2-2-3不定方程与不定方程组_题库

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2-2-3.不定方程与不定方程组.题库教师版page1of41.利用整除及奇偶性解不定方程2.不定方程的试值技巧3.学会解不定方程的经典例题一、知识点说明历史概述不定方程是数论中最古老的分支之一.古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程,因此常称不定方程为丢番图方程.中国是研究不定方程最早的国家,公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题,公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究.宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来.考点说明在各类竞赛考试中,不定方程经常以应用题的形式出现,除此以外,不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中.在以后初高中数学的进一步学习中,不定方程也同样有着重要的地位,所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具,并能够在以后的学习中使用这个工具解题。二、不定方程基本定义1、定义:不定方程(组)是指未知数的个数多于方程个数的方程(组)。2、不定方程的解:使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解,不定方程的解不唯一。3、研究不定方程要解决三个问题:①判断何时有解;②有解时确定解的个数;③求出所有的解三、不定方程的试值技巧1、奇偶性2、整除的特点(能被2、3、5等数字整除的特性)3、余数性质的应用(和、差、积的性质及同余的性质)模块一、利用整除性质解不定方程【例1】求方程2x-3y=8的整数解【解析】方法一:由原方程,易得2x=8+3y,x=4+32y,因此,对y的任意一个值,都有一个x与之对应,并且,此时x与y的值必定满足原方程,故这样的x与y是原方程的一组解,即原方程的例题精讲知识精讲教学目标2-2-3不定方程与不定方程组2-2-3.不定方程与不定方程组.题库教师版page2of4解可表为:342xkyk,其中k为任意数.说明由y取值的任意性,可知上述不定方程有无穷多组解.方法二:根据奇偶性知道2x是偶数,8为偶数,所以若想2x-3y=8成立,y必为偶数,当y=0,x=4;当y=2,x=7;当y=4,x=10……,本题有无穷多个解。【巩固】求方程2x+6y=9的整数解【解析】因为2x+6y=2(x+3y),所以,不论x和y取何整数,都有2|2x+6y,但2Œ9,因此,不论x和y取什么整数,2x+6y都不可能等于9,即原方程无整数解.说明:此题告诉我们并非所有的二元一次方程都有整数解。【例2】求方程4x+10y=34的正整数解【解析】因为4与10的最大公约数为2,而2|34,两边约去2后,得2x+5y=17,5y的个位是0或5两种情况,2x是偶数,要想和为17,5y的个位只能是5,y为奇数即可;2x的个位为2,所以x的取值为1、6、11、16……x=1时,17-2x=15,y=3,x=6时,17-2x=5,y=1,x=11时,17-2x=17-22,无解所以方程有两组整数解为:16,31xxyy【巩固】求方程3x+5y=12的整数解【解析】由3x+5y=12,3x是3的倍数,要想和为12(3的倍数),5y也为3的倍数,所以y为3的倍数即可,所以y的取值为0、3、6、9、12……y=0时,12-5y=12,x=4,x=3时,12-5y=12-15,无解所以方程的解为:40xy【巩固】解不定方程:2940xy(其中x,y均为正整数)【解析】方法一:2x是偶数,要想和为40(偶数),9y也为偶数,即y为偶数,也可以化简方程2940xy,40920522xyxy知道y为偶数,所以方程解为:112,24xxyy模块二、利用余数性质解不定方程【例3】求不定方程7111288xy的正整数解有多少组?【解析】本题无论x或是y,情况都较多,故不可能逐一试验.检验可知1288是7的倍数,所以11y也是7的倍数,则y是7的倍数.设7yz,原方程可变为11184xz,z可以为1,2,3,……16.由于每一个z的值都确定了原方程的一组正整数解,所以原方程共有16组正整数解.【例4】求方程3x+5y=31的整数解【解析】方法一:利用欧拉分离法,由原方程,得x=3153y,即x=10-2y+13y,要使方程有整数解13y必须为整数.取y=2,得x=10-2y+13y=10-4+1=7,故x=7,y=22-2-3.不定方程与不定方程组.题库教师版page3of4当y=5,得x=10-2y+13y=10-10+2=2,故x=2,y=5当y=8,得x=10-2y+13y=10-16+3无解所以方程的解为:72,25xxyy方法二:利用余数的性质3x是3的倍数,和31除以3余1,所以5y除以3余1(2y除以3余1),根据这个情况用余数的和与乘积性质进行判定为:取y=1,2y=2,2÷3=0……2(舍)y=2,2y=4,4÷3=1……1(符合题意)y=3,2y=6,6÷3=2(舍)y=4,2y=8,8÷3=2……2(舍)y=5,2y=10,10÷3=3……1(符合题意)y=6,2y=12,12÷3=4(舍)当y>6时,结果超过31,不符合题意。所以方程的解为:72,25xxyy【巩固】解方程7489xy,(其中x、y均为正整数)【解析】方法一:7489xy,4y是4的倍数,和89除以4余1,所以7x除以4余1(7÷4≡3),可以看成3x除以4余1,根据这个情况用余数的和与乘积性质进行判定为(x<13)x=1,3x=3,3÷4≡3(舍)x=2,3x=6,6÷4≡2(舍)x=3,3x=9,9÷4≡1(符合题意)x=4,3x=12,12÷4≡0(舍)x=5,3x=15,15÷4≡3(舍)x=6,3x=18,18÷4≡2(舍)x=7,3x=21,21÷4≡1(符合题意)x=8,3x=24,24÷4≡0(舍)x=9,3x=27,27÷4≡3(舍)x=10,3x=30,30÷4≡2(舍)x=11,3x=33,33÷4≡1(符合题意)x=12,3x=36,36÷4≡0(舍)所以方程的解为:3711,,17103xxxyyy方法二:利用欧拉分离法,由原方程,897122244xxyx,1x的取值为4的倍数即可,所以方程的解为:3711,,17103xxxyyy模块三、解不定方程组【例5】解方程180012008001600015abcabc(其中a、b、c均为正整数)【解析】根据等式的性质将第一个方程整理得9648015abcabc,根据消元的思想将第二个式子扩大4倍相减后为:(964)4()80415abcabc,整理后得5220ab,根据等式性质,2b为偶数,20为偶数,所以5a为偶数,所以a为偶数,当2a时,52220b,5b,所以8c,2-2-3.不定方程与不定方程组.题库教师版page4of4当4a时,54220b,5b,所以无解。所以方程解为258abc【例6】解不定方程1531003100xyzxyz(其中x、y、z均为正整数)【解析】根据等式的性质将第一个方程整理得159300100xyzxyz,根据消元思想与第二个式子相减得148200xy,根据等式的性质两边同时除以2得:74100xy,根据等式性质4y为4的倍数,100为4的倍数,所以7y为4的倍数,所以y为4的倍数试值如下481218,11,4788184xxxyyyzzz

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