2012届中考数学操作型问题复习

张老师初中数学家教187494376601专题9操作型问题【考点透视】纵观近年来全国各省市的中考试题，操作型问题已日渐成为中考热点之一.它体现了新课程标准强调学生主动参与，勤于动手，乐于探究，经历学习过程的新理念．操作型问题能让学生经历观察，操作，实验，猜想，验证的探究过程．不仅能考查学生的空间观念，对图形的认识，图形的变换，图形的设计，图形的直觉判断能力，而且还能考查学生的分析综合，抽象概括逻辑推理的能力，是学生展示个体思维发散创新的好平台．操作型问题一般包括作图问题，分割组合图形问题，图形的折叠问题和图形移动等问题．解决这类问题，要理解掌握轴对称轴、中心对称及点的轨迹的基本性质，审清题意，学会运用图形的平移变换、翻折变换和旋转变换.注意运用分类讨论、类比猜想、验证归纳等数学思想方法，灵活地解决问题．在平时的学习中，要注重操作习题解题训练，提高思维的开放性，培养创新能力.【典型例题】例１如图9-1，在正方形网络上有一个△ABC.（１）作△ABC关于直线MN的对称图形（不写作法）；（２）若网络上的最小正方形的边长为1，求△ABC的面积.（2003年浙江绍兴市中考试题）NBCAM图9-1张老师初中数学家教187494376602分析：(1)观察图形,先作出点A、B、C关于直线MN的对称点A1、B1、C1，连结A1B1、、B1C1、C1A1得△A1B1C1．(2)Ｓ△ABC等于点Ａ、Ｂ、Ｃ所在边的矩形面积与三个直角三角形面积和的差.解：（1）作图（略）.（2）此三角形面积为：Ｓ△ABC＝2×3－2×（21×1×2）－21×1×3=6－2－23=25说明：本题利用轴对称性质来作图.常见的作图题依据着轴对称、中心对称及点的轨迹的性质来作图.例2某地板厂要制作正六边形形状的地板砖，为了适应市场多样化需求，要求在地板砖上设计的图案能够把正六边形6等分，请你帮助他们设计等分图案（至少设计两种）.（2003年甘肃省中考试题）分析：由题意得：本例属于等分分割图形问题，正六边形既是轴对称图形又是中心对称图形.设计图案的关键：以正六边形的6个顶张老师初中数学家教187494376603点和正六边形的中心为顶点分割设计成6等分图案.解：（答案不惟一，在下图9-2中任选两种）.说明：本例属于等分分割图形问题，与此例类似的如将平行四边形、矩形、正方形分割成4等分等.这类问题解决，只有抓住被分割图形的中心及图形的顶点后，发挥个人的想象力，才能创造性地设计出图案.例3如图9-3，把一个等腰直角三角形ABC沿斜边上的高CD（裁剪线）剪一刀，从这个三角形中裁下一部分，与剩下部分能拼成一个平行四边形A′BCD（见示意图a）.(以下探究过程中有画图要求的，工具不限，不必写画法和证明.)探究一：（1）想一想——判断四边形A′BCD是平行四边形的依据图9-2张老师初中数学家教187494376604是；（2）做一做——按上述的裁剪方法，请你拼一个与图（a）位置或形状不同的平行四边形，并在图（b）中画出示意图.探究二：在直角三角形ABC中，请你找出其他的裁剪线，把分割成的两部分拼出不同类型的特殊四边形.（1）试一试——你能拼得不同类型的特殊四边形有，它们的裁剪线分别是；（2）画一画——请在图（c）中画出一个你拼得的特殊四边形示意图.（2003年浙江省丽水市中考试题）分析：探究二：本例属于分割图形后，再重新组合图形问题.由于裁剪线的不定性，使组合图形变得更加多姿多彩.重新组拼图形的关键是找出不同类型的特殊四边形：平行四边形、矩形、等腰梯形、直角梯形再用实验和类比的方法来寻找答案.解：探究一：(c)CAB(a)DCBAA′DCABD(1)(b)DCAB图9-3A′DCAB(2)图9-4张老师初中数学家教187494376605（1）CDA′B（或A′DBC等）.(2)(只要画出图9-4（1），（2）之一的示意图).探究二：平行四边形、矩形、等腰梯形、直角梯形.三角形ABC的中位线（或一条三角形的中位线）（注：若写出直角梯形，并指出这条裁剪线是“把一条直角边分成2：1的两段，且平行于另一条直角边（或斜边）的线段”，才算正确.）//=//=CkD2kBAC(6)(3)AABCD(1)ABCDD(2)CABDD(4)DCABD(3)A2kkCBADA(5)图9-5张老师初中数学家教187494376606(2)只要画出图9-5中（1）~（6）之一的示意图.说明：本例探究二中，由于裁剪线的不定性，给重新组合图形留下较大的创新空间.解答此类问题，常用的方法有实验法、分析法、类比法、联想法和验证法.想一想：探究一中，能否拼成菱形？请说明理由.例4阅读下面短文：如图9-6（1）所示，△ABC是直角三角形，∠C=900，现在△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两端点，第三个顶点落在矩形这一边上，那么符合要求的矩形可以画出两个：矩形ACBD和矩形AEFB（如图9-6（2）所示）.解答问题：（1）设图9-6（2）所示矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S1、S2，则S1S2（填“＞”、“=”、“＜”）（2）如图9-6（3）所示，△ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出个，利用图9-6（3）把画出来.CAB图9-6（1）ECBADF图9-6（2）图9-6（4）ABC张老师初中数学家教187494376607（3）如图9-6（4）所示，△ABC是锐角三角形三边满足BC＞AC＞AB，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出个，利用图9-6（4）把它出来.（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？（2002年陕西省中考试题）分析：（2）只能以AB为一边，作一个矩形；（3）可以锐角△ABC的三边作三个矩形；（4）由（1）类推（3）中的三个矩形的面积相等，设其面积为S，用S与a、b、c三边分别表示三个矩形的周长L1、L2、L3，用作差法类比三个矩形的周长的大小.解：（1）S1=S2；（2）一个（如图9-6（5））；（3）三个（如图9-6（6））；(4)以AB为边的矩形周长最小.设矩形BCED、ACHQ、ABGF的周长分别为L1、L2、L3，BC=a,AC=b,AB=c.易知这三个矩形的面积相等.图9-6（6）HABCDEFGQCAB9-6（3）图9-6（5）CAB张老师初中数学家教187494376608令其面积为S，则有，L1=aS2+2a，L2=bS2+2b，L3=cS2+2c.∵L1－L2=aS2+2a－(bS2+2b)=2(a－b)·abSab.而ab＞S，a＞b，∴L1－L2＞0，即L1＞L2，同理L2＞L3.∴以AB为边的矩形周长最小.说明：本例要求在熟悉按要求补图、组合图形的基础上，分析、归纳、类比一此量的变化.另外通过解答可以发现本例有三个规律：一是所画矩形个数的规律（一个、二个、三个）.二是符合要求的矩形的面积的规律（各图中矩形面积均为原三角形面积的2倍等）.三是矩形周长的规律（以短边为矩形一边的矩形周长最短）.例5已知两个等圆⊙O1和⊙O2相交A、B两点，⊙O1经过O2，点C是AO2B上任一点（不与A、O2、B重合），连结BC并延长交⊙O2于D，连结AC、AD.(1)图9-7（1）供操作测量用，（测量时使用刻度尺和圆规）将图9-7（1）按题中叙述补充完整，并观察或度量AC、CD、AD三条线段的长短，通过观察和度量，说出三条线段的长度之间存在怎样关系？(2)猜想结论（求证部分），并证明你的猜想，在补充完整图9-7（1）中进行证明.(3)如图9-7（2），若C点是BO2的中点，AC与O1O2相交于点E.连接O1C、O2C，求证CE2=O1O2·EO2.ABEO1··O2C(2)O1··O2ABCD(1)张老师初中数学家教187494376609图9-7（2002四川眉山市中考试题）分析：（1）画图测量，易得AC=CD=AD.（2）欲证△ACD为正三角形，可利用圆周角定理及其推论证明△ACD每一个内角都等于600即可.（3）欲证CE2=O1O2·EO2.只需证：△O1O2C∽△CO2E.解：（1）补充完整图形如图9-7（3），三条线段AC、CD、AD相等.（2）结论：△ACD是正三角形.证明：连结AO1、AO2、BO2、O1O2.∵⊙O1、⊙O2是等圆，且⊙O1过O2点，∴AO2=O1O2=AO1.∴∠AO2O1=600,∴∠AO2B=1200.∴∠D=21∠AO2B=21×1200=600.∵∠ACB=∠AO2B=1200,O1··O2ABCD图9-7（3）张老师初中数学家教1874943766010∴∠ACD=600.∴△ACD是正三角形.（3）（如图9-7（2））∵C是BO2的中点,∴∠CO1O2=300.∵∠ACO2=300.∴∠CO1O2=∠ACO2∵∠O1O2C=∠CO2E∴△O1O2C∽△CO2E.∴COOO221=22EOCO.∵O1O2=O1C，∴∠O1O2C=∠O1CO2=∠CEO2∴CO2=CE.∴CE2=O1O2·EO2.说明：本例是一道以相交两圆为背景，集操作、测量、猜想、证明于一体探究性问题,着重考查动手操作变换图形和推理论证的能力.本例以留空回填命题的思路，解答时应顺向．．逐层进行.例6取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图9-8（1）；第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′，得Rt△AB′E，如图9-8（2）；第三步：沿EB′线折叠得折痕EF，如图9-8（3）.利用展开图9-8（4）探究：（1）△AEF是什么三角形？证明你的结论.（2）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由.张老师初中数学家教1874943766011（2003年山西省中考试题）分析：（1）经过操作测量易判定△AEF是正三角形.再运用平行线等分线段定理、直角三角形的性质来证明△AEF是正三角形；(2)不一定.运用由特殊到一般的思路来解答：若矩形恰好能折出等边三角形，先找出矩形长a与宽b的关系，再按b≤23a、23a＜b＜a的情形分类讨论.解：（1）△AEF是正三角形.证法一：（如图右图）由平行线等分线段定理知：PE=PA，∴B′P是Rt△AB′E斜边上的中线，∴PA=PB′，∠1=∠3.又∵PN//AD，∴∠2=∠3.而∠BAF=2∠1+∠2=900，∴∠1=∠2=300.∴在Rt△AB′E，∠1+∠AEF=900，∴∠AEF=600，∠EAF=∠1+∠2=600，∴△AEF是正三角形.证法二：∵△ABE与△AB′E完全重合，∴△ABE≌△AB′E，∠BAE=∠1.312PFEMABBB′CDNFECB′B′CDNNB′FEMABBCDN（4）FAE（3）ABCMDN（1）AD（2）图9-8张老师初中数学家教1874943766012由平行线等分线段定理知∴EB′=B′F.又∠AB′E=900，∴△AB′E≌△AB′F，AE=AF.∴∠1=∠2=31∠BAD=300.∴△AEF是正三角形.（2）不一定.由上推证可知当矩形的长恰好等于△AEF的边AF时，即矩形的宽：长AB：AF=sin600=3：2时正好能折出.如果设矩形的长为a，宽为b,可知当b≤23a时，按此法一定能折出等边三角形；当23a＜b＜a时，按此法无法折出完整的等边三角形.说明：折叠图形问题，着重考察动手操作和分析推理能力、图形的直觉判断能力和书面表述的数学素养等.折叠图形的常见类型：对角线折叠问题；角平分线折叠问题；轴对称折叠问题；两点重合折叠问题等.想一想本例属于哪种折叠问题？例7OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=6.（1）如图9-9（1），在OA上选取一点G，将△COG沿CG翻折，使点O落在BC边上，记为E，求折痕CG所在直线的解析式.(2)如图9-9（2），在OC上选取一点D，将△AOD沿AD翻折，使点O落在BC边上，记为E′.①求折痕AD所在直线的解析