1行列式典型习题解析

1行列式1.1内容提要1.1.1n阶行列式的定义12122121112121222()1212(1)nnnnjjjjjnjjjjnnnnaaaaaaDaaaaaa1.1.2行列式的性质1．行列式与它的转置行列式相等，即TDD；2．交换行列式的两行（列），行列式变号；3．行列式中某行（列）元素的公因子可提到行列式外面来；4．行列式中有两行（列）元素相同，则此行列式的值为零；5．行列式中有两行（列）元素对应成比例，则此行列式的值为零；6．若行列式中某行（列）的元素是两数之和，即11121112212niiiiininnnnmaaaDabababaaa则11121111211121121212nniiniinnnnnnnnnaaaaaaDaaabbbaaaaaa7．将行列式某行（列）的k倍加到另一行（列）上去，行列式的值不变。1.1.3行列式依行（列）展开1．余子式与代数余子式（1）余子式的定义去掉n阶行列式D中元素ija所在的第i行和第j列元素，剩下的元素按原位置次序所构成的1n阶行列式称为元素ija的余子式，记为ijM。（2）代数余子式的定义ija的代数余子式记为ijA，(1)ijijijAM。2．n阶行列式D依行（列）展开（1）按行展开公式njkjijkikiDAa10（2）按列展开公式niisijsjsjDAa101.1.4范德蒙行列式1222212111112111()nnjiijnnnnnxxxDxxxxxxxx1.1.5特殊矩阵的行列式及逆矩阵1．单位阵E：11EEE2．数量矩阵kE：nkEk；当0k时，11()kEEk3．对角阵：12n则12n；若021n，则n1112114．上（下）三角阵设1122*nnaaAa或1122*nnaaa，则1122nnAaaa若0A，则1A仍为上（下）三角阵。1.1.6克莱姆法则1．定义：设线性方程组的系数矩阵A是n阶矩阵（即方程个数m未知数个数n），则0A时，方程组唯一解，此解为ADADADn,,,21iD是A的第i列用nbbb21代替后所得n阶行列式。1.2重点计算行列式数字型行列式的计算，含参数行列式的计算，抽象型行列式的计算。1.3典型习题1.3.1数字型行列式的计算例1计算行列式nnnnnbaaaaabbbD12321121000000000000000解：由于前n-1行都只有一个元素不为0，由行列式定义知Dn只含一项：b1b2…bn，且符号为(2)(1)(1,,1,)2(1)(1),nnnn从而nnnnbbbD212)2)(1()1(。例2计算下列行列式222abcabcbcacab解:222222abcabcabcabcbcacababcabcabc222()111abcabcabc222111()abcabcabc))()()((bcacabcba例3计算下列n阶行列式axaaaaaxaaaaaxaaaaaxDn解:1)2]()2([nnaxanxD说明：一定要注意此种形式的行列式；例如：1)]()1([nnxaxnaaxxxxaxxxxaxxxxaD)1()1(01111011110111101nDnn1)1]()1(1[1111nnaanaaaaaaaaaaaaD例4计算行列式aaaaa4444333322221111。解：aaaaaaaaaaaaD4444333322221010101044443333222211114aaaaaaaa0000000001111)10(4444333322221111)10(3)10(aa例5设行列式2235007022220403D求第四行各元素的余子式之和的值。解：由行列式展开知，D的第四行各元素余子式之和的值为行列式11110070222204031D的值因为将1D接第四行展开得444342411)1()1(AAAAD433442244114)1)(1()1()1)(1(MMM44434241MMMM1002440437111222043)1)(7(1111007022220403231D284401744437从而D中第四行各元素的余子式之和的值为-28。例6计算n阶行列式xyyxyxyxDn000000000000解：将行列式按第一列展开得nnnnnyxyxyxyyxyxyxxD1111)1(0000000)1(0000000)1(注：请注意这种形式的行列式！1.3.2含参数行列式的计算例7计算行列式311151113D。解：311151101)2(311151202311151113D)6)(3)(2(4125)2(411251001)2(1.3.3抽象型行列式的计算例8设A为三阶方阵，1，2，3是三维线性无关的列向量，若211A，322A，133A，则行列式A。解：利用分块矩阵，有),,()AA()(133221321321AA两边取行列式有133221321A1332321221321221323212又∵1，2，3线性无关，∴0321从而得2A