2012安庆市高三模拟考试(三模)理科数学试题参考答案及评分标准

2012年安庆市高三模拟考试（三模）数学试题（理科）参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、D2、D3、B4、B5、A6、B7、C8、B9、A10、C二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分,把答案填在题中横线上）11、-212、413、314、315、①②③④三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）．16、（本小题满分12分）解：（Ⅰ）如图，在ABC中，由余弦定理得222BCABACABACCOSCAB220201021020cos120107BC……4分又由正弦定理知：0sin12021sin207107……………………………………6分（II）2233323()sinsin2coscos2sin2cos2sin(2)47776fxxxxxx…………………………………………………………9分①把函数sinyx的图像上所有点向左平移6个单位，得到sin()6yx的图像；②把函数sin()6yx的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半，得到sin(2)6yx的图像；③再把sin(2)6yx的图像上所有点的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的732倍，得到()fx的图像。………………12分（注：本题的其它变换方法对照给分）.17、（本小题满分12分）解：由已知，DGDEAD、、两两垂直，建立以D为原点，直线DE为x轴，直线DG为y轴，直线DA为轴的坐标系，则)200(，，A，)202(，，B，)210(，，C，)002(，，E，)020(，，G，)012(，，F……3分数学试题参考答案（理科）（共5页）第1页（Ⅰ）(2,1,0)(2,0,2)(0,1,2)BF，(0,2,0)(0,1,2)(0,1,2)CG∴BFCG，所以CGBF//．又ACGDBF平面，故ACGDBF平面//………………………………6分（II）(0,2,0)(2,1,0)(2,1,0)FG，设平面BCGF的法向量为1(,,)nxyz，则112020nCGyznFGxy，令2y，则1(1,2,1)n，………………9分而平面ADGC的法向量2(1,0,0)ni∴121212cos,||||nnnnnn2222221166121100，故二面角FCGD的余弦值为66．………………………………12分18、（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知，对于*Nn，总有22nnnaaS①21112nnnaaS2n②………………………………………………2分得21122nnnnnaaaaa，111nnnnnnaaaaaa，数列na的各项均为正数，)2(11naann，……………………4分数列na是公差为1的等差数列。易知11a，nan（*Nn）……5分（II）证明：nan，则对ex,1和*Nn，总有221lnnaxbnnn，……7分当1n时，211121b；当2n时，321211112111222nTnnn)1(1nn11131212111212n；*Nn，且ex,1时，总有2nT；……………………………………12分（或构建不等式12nTn，用数学归纳法证）19、（本题满分13分）解：（I）如图，设M为动圆圆心，定点,02p记为F，过点M作直线2px的垂线，垂足为N，由题意知：MFMN即动点M到定点F与定直线2px的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中,02pF为焦点，2px为准线，所以轨迹方程为ppxy(22＞0)；……5分数学试题参考答案（理科）（共5页）第2页（II）如图，设1122,,,AxyBxy，由题意得12xx（否则）且12,0xx所以直线AB的斜率存在，设其方程为ykxb，显然221212,22yyxxpp，将ykxb与22(0)ypxP联立消去x，得2220kypypb由韦达定理知121222,ppbyyyykk①(1)当2时，即2时，tantan1所以121212121,0yyxxyyxx，221212204yyyyp所以2124yyp由①知：224pbpk所以2.bpk因此直线AB的方程可表示为pkkxy2，即0)2(ypxk所以直线AB恒过定点2,0p………………8分（2）当2时，由，得tantan()=tantan1tantan=122122()4pyyyyp将①式代入上式整理化简可得：2tan2pbpk，所以22tanpbpk，此时，直线AB的方程可表示为ykx22tanppk即2(2)0tanpkxpy所以直线AB恒过定点22,tanpp综上，当2时，直线AB恒过定点2,0p，当2时直线AB恒过定点22,tanpp.……13分20、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）一次摸奖从n+5个球中任取两个，有25nC种方法,它们是等可能的，其中两个球的颜色不同的方法有115nCC种，故一次摸奖中奖的概率为115251054nnCCnpCnn.…………………………………………4分（Ⅱ）设每次摸奖中奖的概率为p，三次摸奖中恰有一次中奖的概率是：21323311363mPCppppp（01p）.m对p的导数291233131mpppp………………5分数学试题参考答案（理科）（共5页）第3页yAxoB,02pFMN2px因而m在10,3上为增函数，m在1,13上为减函数。∴当13p，即101543nnn，20n时，49maxm.…………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知：记上0号的有10个红球，从中任取一球，有20种取法，它们是等可能的.故的分布列是：01234P1212011032015………………………………………………………………………………11分11131301234220102052E.………………………………12分222223131313331110123422220210220254D.……………………………………………………………………………………13分21、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）0)0(bf，)()sin()(babaabafb01)sin(baa0)()0(baff，函数()fx在区间[0,]ab内至少有一个零点；…………4分（II）()sin(0,0).fxaxxbab1cos)(xaxf，由题意得0)3(f，即013cosa，解得2a.（i）不等式()sinfxxcosx对任意[0,]2x恒成立等价于xxxbcossin对任意[0,]2x恒成立，设xxxxgcossin)([0,]2x，xxxgsincos1)()4sin(21x，[0,]2x，4344，x，021)4sin(21，x，0)(xg，)(xg在[0,]2x上是减函数,1)0()(maxgxg，b的取值范围是,1.……………………8分（ii）当33，x时，21cosx即01cos2)(xxf，函数bxxxfsin2)(在33，x上单调递增，112233(,),(,),(,)AxyBxyCxy为函数)(xf图象上的三个点，数学试题参考答案（理科）（共5页）第4页且12333xxx，321yyy，)(2121yyxxBA，，)(2323yyxxBC，，BCBABCBAABCcosBCBAyyyyxxxx))(())((23212321，002321xxxx，，002321yyyy，，0cosABC，由余弦定理，02cos222BCABACBCABABC，222ACBCAB，由正弦定理得BCA222sinsinsin，又），（、10sinsinsin222BCA33-，，函数bxxxfsin2)(在33，x上单调递增，222(sinsin)(sin).fACfB…………………………………………………13分数学试题参考答案（理科）（共5页）第5页