2012学年广州市高二数学选修1-2《推理与证明》测试题(市教研资料)

1高二数学选修1-2《推理与证明》测试题广州市第41中学秦玮一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1、下列表述正确的是（）.①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.A．①②③；B．②③④；C．②④⑤；D．①③⑤.2、有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b平面，直线a平面，直线b∥平面，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为（）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误3、某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色是()．A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大4、观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，则72011的末两位数字为()．A．01B．43C．07D．495、否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为()．A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数6、设a、b∈R，若a－|b|＞0，则下列不等式中正确的是()．A．b－a＞0B．a3＋b3＜0C．a2－b2＜0D．b＋a＞07、观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()．A．f(x)B．－f(x)C．g(x)D．－g(x)8、古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过上图①中的1,3,6,10，…由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图②中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A．289B．1024C．1225D．137829、为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，ai∈{0,1}(i＝0,1,2)，信息为h0a0a1a2h1，其中h0＝a0⊕a1，h1＝h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0＝0，0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.例如原信息为111，则传输信息为01111，信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是()．A．11010B．01100C．10111D．0001110、如图，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hi(i＝1,2,3,4)，若a11＝a22＝a33＝a44＝k，则i＝14(ihi)＝2Sk.类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi(i＝1,2,3,4)，若S11＝S22＝S33＝S44＝K，则i＝14(iHi)＝()A.4VKB.3VKC.2VKD.VK二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.11、用反证法证明命题“三角形的三个内角中至少有一个不大于60°”时，假设应该是____________________________________．12、下列条件：①ab＞0，②ab＜0，③a＞0，b＞0，④a＜0，b＜0，其中能使ba＋ab≥2成立的条件的个数是________．13、观察下列等式：①cos2α＝2cos2α－1；②cos4α＝8cos4α－8cos2α＋1；③cos6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；④cos8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；⑤cos10α＝mcos10α－1280cos8α＋1120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.可以推测m－n＋p＝________.14、在平面几何里，有“若△ABC的三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，则三角形面积为S△ABC＝12(a＋b＋c)r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体ABCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，则四面体的体积为________”．3三、解答题：本大题共6题，共80分。15、求证：(1)2233()ababab;(2)6+722+5。16、若a,b,c均为实数，且222axx，222byy，222czz求证：a，b，c中至少有一个大于0。17、设a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：1a＋1b＋1ab≥8.18、已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且0＜x＜c时，f(x)＞0.(1)证明：1a是f(x)＝0的一个根；(2)试比较1a与c的大小；(3)证明：－2＜b＜－1.419、数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝n＋2nSn(n∈N＋)．证明：(1)数列Snn是等比数列；(2)Sn＋1＝4an.20、已知函数f(x)＝ax＋x－2x＋1(a＞1)．(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．(2)用反证法证明f(x)＝0没有负根．5高二数学选修1-2《推理与证明》测试题答案与解析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1、解析：D2、解析：A3、解析：由题干图知，图形是三白二黑的圆周而复始相继排列，是一个周期为5的三白二黑的圆列，因为36÷5＝7余1，所以第36个圆应与第1个圆颜色相同，即白色．答案：A4、解析：72＝49,73＝343,74＝2401,75＝16807,76＝117649，…由此看出，末两位数字具有周期性，且周期为4，又2011＝4×502＋3，由此知72011的末两位数字应为43.答案B5、解析：∵a，b，c恰有一个偶数，即a，b，c中只有一个偶数，其反面是有两个或两个以上偶数或没有一个偶数即全都是奇数，故只有D正确．答案D6、解析：∵a－|b|＞0，∴|b|＜a，∴a＞0，∴－a＜b＜a，∴b＋a＞0.答案D7、解析：由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．答案D8、解析：根据图形的规律可知第n个三角形数为an＝nn＋12，第n个正方形数为bn＝n2.由此可排除D(1378不是平方数)．将A、B、C选项代入到三角形表达式中检验可知，符合题意的是C选项．答案C9、解析：对于选项C，传输信息是10111，对应的原信息是011，由题目中运算规则知h0＝0⊕1＝1，而h1＝h0⊕a2＝1⊕1＝0，故传输信息应是10110.答案C10、解析：V三棱锥＝13(S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4)＝13K(H1＋2H2＋3H3＋4H4)＝13Ki＝14(iHi)∴i＝14(iHi)＝3VK，故选B.二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.11、解析：用反证法证明命题时，假设结论不成立，即否定命题的结论．答案三角形的三个内角都大于60°12、解析：要使ba＋ab≥2，只要ba＞0且ab＞0，即a，b不为0且同号即可，故有3个．13、解析：m＝29＝512，p＝5×10＝50.又m－1280＋1120＋n＋p－1＝1，∴n＝－400.答案962614、解析三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径．二维图形中12类比为三维图形中的13，得V四面体ABCD＝13(S1＋S2＋S3＋S4)r.（注意发现其中的规律总结出共性加以推广，或将结论类比到其他方面，得出结论．）三、解答题：本大题共6题，共80分。15、证明：（1）∵222abab,（2）要证原不等式成立，2323aa,只需证（6+7）2（22+5）2，2323bb;即证402422。将此三式相加得∵上式显然成立,222(3)22323ababab,∴原不等式成立.∴2233()ababab.16、(反证法).证明：设a、b、c都不大于0，a≤0，b≤0，c≤0，∴a＋b＋c≤0，而a＋b＋c＝（x2－2y＋π2）＋（y2－2z＋π3）＋（z2－2x＋π6）＝（x2－2x）＋（y2－2y）＋（z2－2z）＋π＝（x－1）2＋（y－1）2＋（z－1）2＋π－3，∴a＋b＋c＞0，这与a＋b＋c≤0矛盾，故a、b、c中至少有一个大于0.17、证明：∵a＋b＝1，∴1a＋1b＋1ab＝a＋ba＋a＋bb＋a＋bab＝1＋ba＋1＋ab＋a＋bab≥2＋2ba·ab＋a＋ba＋b22＝2＋2＋4＝8，当且仅当a＝b＝12时等号成立．18、(1)证明∵f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，∴f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根，又x1x2＝ca，∴x2＝1a1a≠c，∴1a是f(x)＝0的一个根．(2)解假设1a＜c，又1a＞0，由0＜x＜c时，f(x)＞0，知f1a＞0与f1a＝0矛盾，∴1a≥c，又∵1a≠c，∴1a＞c.(3)证明由f(c)＝0，得ac＋b＋1＝0，∴b＝－1－ac.又a＞0，c＞0，∴b＜－1.7二次函数f(x)的图象的对称轴方程为x＝－b2a＝x1＋x22＜x2＋x22＝x2＝1a，即－b2a＜1a.又a＞0，∴b＞－2，∴－2＜b＜－1.19、证明(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝n＋2nSn，∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.∴Sn＋1n＋1＝2·Snn，(小前提)故Snn是以2为公比的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知Sn＋1n＋1＝4·Sn－1n－1(n≥2)，∴Sn＋1＝4(n＋1)·Sn－1n－1＝4·n－1＋2n－1·Sn－1＝4an(n≥2)，(小前提)又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．大前提通常省略不写，或者写在结论后面的括号内，小前提有时也可以省略，而采取某种简明的推理模式．20、证明(1)任取x1，x2∈(－1，＋∞)，不妨设x1＜x2，则x2－x1＞0，ax2－x1＞1，且ax1＞0.所以ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)＞0.又因为x1＋1＞0，x2＋1＞0，所以x2－2x2＋1－x1－2x1＋1＝x2－2x1＋1－x1－2x2＋1x2＋1x1＋1＝3x2－x1x2＋1x1＋1＞0，于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋x2－2x2＋1－x1－2x1＋1＞0，故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．(2)假设存在x0＜0(x0≠－1)满足f(x0)＝0，则ax0＝－x0－2x0＋1，又0＜ax0＜1，所以0＜－x0－2x0＋1＜1，即12＜x0＜2，与x0＜0(x0≠－1)假设矛盾．故f(x0)＝0没有负根．