2012学年广州市高二数学选修2-2《推理与证明》测试题(市教研资料)

1高二数学选修2-2《推理与证明》测试题广州市第41中学秦玮一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1、下列表述正确的是（）.①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.A．①②③；B．②③④；C．②④⑤；D．①③⑤.2、有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b平面，直线a平面，直线b∥平面，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为（）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误3、某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色是()．A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大4、观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，则72011的末两位数字为()．A．01B．43C．07D．495、否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为()．A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数6、用数学归纳法证明(1)(2)()213(21)nnnnnn····,从k到1k,左边需要增乘的代数式为()A.2(21)kB.21kC.211kkD.231kk7、正整数按下表的规律排列则上起第2009行,左起第2010列的数应为()A.22009B.22010C.20092010D.200920101251017436111898712191615141320252423222128、如图，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hi(i＝1,2,3,4)，若a11＝a22＝a33＝a44＝k，则i＝14(ihi)＝2Sk.类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi(i＝1,2,3,4)，若S11＝S22＝S33＝S44＝K，则i＝14(iHi)＝()A.4VKB.3VKC.2VKD.VK二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9、用反证法证明命题“三角形的三个内角中至少有一个不大于60°”时，假设应该是____________________________________．10、下列条件：①ab＞0，②ab＜0，③a＞0，b＞0，④a＜0，b＜0，其中能使ba＋ab≥2成立的条件的个数是________．11、观察下列等式：①cos2α＝2cos2α－1；②cos4α＝8cos4α－8cos2α＋1；③cos6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；④cos8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；⑤cos10α＝mcos10α－1280cos8α＋1120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.可以推测m－n＋p＝________.12、在平面几何里，有“若△ABC的三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，则三角形面积为S△ABC＝12(a＋b＋c)r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体ABCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，则四面体的体积为________”．13、已知命题:“若数列na是等比数列,且0na,则数列12()nnnbaaanN也是等比数列”.可类比得关于等差数列的一个性质为________________________________.14、若数列na的通项公式)()1(12Nnnan,记)1()1)(1()(21naaanf,试通过计算)3(),2(),1(fff的值,推测出.________________)(nf三、解答题：本大题共6题，共80分。15、求证：(1)2233()ababab;(2)6+722+5。316、若a,b,c均为实数，且222axx，222byy，222czz求证：a，b，c中至少有一个大于0。17、已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1.(1)写出a1,a2,a3,并推测an的表达式;(2)用数学归纳法证明所得的结论.18、已知函数f(n)(n∈N*)，满足条件：①f(2)＝2，②f(xy)＝f(x)·f(y)，③f(n)∈N*，④当xy时，有f(x)f(y)．(1)求f(1)，f(3)的值；(2)由f(1)，f(2)，f(3)的值，猜想f(n)的解析式；(3)证明你猜想的f(n)的解析式的正确性．419、已知函数f(x)＝log2(x＋2)，a，b，c是两两不相等的正数，且a，b，c成等比数列，试判断f(a)＋f(c)与2f(b)的大小关系，并证明你的结论．20、已知函数y＝x＋xa有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在(0，a]上是减函数，在[a，＋∞)上是增函数．（1）如果函数y＝x＋xb2（x＞0）的值域为[6，＋∞)，求b的值；（2）研究函数y＝2x＋2xc（常数c＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；（3）对函数y＝x＋xa和y＝2x＋2xa（常数a＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数)(xF＝＋nxx)1(2（n是正整数）在区间[21，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．5高二数学选修2-2《推理与证明》测试题答案一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1、解析：D2、解析：A3、解析：由题干图知，图形是三白二黑的圆周而复始相继排列，是一个周期为5的三白二黑的圆列，因为36÷5＝7余1，所以第36个圆应与第1个圆颜色相同，即白色．答案：A4、解析：72＝49,73＝343,74＝2401,75＝16807,76＝117649，…由此看出，末两位数字具有周期性，且周期为4，又2011＝4×502＋3，由此知72011的末两位数字应为43.答案B5、解析：∵a，b，c恰有一个偶数，即a，b，c中只有一个偶数，其反面是有两个或两个以上偶数或没有一个偶数即全都是奇数，故只有D正确．答案D6、当nk时,左边=(1)(2)()kkkk1,[(1)1][(1)2][(1)(1)]nkkkkk当时左边(2)(3)()(1)(2)kkkkkkkk(1)(2)(1)(2)()1kkkkkkkkk(1)(2)()[2(21)]kkkkk,∴从k到1k,左边需要增乘的代数式为2(21)k.答案A7、由上的规律可知,第一列的每个数为所该数所在行数的平方,而第一行的数则满足列数减1的平方再加1.依题意有,左起第2010列的第一个数为220091,故按连线规律可知,上起第2009行,左起第2010列的数应为22009200920092010.答案D8、解析：V三棱锥＝13(S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4)＝13K(H1＋2H2＋3H3＋4H4)＝13Ki＝14(iHi)∴i＝14(iHi)＝3VK，故选B.二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9、解析：用反证法证明命题时，假设结论不成立，即否定命题的结论．答案三角形的三个内角都大于60°10、解析：要使ba＋ab≥2，只要ba＞0且ab＞0，即a，b不为0且同号即可，故有3个．11、解析：m＝29＝512，p＝5×10＝50.又m－1280＋1120＋n＋p－1＝1，∴n＝－400.答案96212、解析三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，6内切圆半径类比为内切球的半径．二维图形中12类比为三维图形中的13，得V四面体ABCD＝13(S1＋S2＋S3＋S4)r.（注意发现其中的规律总结出共性加以推广，或将结论类比到其他方面，得出结论．）13.若数列na是等差数列,则数列12nnaaabn也是等差数列.证明如下:设等差数列na的公差为d,则12nnaaabn11(1)2(1)2nndnadann,所以数列nb是以1a为首项,2d为公差的等差数列.14.2()22nfnn22332222141)13(1,31)12(1,21)11(1aaa1211113(1)11(1)(1),22222fa同理1222111324(2)(1)(1)(1)(1)232233faa123222111132435(3)(1)(1)(1)(1)(1)(1)234223344faaa∴222111()(1)(1)[1]23(1)fnn111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)223311nn1324322...223341122nnnnnn三、解答题：本大题共6题，共80分。15、证明：（1）∵222abab,（2）要证原不等式成立，2323aa,只需证（6+7）2（22+5）2，2323bb;即证402422。将此三式相加得∵上式显然成立,222(3)22323ababab,∴原不等式成立.∴2233()ababab.16、(反证法).证明：设a、b、c都不大于0，a≤0，b≤0，c≤0，∴a＋b＋c≤0，而a＋b＋c＝（x2－2y＋π2）＋（y2－2z＋π3）＋（z2－2x＋π6）＝（x2－2x）＋（y2－2y）＋（z2－2z）＋π＝（x－1）2＋（y－1）2＋（z－1）2＋π－3，∴a＋b＋c＞0，这与a＋b＋c≤0矛盾，故a、b、c中至少有一个大于0.717、解:(1)a1＝23,a2＝47,a3＝815,猜测an＝2－n21(2)①由(1)已得当n＝1时,命题成立;②假设n＝k时,命题成立,即ak＝2－k21,当n＝k＋1时,a1＋a2＋……＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1,且a1＋a2＋……＋ak＝2k＋1－ak∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3,∴2ak＋1＝2＋2－k21,ak＋1＝2－121k,即当n＝k＋1时,命题成立.根据①②得n∈N+,an＝2－n21都成立.18、解：(1)∵f(2)＝f(2×1)＝f(2)·f(1)，又f(2)＝2，∴f(1)＝1.又∵f(4)＝f(2·2)＝f(2)·f(2)＝4,2＝f(2)f(3)f(4)＝4，且f(3)∈N*.∴f(3)＝3.(2)由f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝3，猜想f(n)＝n(n∈N*)．(3)用数学归纳法证明：(ⅰ)当n＝1时，f(1)＝1，函数解析式成立．(ⅱ)假设n＝k时，f(k)＝k，函数解析式成立．①若k＋1＝2m(m∈N*)，f(k＋1)＝f(2m)＝f(2)·f(m)＝2m＝k＋1.②若k＋1＝2m＋1(m∈N*)，f(2m＋2)＝f[2(m＋1)]＝f(2)·f(m＋1)＝2(m＋1)＝2m＋2，2m＝f(2m)f(2m＋1)f(2m＋2)＝2m＋2.∴f(2m＋1)＝2m＋1＝k＋1.即当n＝k＋1时，函数解析式成立．综合(ⅰ)(ⅱ)可知，f(n)＝n(n∈N*)成立．19、解f(a)＋f(c)2f(b)．证明如下：因为a，b，c是不相等的正数，所以a＋c2ac.因为b2＝ac，所以ac＋2(a＋c)b2＋4b，即ac＋2(a＋c)＋4b2＋4b＋4，从而(a＋2)(c＋2)(b＋2)2.因为f(x)＝log2x是增函数，所以log2(a＋2)(c＋2)log2(b＋2)2，即log2(a＋2)＋log2(c