1讲义高中数学必修1第1章集合部分1

高中数学必修1第一章集合与函数的概念（集合部分）集合部分高考的主要考点：互斥性（非重复性），是集合最重要的考点与易错点，所有求出的结果，需返回验证．交集、并集、补集的数的Venn图解法．交集、并集、补集在数轴上的不等式解法．如果AB，则有：B=Ф，A=B，BA三种情况.实际应用时，易忘记B可以为空集的情况，在具体应用时，即B无解或无意义正好为空集，满足条件！如果A和B有包含关系时，求解不等式，要注意两者中间的边界关系（宽者包容，滑动窗口法）．容斥原理．补集法是重要的数学方法．计算子集和真子集的个数，注意子集、真子集和非空子集问题．1集合1.1集合的概念：一般地，研究对象统称为元素，把元素组成的总体叫集合（简称集）．1.1.1内涵：研究对象；元素组成的总体．1.1.2外延（3个特性）①所关心的对象，包括全体元素的整体．②元素必须是确定的（确定性）③一个给定集合的元素是互不相同的（互斥性）．④元素没有顺序的（无序性）．1.1.3无序性和互斥性典型例题①例：已知2x∈｛1，0，x｝，求实数x的值．分析：2x=1，0和x得到值，但是不能重叠．②集合｛a，b，c｝中元素是三角形三边，则这个三角形不可能是三角形．分析：不等，肯定不可能为等腰三角形．1.2集合的表示：①集合用大写A、B、C表示，而元素用a、b、c小写表示．②注意以点（数对）也可以组成集合，如：｛（a，b）︱12ab，a∈R｝．例：集合｛（0，1），（2，－1）｝有个元素．1.3需记住的集合名称及表示方法：N、*N（或N）、Z、Q、R．1.4集合的三种表示方法：自然语言法，列举法、描述法．1.4.1自然语言要叙述清楚，不能产生不确定现象．1.4.2一般用列举法，元素是有限的，在不产生歧义的情况下，无限集合也可以用列举法，例：正正数集合｛1，2，3，4，…｝．1.4.3用描述法，｛x︱21xx，且，x∈R｝．要注意关键词：或、逗号、且相互之间的含义是不同的．1.5集合概念的典型例题①数集A满足：若a∈A，则a11∈A（a≠1）．（1）．若2∈A，求其它所有的元素．（2）．自行寻找一个数∈A，找出所有其它元素．（3）．找出规律，并证明．分析：只能得到3个元素：a，a11，aa1．②若集合A={x︱0122xax，a∈R}．（1）、若A仅一个元素，求a的值．（2）、若A至多有一个元素，求a的范围．分析：a=1，有一个元素．a≠0，△=0．至多有一个元素，要么无解，要么一个解．注意：0122xax，没有说明是二元一次方程，a是可以等于0的．③集合M={2，a，b}，N=｛2a，2，2b｝，且M=N，求a，b的值．分析：利用集合的无序性和互斥性列出方程组．④定义集合运算，A*B=｛z︱z=xy，x∈R，y∈R｝．设A=｛1，2｝，B=｛0，2｝，则集合A*B的所有元素之和为．1.6集合间的基本关系1.6.1子集、AB或BA．B可能有三种情况，B=Ø，A=B，BA．不可漏掉空集和自身！1.6.2如果：AB，BC，有：AC．集合具有包含传递性．1.6.3真子集：AB或BA．1.6.4空集：Ø．注意，空集是集合，不是元素，不能和0元素混淆．1.6.5空集是任何非空集合的真子集．所以有些集合，在无解或无意义时，满足空集的条件！1.6.6集合相等表示集合的元素相同．1.6.7记住以下结论：①有n个元素的集合有n2个子集．②有n个元素的集合有n2-1个真子集．③有n个元素的集合有n2-1个非空子集．④有n个元素的集合有n2-2个非空真子集．举例说明．1.7集合间的基本运算：1.7.1并集：A∪B=｛x|x∈A，或x∈B｝．所有属于A或属于B的元素组成的集合．①包含全部A、B的元素，但不能重复．②部分元素属于A，部分元素属于B，也有同属于A、B的．③并集运算：A∪B=B∪A；A∪A=A；A∪Ø=A；若AB，A∪B=A；若A∪B=A，AB；A∪BA．1.7.2交集：A∩B=｛x|x∈A且x∈B｝．属于A且属于B的所有元素组成的集合．如果没有元素满足条件，则A∩B=Ø．共有以下4种关系：包含，相等，有元素，空集．同样可得到交集运算．1.7.3补集的概念①全集U．A=｛x|x∈U且xA｝．②运算：U=Ø，Ø=U，A∪A=U．1.7.4课本11练习第4题：得到反演定律①（A）∩（B）=（A∪B）；（A）∪（B）=（A∩B）②用Venn图证明反演定律．1.7.5集合的交叉重叠（容斥原理）①C（不重叠总数）=A+B–AB．②D（不重叠总数）=A+B+C–AB–AC–BC+ABC1.7.6用集合的语言表示（记忆方法：邻层相减、隔层相加）①card（U）=card（A）+card（B）-card（A∩B）②card（U）=card（A）+card（B）card（C）-card（A∩B）-card（C∩B）-card（A∩C）+card（A∩B∩C）1.7.7Venn图：直观，清晰2集合相关考点和扩展2.1处理集合问题的方法，涉及求解范围，可用数轴表示相互关系，有时分类讨论．2.2高考多以子集、真子集及集合概念的考察，结合不等式的考察较多．2.3集合相关的方法和结论：2.3.1当元素有限时，涉及多个集合运算时，可用Venn求解．2.3.2由于集合的互异性和无序性，要求所有求出的结果，需要返回验证是否有重叠现象．2.3.3当涉及多方讨论时，如用补集只讨论一个方面，使用补集法求正常解更简单．2.3.4在有并关系时，确定并集区间，范围扩大，按照宽者处理，大于时取更小，小于时取更大．2.3.5交集关系时，确定交集区间，范围缩小，按照窄者处理，大于时取更大，小于时取更小．2.3.6如果存在AB的关系：A的范围更宽，在方向相同时，宽者包容，大于时取更小，小于时取更大．边界不等，转化后可相等．（1）．A=｛x|xa｝，B=｛x|xb｝a≤b．（2）．A=｛x|xa｝，B=｛x|xb｝a≥b．宽者包容：大于时取更小，小于时取更大．（3）．A=｛x|xa｝B=｛x|xb｝AB不成立，方向不同，无法包容．（4）．A=｛x|axb｝，B=｛x|cxd｝．a≤c且b≥d．宽者包容，大于时取更小，小于时取更大．（5）在有包含关系，确定待定数区间，在方向相同时，宽者包容，大于时取更小，小于时取更大；方向不同，无法包容；被包含者无解或无意义时，表示空集，满足条件；检查确认边界．3集合相关的典型例题3.1集合的互异性例题①定义集合运算：,,ABzzxyxAyB.设A=｛0，1，2｝，B=｛1，2｝，则集合AB的所有元素之和为．②（基础题）已知全集U=22,3,23aa，若A=,2b，5UCA，求实数的a，b值．3.2求解子集、真子集、非空真子集的个数．总数是n2．①集合｛0，1，2，4｝有个非空子集．②已知｛1，2｝M｛1，2，3，4，5，6，7｝集合个数为．3.3使用Venn图解题．①用Venn表示如下关系：A=｛三角形｝，B=｛锐角三角形｝，C=｛钝角三角形｝，D={等腰三角形}．3.4判断集合的关系．根据规律性多用逻辑排除法或特殊值法．①设M=｛x|(412kx，k∈Z｝，N=｛x|(214kx，k∈Z｝，则（）A．M=NB．M是N的真子集C．N是M的真子集D．M∩N=Ø②U＝｛1，2，3，4，5｝，若A∩B＝｛2｝，(CUA)∩B＝｛4｝，(CUA)∩(CUB)＝｛1，5｝，则下列结论正确的是.错误!未指定书签。A．3A且3B；B．3A且3B；C．3A且3B；D．3A且3B．3.5求解集合的交集、并集和补集．利用数轴，判断边界．①已知集合A=｛x︱－1＜x＜2｝，B=｛x︱－3＜x＜1｝，求满足A∩B和A∪B．②已知集合A=｛x︱x＜2｝，B=｛x︱－3＜x｝，求满足A∩B和A∪B．③设集合A=｛x|(x-3)(x-a)=0，a∈R｝，B=｛x|(x-4)(x-1)=0｝，求A∪B，A∩B．④是全集U=｛1，2，22x｝，A=｛1，x｝，求UCA．⑤设集合RxxxA,914，RxxxxB,03，则A∩B=．3.6（重点、难点）已知两个集合具有包含、相等、不等或某种关系，求解含有参数的取值范围或集合，利用包含关系、不等关系（补集法），在数轴上利用滑动（变动）窗口法寻找集合之间的边界关系．有时无法确定，还需要根据情况进行讨论．同时要注意检查边界．特别提醒，当有包含关系时，被包含者为空集（即无解）满足条件．①已知集合A=｛x︱ax2｝，B=｛x︱x1｝，求满足AB的a的取值范围．②★已知集合A=｛x︱1ax2｝，B=｛x︱︱x︱1｝，求满足AB的a的取值范围．③★已知集合A=｛x︱－2≤x≤5｝，B=｛x︱a+1≤x≤2a－1｝，求满足BA实数a的取值范围．④已知集合A=｛x︱12x｝，B=｛x︱1ax｝，若BA，求实数a的值．⑤判断命题是否正确：如果A∪B=A∩B，则A=B；如果A∩B，则A∩B≠．⑥（2010天津高考）设集合A=｛x︱︱ax︱1，x∈R｝，B=｛x︱︱bx︱2，x∈R｝．若AB，则实数a，b满足（）A．︱ba︱≤3B．︱ba︱≥3C．︱ba︱≤3D．︱ba︱≥3⑦设集合A=｛x︱︱0232xx｝，B=｛x︱0222axx｝．若AB，求实数a的取值范围．⑧设集合M=｛x｜－1≤x＜2｝，N=｛x｜x－k≤0｝，若M∩N≠，则k的取值范围是．⑨（例题）已知全集I=｛x｜xR｝，集合A=｛x｜x≤1或x≥3｝，集合B=｛x｜k＜x＜k＋1，kR｝，且(CIA)∩B＝，则实数k的取值范围是．⑩记关于x的不等式01xax的解集为P，不等式11x≤的解集为Q．（1）．若3a，求P；（2）．若QP，求正数a的取值范围．3.7补集法．正向求解需要考虑的问题多，如果反向理解考虑的问题少，不妨反过来考虑，然后利用反向的补集就是正向解，能够降低问题的难度．①集合A=｛x|(06242mmxx｝，B=｛x|x0｝，若A∩B≠Ø．求实数m的取值范围．②有3个方程：012axx，012axx，02224axx，假设3个方程至少有一个根，求a的取值范围．3.8综合应用①设集合S={A0，A1，A2，A3}，在S上定义运算为：AiAj=Ak，其中k为i+j被4除的余数，i，j=0，1，2，3．满足关系式=(xx)A2=A0的x(x∈S)的个数为．②集合,||2|,0,,|,AxyyxxBxyyxbAB，b的取值范围是．③已知U=｛（x，y）|x∈R，y∈R｝，A=｛（x，y）|x+y=1｝，B=｛（x，y）|xy1=1｝，求：（UCB）∩A．