.每种产品的原料费、工资支付、每季度生产每种产品的数量见表2.管理费等见表1.（1）每一季度中每一类成本的数量；（2）每一季度三类成本的总数量；（3）四个季度每类成本的总数量.该公司希望在股东会议上用一个表格展示出解15.020.010.025.040.030.015.030.010.0M我们用矩阵的方法考虑这个问题.这两个表格中的每一个均可表示为一个矩阵.400045004500400020002600240022005800620060006000P15.020.010.025.040.030.015.030.010.0M400045004500400020002600240022005800620060006000P187021602070196034503940381035801670190018301740MPMP的第一行元素表示四个季度中每一季度原料的总成本MP的第二行元素表示四个季度中每一季度工资的总成本MP的第三行元素表示四个季度中每一季度管理的总成本MP的第一列表示夏季生产三种产品的总成本MP的第二列表示秋季生产三种产品的总成本MP的第三列表示冬季生产三种产品的总成本MP的第四列表示春季生产三种产品的总成本每一类成本的年度总成本由矩阵的每一行元素相加得每一季度的总成本可由每一列相加得到187021602070196034503940381035801670190018301740MP表3汇总了总成本例3：确定如图电网中的电流.RI沿某个方向环绕回路一周的所有电压降基尔霍夫电压定律：的代数和等于沿同一方向环绕该回路一周的电源电压的代数和.1112434330IIII222213335IIIIII3332205IIII在每一阶段，我们估计出1年中存活的概率，并用每年期望的产卵量近似给出繁殖能力的估计.这些结果在表4中给出.在每一阶段名称后的圆括号中给出该阶段近似的年龄.例4：考虑一个4个阶段的模型来分析海龟的动态种群.第一章n阶行列式本章主要内容：1.排列的一些性质；2.n阶行列式的定义、性质和计算；3.克莱姆法则.学习重点：行列式的性质和计算.17§1.1.排列的逆序数与对换18（1）全排列及其逆序数对于自然数从1至n，这n个元素组成的排列规定：标准顺序：按由小到大的排列顺序的排列；排列中有一个逆序：当某两个元素的先后次序与标准次序不同时的排列。种排法.将n个不同元素排成一列共有!nPn19计算排列逆序数的方法分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.如排列32514的逆序数为，是排列.5奇定义1一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.排列的奇偶性逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.注：标准排列为偶排列（逆序数为0）.2012321.nnn又如，求的逆序数，并判断其奇偶性解12,21nn当时为偶排列；44,14kkn当时为奇排列.34,24kkn1nt2n32121nnn21（2）对换的定义及性质定义在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．mlbbbaaa11例如abmlbbabaa11banmlccbbbaaa111nmlccabbbaa111baab22定理1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．证明设排列为mlbbabaa11对换与abmlbbbaaa11除外，其它元素的逆序数不改变.b,aabba当时，baab的逆序数不变;经对换后的逆序数增加1,23当时，ba经对换后的逆序数不变，的逆序数减少1.ab因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.设排列为nmlcbcbabaa111现来对换与a.b24次相邻对换mnmlccbbabaa111次相邻对换1mnmlccabbbaa111,111nmlcbcbabaa次相邻对换12m,111nmlcacbbbaa所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.abnmlccbbbaaa111abab25二阶行列式的计算；2112221122211211aaaaaaaa三阶行列式的计算333231232221131211aaaaaaaaa322113312312332211aaaaaaaaa.322311332112312213aaaaaaaaa§1.2n阶行列式的定义26333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa.322311aaa322113aaa312312aaa312213aaa332112aaa333231232221131211aaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa321321333231232221131211)1(ppptaaaaaaaaaaaa其中t为列标排列的逆序数，∑表示对1，2，3三个数的所有排列取和.321ppp几点注意：1.(*)式右边的每一项都恰是三个元素的乘积，这三个元素位于行列式的不同的行、不同的列；321ppp2.等式右端的任一项除符号外可以写成，这里行标成标准排列123，列标是1,2,3三个数的某个排列，等式右端共有6(=3!)项。321321pppaaat)1(321321333231232221131211)1(ppptaaaaaaaaaaaa其中t为列标排列的逆序数，∑表示对1，2，3三个数的所有排列取和。321ppp仿上，我们可以定义n阶行列式。综上知，三阶行列式可以写成：29n阶行列式的定义nnnnnnnppptaaaaaaaaaDaaannnn212222111211212.)1(21记作的代数和个元素的乘积取自不同行不同列的阶行列式等于所有个数组成的由定义).det(ija简记作的元素．称为行列式数)det(ijijaa30nnppptnnnnnnaaaaaaaaaaaa2121212222111211)1(其中为自然数1,2,…,n的一个排列，t为这个排列的逆序数，∑表示对1，2，…，n的所有排列取和.nppp21即：关于定义,请注意以下几点：①n阶行列式是由n!项组成的，结果是一个数；②定义式的右边每一项都是n个元素的乘积（称为一个乘积项）,这n个元素是由行列式的不同行、不同列的元素构成的.③某一乘积项符号的确定：先把该项的n个元素按行标排成标准顺序，然后由列标所成排列的奇偶性来决定这一项的符号.31例1证明对角行列式nn2121除对角线上元素不为零外，其它元素皆为零nnnn212)1(21)1(11,2121nnnnaaa11,2211,,,nnnnaaa于是ntnnntaaa2111,21)1()1(,2)1(nnt21)1(nn其中t为排列的逆序数，故所以结论成立。证第一式是显然的，为证第二式，我们记证明下三角行列式nntaaa2211)1(对角线上方的元素全为零。例2证明：D中可能不为0的项只有.2211nnaaaD1)1()1(0t此项的符号，所以nnnnnnaaaaaaaaaD2211212221111.在6阶行列式中，的项应带什么符号？2.证明若行列式中有一行（或一列）元素全为0，则行列式等于0。425665311423aaaaaa1.在6阶行列式中，的项应带什么符号？问：本题还有其它解法吗？425665311423aaaaaa655642312314aaaaaa解将按行标排成标准顺序得，其列标排列为431265，逆序数t=0+1+2+2+0+1=6故本项应带正号。425665311423aaaaaa0,,0,021iniiaaa00)1()1(1111nninpptnpiPptaaaaaD2.证明：若行列式中有一行（或一列）元素全为0，则行列式等于0。证毕于是i证不妨设行列式的第行元素全为零，即前两节内容总结一些概念：•n级排列、逆序、逆序数、奇(偶)排列、对换。主要结论：•排列的逆序数的计算；nnppptaaaD2121)1(•n阶行列式的定义:•对换改变排列的奇偶性；•对角行列式、三角行列式的结论•行列式的列顺序表示法:nppptnaaaD2121)1(