2012届虹口区高三一模数学

第1页上海市虹口区2012届高三上学期期终教学质量监控测试数学试卷（时间120分钟，满分150分）一、填空题（每小题4分，满分56分）1、已知集合4,3,2,1M，7,5,3,1N，集合NMP，则集合P的子集共有个．2、若函数xaxxf4)(在区间]2,0(上是减函数，则实数a的取值范围是．3、已知cos31sin，则2cos)4sin(的值等于．4、若三角方程12cos7sin2m有解，则实数m的取值范围是．5、从1，2，3，4，5，6这六个数中一次随机取出两数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率等于．6、已知函数)4sin()(xxf（Rx，0）的最小正周期为，将)(xfy图像向左平移个单位长度)20(所得图像关于y轴对称，则．7、a，b是两个不共线的单位向量，若向量ba与向量bak2垂直，则实数k．8、数列na满足01a，且211111nnaa)(Nn，则通项公式na．9、过抛物线xy82的焦点作弦AB，点),(11yxA，),(22yxB，且1021xx，则AB．10、已知双曲线112422yx的左、右焦点分别为1F，2F，P在双曲线上，且9021PFF，则点P到x轴的距离等于．第2页11、过圆25)3()1(22yx内的点），01(的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积等于．12、等差数列na的前n项和为nS，若189S，304ka)9(k，336kS，则k．13、已知函数axxf2)(，16)(2xxxg，对于任意的]1,1[1x都能找到]1,1[2x，使得)()(12xfxg，则实数a的取值范围是．14、已知abc，bac，cab成等差数列，则①2bac；②acb2；③bca2中，正确的是．（填入序号）二、选择题（每小题5分，满分20分）15、正方体1111DCBAABCD中，E为线段11DB上的一个动点，则下列结论中错误的是（）.ABEAC.B//1EB平面ABCD.C三棱锥ABCE的体积为定值.D直线EB1直线1BC16、已知数列na的前n项和nS，对于任意的Nnm,，都满足nmmnSSS，且21a，则2011a等于（）.A2.B2011.C2012.D402217、定义在R上的函数)(xf，当]1,1(x时，xxxf2)(，且对任意的x满足)()2(xafxf（常数0a），则函数)(xf在区间]7,5(上的最小值是（）.A341a.B341a.C341a.D341a18、已知集合RxxxxA,0342，RxxaxaxBx,05)7(20221且，若BA，则实数a的取值范围是（）第3页.A]0,4[.B]1,4[.C]0,1[.D]1,314[三、解答题（满分74分）19、（13分）已知椭圆P的焦点坐标为)1,0(，长轴等于焦距的2倍．（1）求椭圆P的方程；（2）矩形ABCD的边AB在y轴上，点C、D落在椭圆P上，求矩形绕y轴旋转一周后所得圆柱体侧面积的最大值．20、（15分）已知向量)1,sin(xm，)21,cos3(xn，函数mnmxf)()(．（1）求函数)(xf的最小正周期；（2）若a，b，c是ABC的内角A，B，C的对边，32a，22c，且)(Af是函数)(xf在]2,0(上的最大值，求：角A，角C及b边的大小．21、（15分）（1）求以02yx为渐近线，且过点)2,72(的双曲线A的方程；（2）求以双曲线A的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆B的方程；（3）椭圆B上有两点P，Q，O为坐标原点，若直线OP，OQ斜率之积为51，求证：22OQOP为定值．22、（15分）已知nS是数列na的前n项和，2)21(211nnnSS（2n，Nn），且211a．（1）求2a的值，并写出na和1na的关系式；（2）求数列na的通项公式及nS的表达式；第4页（3）我们可以证明：若数列nb有上界（即存在常数A，使得Abn对一切Nn恒成立）且单调递增；或数列nb有下界（即存在常数B，使得Bbn对一切Nn恒成立）且单调递减，则nnblim存在．利用上述结论，证明：nnSlim存在．23、（16分）已知函数2)1(1log)(xxmxfa（0a，1a）．（1）若1m时，判断函数)(xf在),2(上的单调性，并说明理由；（2）若对于定义域内一切x，0)1()1(xfxf恒成立，求实数m的值；（3）在（2）的条件下，当),(abx时，)(xf的取值恰为),1(，求实数a，b的值．参考答案一、填空题（每小题4分，满分56分）1、4；2、16a；3、223；4、]2,1[；5、51；6、8；7、21；8、1222nn；9、14；10、3；11、40；12、21；13、62a；14、③；二、选择题（每小题5分，满分20分）15、D；16、A；17、D；18、B；三、解答题（满分74分）19、(13分)（1）椭圆的方程为14322yx…………………………………………………………4分（2）记),(yxD，xyS4ABBC2侧…………………………………7分由34324312222xyyxyx，得3xy，34侧S．…………12分第5页当214322yx，即26x，2y时取到．………………………………13分20、（15分）（1）23cossin3sin)1,sin()23,cos3sin()(2xxxxxxxf2)62sin(x，T………………………………………………………………………………5分（2）20x，65626x，)(xf的最大值为3．32)62sin()(AAf，A为三角形内角，3A………………9分又Csin223sin32，得22sinC，CA，4C………………12分由212228122bb，得04222bb，62b………15分21、（15分）（1）设双曲线方程为224yx)0(将)2,72(代入，得20，得双曲线A：152022yx……………………………………………………………3分（2）椭圆的顶点为)0,5(，焦点为)0,20(，52b，椭圆B：152522yx……6分（3）设kkOP，kkOQ51，由152522yxkxy，得152522kx，15)1(25222kkOP……10分同理可得15)125(5222kkOQ，3015301502222kkOQOP………………15分第6页22、（15分）（1）212a．当2n时，2)21(211nnnSS①；2)21(21nnnSS②②—①得nnnaa)21(21．又112)21(12aa，即1n时也成立．nnnaa)21(21)(Nn…………………………………………………………5分（2）由（1）得12211nnnnaa，121a，nna2是首项为1，公差为1的等差数列，nnann1)1(12，nnna2，2n时，2)21(211nnnSS，2)21(1nnnaS，nnnS222，又2111aS，也满足上式，nnnS222)(Nn……………………10分（3）021)222()232(111nnnnnnnnSS，nS单调递增，又2222nnnS，nnSlim存在……………………………………………15分23、（16分）（1）2log)(xxxfa，任取212xx，记2)(xxx，0)2)(2()(2)()(212121xxxxxx，)(x单调递减．当1a时，)(xf在),2(单调递减；当10a时，)(xf在),2(单调递增．…………………………………………4分（2）由011log11logxmxxmxaa，得222xxm，1m……………………8分第7页当1m时，22log)(xxxfa无意义．1m，2log)(xxxfa………………………………………………………10分（3）)(xf的定义域为),2()0,(o1．若)0,(),(ab，与0a矛盾，不合；………………………………12分o2．若),2(),(ab，ab2．取axxb21，0)2)(2()(22221212211xxxxxxxx．又2a，2log2log2211xxxxaa，此时)(xf为减函数（或由（1）得)(xf为减函数）…………………………………………………14分值域))(),((bfaf为),1(，2b………………………………15分又12logaaa，得3a……………………………………………………16分