2012届《走向高考》数学人教A版课后强化练习1-3

第1章第3节一、选择题1．(文)函数f(x)＝x－3x＋a－2在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是()A．(－∞，1)B．(1，＋∞)C．(－∞，3)D．(3，＋∞)[答案]D[解析]f(x)在(－a＋2，＋∞)上是增函数，由条件知－a＋2－1，且－a－10，∴a3.(理)(2010·山东济宁)若函数f(x)＝x2＋2x＋alnx在(0,1)上单调递减，则实数a的取值范围是()A．a≥0B．a≤0C．a≥－4D．a≤－4[答案]D[解析]∵函数f(x)＝x2＋2x＋alnx在(0,1)上单调递减，∴当x∈(0,1)时，f′(x)＝2x＋2＋ax＝2x2＋2x＋ax≤0，∴g(x)＝2x2＋2x＋a≤0在x∈(0,1)时恒成立，∴g(0)≤0，g(1)≤0，即a≤－4.2．(2010·鞍山一中模拟)已知偶函数y＝f(x)对任意实数x都有f(x＋1)＝－f(x)，且在[0,1]上单调递减，则()A．f72f73f75B．f75f72f73C．f73f72f75D．f75f73f72[答案]B[解析]由条件知f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴f(x)是周期为2的周期函数，∵f(x)为偶函数，∴f72＝f72－4＝f－12＝f12，f73＝f73－2＝f13，f75＝f75－2＝f－35＝f35，∵f(x)在[0,1]上单调递减，∴f13f12f35，∴f73f72f75.3．(2010·南昌市模拟)已知函数y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数(0θπ)，其图象与直线y＝2某两个交点的横坐标分别为x1、x2，若|x2－x1|的最小值为π，则该函数在区间()上是增函数．()A.－π2，－π4B.－π4，π4C.0，π2D.π4，3π4[答案]A[解析]∵y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数，0θπ，∴θ＝π2，∴y＝2cosωx，由条件知，此函数的周期为π，∴ω＝2，∴y＝2cos2x，由2kπ－π≤2x≤2kπ，(k∈Z)得，kπ－π2≤x≤kπ，令k＝0知，函数在－π2，0上是增函数，故A正确．4．如果函数y＝a－x(a0，且a≠1)是减函数，那么函数f(x)＝loga1x＋1的图象大致是()[答案]C[解析]解法一：由函数y＝a－x(a0，且a≠1)是减函数知a1，∴01a1，f(x)＝loga1x＋1＝－loga(x＋1)＝log1a(x＋1)．函数f(x)的图象可以看作由函数y＝log1ax的图象向左平移1个单位长度得到，又y＝log1ax是减函数，∴f(x)为减函数，故选C.解法二：由于f(0)＝0，故排除A、B；由y＝a－x，即y＝1ax是减函数知a1，∴x0时，f(x)0，排除D，选C.5．若f(x)＝x3－6ax的单调递减区间是(－2,2)，则a的取值范围是()A．(－∞，0]B．[－2,2]C．{2}D．[2，＋∞)[答案]C[解析]f′(x)＝3x2－6a，若a≤0，则f′(x)≥0，∴f(x)单调增，排除A；若a0，则由f′(x)＝0得x＝±2a，当x－2a和x2a时，f′(x)0，f(x)单调增，当－2ax2a时，f(x)单调减，∴f(x)的单调减区间为(－2a，2a)，从而2a＝2，∴a＝2.[点评]f(x)的单调递减区间是(－2,2)和f(x)在(－2，2)上单调递减是不同的，应加以区分．本例亦可用x＝±2是方程f′(x)＝3x2－6a＝0的两根解得a＝2.6．(2010·南充市)已知函数f(x)图象的两条对称轴x＝0和x＝1，且在x∈[－1,0]上f(x)单调递增，设a＝f(3)，b＝f(2)，c＝f(2)，则a、b、c的大小关系是()A．abcB．acbC．bcaD．cba[答案]D[解析]∵f(x)在[－1,0]上单调增，f(x)的图象关于直线x＝0对称，∴f(x)在[0,1]上单调减；又f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(x)在[1,2]上单调增，在[2,3]上单调减．由对称性f(3)＝f(－1)＝f(1)f(2)f(2)，即abc.7．(2010·济南市模拟)设y1＝0.413，y2＝0.513，y3＝0.514，则()A．y3y2y1B．y1y2y3C．y2y3y1D．y1y3y2[答案]B[解析]∵y＝0.5x为减函数，∴0.5130.514，∵y＝x13在第一象限内是增函数，∴0.4130.513，∴y1y2y3，故选B.8．(2010·江西于都)已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c，其导数f′(x)的图象如图所示，则()A．函数f(x)的有极小值a＋b＋cB．函数f(x)的有极小值cC．函数f(x)的有最大值a＋b＋cD．函数f(x)的有最大值c[答案]B[解析]导函数f′(x)在(－∞，0)，(0,2)，(2，＋∞)上的符号依次为负、正、负，∴f(x)在(－∞，0]和[2，＋∞)上单调递减，在[0,2]上单调增，∴f(x)的极小值为f(0)＝c，极大值为f(2)＝8a＋2b＋c，故选B.9．(2010·北京崇文区)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并满足f(x＋2)＝－1fx，当1≤x≤2时，f(x)＝x－2，则f(6.5)＝()A．4.5B．－4.5C．0.5D．－0.5[答案]D[解析]∵f(x＋2)＝－1fx，∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－1fx＋2＝f(x)，∴f(x)周期为4，∴f(6.5)＝f(6.5－8)＝f(－1.5)＝f(1.5)＝1.5－2＝－0.5.10．(文)(2010·辽宁锦州)已知函数f(x)是定义在区间[－a，a](a0)上的奇函数，且存在最大值与最小值．若g(x)＝f(x)＋2，则g(x)的最大值与最小值之和为()A．0B．2C．4D．不能确定[答案]C[解析]∵f(x)是定义在[－a，a]上的奇函数，∴f(x)的最大值与最小值之和为0，又g(x)＝f(x)＋2是将f(x)的图象向上平移2个单位得到的，故g(x)的最大值与最小值比f(x)的最大值与最小值都大2，故其和为4.(理)函数y＝xsinx，x∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是下列图象中的()[答案]C[解析]∵y＝xsinx是偶函数，排除A，当x＝2时，y＝2sin22，排除D，当x＝π6时，y＝π6sinπ6＝π31，排除B，故选C.二、填空题11．f(x)＝xlnx的单调递增区间是________．[答案]1e，＋∞[解析]f′(x)＝lnx＋1，令f′(x)0得x1e，∴f(x)在1e，＋∞上单调递增．12．(2010·深圳中学)已知函数y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，它们的定义域都是[－π，π]，且它们在x∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式fxgx0的解集是________．[答案]－π3，0∪π3，π[解析]依据偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，先补全f(x)、g(x)的图象，∵fxgx0，∴fx0gx0，或fx0gx0，观察两函数的图象，其中一个在x轴上方，一个在x轴下方的，即满足要求，∴－π3x0或π3xπ.13．(2010·山东枣庄模拟)若f(x)＝lg2x1＋x＋a(a∈R)是奇函数，则a＝________.[答案]－1[解析]∵f(x)＝lg2x1＋x＋a是奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝0恒成立，即lg2x1＋x＋a＋lg－2x1－x＋a＝lg2x1＋x＋a2xx－1＋a＝0.∴2x1＋x＋a2xx－1＋a＝1，∴(a2＋4a＋3)x2－(a2－1)＝0，∵上式对定义内的任意x都成立，∴a2＋4a＋3＝0a2－1＝0，∴a＝－1.[点评]①可以先将真数通分，再利用f(－x)＝－f(x)恒成立求解，运算过程稍简单些．②如果利用奇函数定义域的特点考虑，则问题变得比较简单．f(x)＝lga＋2x＋a1＋x为奇函数，显然x＝－1不在f(x)的定义域内，故x＝1也不在f(x)的定义域内，令x＝－aa＋2＝1，得a＝－1.故平时解题中要多思少算，培养观察、分析、捕捉信息的能力．14．(2010·辽宁省模拟)已知函数f(x)＝ex＋x－1x0－13x3＋2xx≥0，则下列说法①f(x)在[2，＋∞)上是减函数；②f(x)的最大值是2；③方程f(x)＝0有2个实数根；④f(x)≤432在R上恒成立．正确的命题是________(写出所有正确命题的序号)．[答案]①③④[解析]∵x0时，f(x)＝ex＋x－1，∴f′(x)＝ex＋10，∴f(x)在(－∞，0)上为增函数，∴f(x)f(0)＝0.当x≥0时，f(x)＝－13x3＋2x，∴f′(x)＝－x2＋2，当0≤x≤2时，f′(x)≥0，f(x)单调增，当x2时，f′(x)0，f(x)单调减，∴x＝2时，f(x)取极大值f(2)＝423，∴①④正确，②错误；由f(x)＝0得，－13x3＋2x＝0x≥0，∴x＝0或x＝6，∴方程f(x)＝0有两个实数根，故填①③④.三、解答题15．(2010·北京市东城区)已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a0且a≠1.(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；(3)当a1时，求使f(x)0的x的取值范围．[解析](1)要使f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)有意义，则x＋101－x0，解得－1x1.故所求定义域为{x|－1x1}．(2)由(1)知f(x)的定义域为{x|－1x1}，且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－f(x)，故f(x)为奇函数．(3)因为当a1时，f(x)在定义域{x|－1x1}内是增函数，所以f(x)0⇔x＋11－x1.解得0x1.所以使f(x)0的x的取值范围是{x|0x1}．16．已知函数f(x)对任意的a、b∈R都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当x0时，f(x)1.(1)求证：f(x)是R上的增函数；(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)3.[解析](1)证明：任取x1、x2∈R且x1x2，∴x2－x10.∴f(x2－x1)1.∴f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]＝f(x1)＋f(x2－x1)－1f(x1)，∴f(x)是R上的增函数．(2)解：f(4)＝f(2)＋f(2)－1＝5，∴f(2)＝3.∴f(3m2－m－2)3化为f(3m2－m－2)f(2)．又由(1)的结论知f(x)是R上的增函数，∴3m2－m－22，∴－1m43.17．(文)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为实数，且a≠0)，F(x)＝fxx0－fxx0.(1)若f(－1)＝0，曲线y＝f(x)通过点(0,2a＋3)，且在点(－1，f(－1))处的切线垂直于y轴，求F(x)的表达式；(2)在(1)的条件下，当x∈[－1,1]时，g(x)＝kx－f(x)是单调函数，求实数k的取值范围；(3)设mn0，m＋n0，a0，且f(x)为偶函数，证明F(m)＋F(n)0.[解析](1)因为f(x)＝ax2＋bx＋c，所以f′(x)＝2ax＋b.又曲线y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线垂直于y轴，故f′(－1)＝0，即－2a＋b＝0，因此b＝2a.①