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2012届高考模拟仿真试题·广东(六)·文科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合A＝{－2，－1,1,2}，B＝{y|y＝x2，x∈A}，则下列结论正确的是(A)A．(∁RB)∩A＝{－2，－1,2}B．(∁RA)∪B＝(－∞，0]C．B∩(∁RA)＝[0,1)∪(1,2)∪(2，＋∞)D．A∪B＝{1,2}2.若复数(1＋bi)(2＋i)是纯虚数(i是虚数单位，b是实数)，则b＝(D)A．－2B．－12C.12D．2解析：(1＋bi)(2＋i)＝(2－b)＋(1＋2b)i为纯虚数，则2－b＝0且1＋2b≠0，所以b＝2.3.已知{an}是等差数列，a1＝15，S5＝55，则过点P(3，a2)，Q(4，a4)的直线的斜率为(C)A．4B.14C．－4D.－14解析：由a1＝15，S5＝55，得d＝－2，所以kPQ＝a4－a24－3＝2d＝－4.4.在检查产品尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，[a，b)是其中一组，抽查出的个体在该组上频率为m，该组上的频率分布直方图的高为h，则|a－b|＝(B)A．hmB.mhC.hmD．h＋m解析：因为频率分布直方图的高h＝频率组距＝m|a－b|，所以|a－b|＝mh。5.已知不同直线a，b和不重合平面α，β，则a∥b的一个充分条件是(C)A．a∥α，b∥αB．a∥α，b∥β，α∥βC．a⊥α，b⊥β，α∥βD．α⊥β，a⊥α，b∥β解析：因为a⊥α，b⊥β，α∥β，所以a∥b，故选C.6.设点P(t2＋2t，1)(t0)，则|OP→|(O为坐标原点)的最小值是(D)A．3B．5C.3D.5解析：|OP→|2＝(t2＋2t)2＋1＝t24＋4t2＋3≥5，当且仅当t＝2时等号成立，所以|OP→|min＝5.7.已知cosA＋sinA＝－713，A为第二象限角，则tanA＝(A)A．－512B．－125C.125D.512解析：利用勾股数52＋122＝132，由题意得sinA＝513，cosA＝－1213，所以tanA＝－512.8.从抛物线y2＝4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为(B)A．12B．10C．8D．6解析：由题意得抛物线焦点为F(1,0)，准线为x＝－1，由|PM|＝5，得P(4，±4)，S△MPF＝12|PM|·|yp|＝10.9.已知直线l1：x＋y＋2＝0和直线l2：x＋y＝0，设点P到l1与l2的距离分别为d1与d2，记d＝max{d1，d2}，那么当d≥2时，点P所在的区域是(D)ABCD解析：因为l1与l2的距离为2，由线性规划得，满足d≥2的点P所在的区域是图D.10.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，当x∈[3,5]时，f(x)＝2－|x－4|，则(C)A．f(sinπ6)f(cosπ6)B．f(sin1)f(cos1)C．f(cos2)f(sin2)D．f(cos2π3)f(sin2π3)解析：由题意得函数图象为因为sinπ6cosπ6，sin1cos1，|sin2π3||cos2π3|，|sin2||cos2|结合函数在x∈[－1,1]上的单调性，排除得C.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，其中11－13为必做题，14－15为选做题，14－15题只需选做1小题．共20分．(一)必做题11.若框图所给的程序运行结果为S＝41，那么判断框中应填入的关于i的条件是i≤6？.解析：即S＝1＋2＋4＋7＋11＋16＝4112.若△ABC三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知m＝(a＋b，c)，n＝(a－b，c－a)，若|m＋n|＝|m－n|，则角B的大小为60°.解析：由|m＋n|＝|m－n|，得m·n＝0，即(a＋b)(a－b)＋c(c－a)＝0，得a2＋c2－b2＝ac，由余弦定理得cosB＝a2＋c2－b22ac＝12，故B＝60°.13.已知数组：(11)，(12，21)，(13，22，31)，(14，23，32，41)，…，(1n，2n－1，3n－2，…，n－12，n1)，…记该数组为：(a1)，(a2，a3)，(a4，a5，a6)，…，则a2012＝595.解析：由排数的规律得1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12≥2012，计算得n＝63且a2016＝631，故a2012＝595.(二)选做题(请考生在以下两个小题中任选一题做答)14.(几何证明选讲选做题)如图，过点P作⊙O的割线PBA与切线PE，E为切点，连接AE、BE，∠APE的平分线分别与AE、BE相交于点C、D，若∠AEB＝30°，则∠PCE＝75°.解析：因为PE为圆O的切线，则PE2＝PB·PA，所以△PBE∽△PEA，故∠PED＝∠CAP.又∠EPD＝∠APC，所以△PDE∽△PCA，所以∠PDE＝∠PCA，即∠PCE＋∠AEB＝180°－∠PCE，又∠AEB＝30°，得∠PCE＝75°.15.(坐标系与参数方程选做题)极坐标系中，曲线ρ＝－4sinθ和ρcosθ＝1相交于点A，B，则|AB|＝23.解析：在平面直角坐标系中，曲线ρ＝－4sinθ和ρcosθ＝1分别表示圆x2＋(y＋2)2＝4和直线x＝1，作图易知|AB|＝23.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.(本小题满分12分)设函数f(x)＝23sinxcosx＋mcos2x＋n，且f(0)＝2＋n，其中m，n为常数．(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若当x∈[0，π2]时，f(x)的最小值为－2，求n的值．解析：(1)由f(0)＝2＋n，得m＝2，则(2分)f(x)＝23sinxcosx＋2cos2x＋n＝3sin2x＋cos2x＋1＋n＝2sin(2x＋π6)＋1＋n.(5分)若f(x)单调递减，则2kπ＋π2≤2x＋π6≤2kπ＋3π2，即kπ＋π6≤x≤kπ＋2π3(k∈Z)，所以f(x)的递减区间是[kπ＋π6，kπ＋2π3](k∈Z)．(8分)(2)当0≤x≤π2时，π6≤2x＋π6≤7π6，则2x＋π6＝7π6，即x＝π2时，f(x)取到最小值，(10分)即2sin(2×π2＋π6)＋n＋1＝－2，所以n＝－2.(12分)17.(本小题满分13分)(1)在区间[0,4]上随机取出两个整数m、n，求关于x的一元二次方程x2－nx＋m＝0有实数根的概率；(2)在区间[0,4]上随机取两个数m、n，求关于x的一元二次方程x2－nx＋m＝0有实数根的概率．解析：因为方程x2－nx＋m＝0有实数根，所以Δ＝n－4m≥0.(1)由于m、n∈[0,4]，且m，n是整数，因此，m、n的可能取值共有25组，(2分)又满足n≥4m的分别为m＝0n＝0，m＝0n＝1，m＝0n＝2，m＝0n＝3，m＝0n＝4，m＝1n＝4，共6组，(4分)因此有实数根的概率为625.(5分)故在区间[0,4]上随机取出两个整数m，n，则关于x的一元二次方程x2－nx＋m＝0有实数根的概率为625.(6分)(2)如图，由于0≤m≤40≤n≤4对应的区域面积为16，(8分)而不等式组n－4m≥00≤m≤40≤n≤4，表示为阴影部分区域，面积为2.(10分)因此有实数根的概率为S阴影S正方形＝18.(12分)故在区间[0,4]上随机取两个数m，n，则关于x的一元二次方程x2－nx＋m＝0有实数根的概率为18.(13分)18.(本小题满分13分)已知直三棱柱的正视图、侧视图和直观图如下图所示，其中侧视图是边长为2的正三角形，正视图是矩形且AA1＝3，设D为AA1的中点．正视图侧视图直观图(1)请画出该直三棱柱的俯视图，并求其体积；(2)求证：平面BB1C1C⊥平面BDC1；(3)BC边上是否存在点P，使AP∥平面BDC1？若不存在，请说明理由；若存在，请证明你的结论．俯视图解析：(1)俯视图如右图所示(2分)因为几何体的底面积S＝3，高h＝3，所以所求体积V＝33.(5分)(2)证明：连接B1C，BC1，且交于E点，则E为B1C、BC1的中点，连接DE.又因为AD＝A1D，AB＝A1C1，∠BAD＝∠DA1C1＝90°，所以△ABD≌△A1C1D，则BD＝DC1，故DE⊥BC1.(8分)同理DE⊥B1C.又B1C∩BC1＝E，则DE⊥平面BB1C1C，又DE⊂平面BDC1，则平面BDC1⊥平面BB1C1C.(10分)(3)在BC上存在点P，使得AP∥平面BDC1，此时P为BC中点，(11分)证明：连接PE，则PE∥AD，且PE＝AD，所以四边形APED为平行四边形，则AP瘙綊DE，(12分)又DE⊂平面BDC1，AP⊄平面BDC1，所以AP∥平面BDC1.(13分)19.(本小题满分14分)已知F1、F2是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，点B也在椭圆上，且满足OA→＋OB→＝0(O为坐标原点)，AF2→·F1F2→＝0，若椭圆的离心率等于22；(1)求直线AB的方程；(2)若|AB|＝23，设P为椭圆上不同于A、B的动点，求△PAB的面积的取值范围．解析：(1)由题意得a＝2b＝2c.(1分)设A点坐标为(x0，y0)，因为AF2→·F1F2→＝0，所以AF2⊥F1F2.将x0＝c代入x2a2＋y2b2＝1，得y0＝b2a＝22c，所以kOA＝22.(4分)又OA→＋OB→＝0，则A，O，B三点共线，所以直线AB方程为y＝22x.(5分)(2)因为|AB|＝2|OA|＝23，所以|OA|2＝c2＋c22＝32c2＝3.则c2＝2＝b2，得a2＝4，故椭圆方程为x24＋y22＝1.(8分)设平行于直线AB的直线l：y＝22x＋m与椭圆相切，则联立消去y，得x2＋2mx＋m2－2＝0，由Δ＝2m2－4(m2－2)＝0，得m＝±2.(11分)平行直线AB与l间的距离为d＝263，△PAB面积的最大值为12|AB|·d＝22.所以△PAB的面积的取值范围为(0,22]．(14分)20.(本小题满分14分)设函数f(x)＝ax＋lnx，g(x)＝a2x2.(1)若函数y＝f(x)图象与直线2x－y－1＝0相切，求a的值；(2)是否存在正实数a，使f(x)≤g(x)对一切正实数x都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．解析：(1)f′(x)＝a＋1x，(1分)设切点为P(x0，y0)，由题意得f′(x0)＝a＋1x0＝2,①(2分)由①知x0＝12－a，2x0－ax0＝1，又因为y0＝ax0＋lnx0＝2x0－1，(4分)消去x0，得ln12－a＝0，所以a＝1.(6分)(2)假设存在正数a，令F(x)＝f(x)－g(x)(x0)，f(x)≤g(x)对一切正实数x都成立，则F(x)max≤0(x0)，由F′(x)＝a＋1x－2a2x＝0，得x＝1a.(8分)当x1a时，F′(x)0，故F(x)为减函数；当0x1a时，F′(x)0，故F(x)为增函数．(10分)所以F(x)max＝F(1a)＝ln1a，(12分)由ln1a≤0，得a≥1，故a的取值范围为[1，＋∞)．(14分)21.(本小题满分14分)已知正项数列{an}的首项为1，且对任意n∈N*，都有1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＝na1an＋1.数列{an}的前10项和为55.(1)求数列{an}的通项公式，并加以证明；(2)设数列{an}满足xn＝(1＋1a2n)(1＋1a2n＋2)…(1＋1a4n－2)(1＋1a4n)，证明：14n＜xn－2＜2n.解析：(1)因为1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＝na1an＋1，①所以1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＋1an＋1an＋2＝n＋1a1an＋2，②②－①得，1an＋1an＋2＝n＋1a1an＋2－na1an＋1，(2分)因为