2-3-3列不定方程解应用题_题库

2-3-3.列不定方程解应用题.题库教师版page1of111、熟练掌握不定方程的解题技巧2、能够根据题意找到等量关系设未知数解方程3、学会解不定方程的经典例题一、知识点说明历史概述不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．考点说明在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。二、运用不定方程解应用题步骤1、根据题目叙述找到等量关系列出方程2、根据解不定方程方法解方程3、找到符合条件的解模块一、不定方程与数论【例1】把2001拆成两个正整数的和，一个是11的倍数（要尽量小），一个是13的倍数（要尽量大），求这两个数．【解析】这是一道整数分拆的常规题．可设拆成的两个数分别为11x和13y，则有：11132001xy，要让x取最小值，y取最大值．可把式子变形为：2001111315312132122153131313xxxxyx，可见12213x是整数，满足这一条件的x最小为7，且当7x时，148y．则拆成的两个数分别是71177和148131924．【巩固】甲、乙二人搬砖，甲搬的砖数是18的倍数，乙搬的砖数是23的倍数，两人共搬了300块砖．问：甲、乙二人谁搬的砖多？多几块？知识精讲教学目标2-3-3列不定方程解应用题2-3-3.列不定方程解应用题.题库教师版page2of11【解析】设甲搬的是18x块，乙搬的是23y块．那么1823300xy．观察发现18x和300都是6的倍数，所以y也是6的倍数．由于3002313y，所以y只能为6或12．6y时18162x，得到9x；12y时1824x，此时x不是整数，矛盾．所以甲搬了162块，乙搬了138块，甲比乙搬得多，多24块．【巩固】现有足够多的5角和8角的邮票，用来付4.7元的邮资，问8角的邮票需要多少张？【解析】设5角和8角的邮票分别有x张和y张，那么就有等量关系：5847xy．尝试y的取值，当y取4时，x能取得整数3，当y再增大，取大于等于6的数时，x没有自然数解．所以8角的邮票需要4张．【例2】（2008年北大附中“资优博雅杯”数学竞赛）用十进制表示的某些自然数，恰等于它的各位数字之和的16倍，则满足条件的所有自然数之和为___________________.【解析】若是四位数abcd，则1616361000abcd≤，矛盾，四位以上的自然数也不可能。若是两位数ab，则1610ababab，也不可能，故只有三位数abc.1610010abcabc，化简得2825abc.由于257963bc，所以1a或2b.1a时，9b，2c，或4b，4c；2a时，8b，8c.所以所有自然数之和为192144288624.模块二、不定方程与应用题【例3】有两种不同规格的油桶若干个，大的能装8千克油，小的能装5千克油，44千克油恰好装满这些油桶．问：大、小油桶各几个？【解析】设有大油桶x个，小油桶y个．由题意得：8544xy可知844x，所以012345x、、、、、．由于x、y必须为整数，所以相应的将x的所有可能值代入方程，可得3x时，4y这一组整数解．所以大油桶有3个，小油桶有4个．[小结]这道题在解答时，也可联系数论的知识，注意到能被5整除的数的特点，便可轻松求解.【例4】在一次活动中，丁丁和冬冬到射击室打靶，回来后见到同学“小博士”，他们让“小博士”猜他们各命中多少次．“小博士”让丁丁把自己命中的次数乘以5，让冬冬把自己命中的次数乘以4，再把两个得数加起来告诉他，丁丁和冬冬算了一下是31，“小博士”正确地说出了他们各自命中的次数．你知道丁丁和冬冬各命中几次吗？【解析】设丁丁和冬冬分别命中了x次和y次，则：5431xy．可见x除以4的余数为3，而且x不能超过6，所以3x，4y．即丁丁命中了3次，冬冬命中了4次．【巩固】某人打靶，8发共打了53环，全部命中在10环、7环和5环上．问：他命中10环、7环和5环各几发？【解析】假设命中10环x发，7环y发，5环z发，则8(1)107553(2)xyzxyz由⑵可知7y除以5的余数为3，所以4y、9……如果y为9，则76353y，所以y只能为4，代入原方程组可解得1x，3z．所以他命中10环1发，7环4发，5环3发．【例5】某次聚餐，每一位男宾付130元，每一位女宾付100元，每带一个孩子付60元，现在有13的成人各带一个孩子，总共收了2160元，问：这个活动共有多少人参加(成人和孩子)？【解析】设参加的男宾有x人，女宾有y人，则由题意得方程：11301006021603xyxy，即2-3-3.列不定方程解应用题.题库教师版page3of111501202160xy，化简得5472xy．这个方程有四组解：413xy，88xy，123xy和018xy，但是由于有13的成人带着孩子，所以xy能被3整除，检验可知只有后两组满足．所以，这个活动共有1123123203人或11818243人参加．【巩固】单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有13的职工各带一个孩子参加．男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子都种6棵树，他们一共种了216棵树，那么其中有多少名男职工？【解析】因为有13的职工各带一个孩子参加，则职工总人数是3的倍数．设男职工有x人，女职工有y人．则职工总人数是xy人，孩子是3xy人．得到方程：131036216xyxy，化简得：5472xy．因为男职工与女职工的人数都是整数，所以当3y时，12x；当8y时，8x；当13y，4x．其中只有31215是3的倍数，符合题意，所以其中有12名男职工．【例6】张师傅每天能缝制3件上衣，或者9件裙裤，李师傅每天能缝制2件上衣，或者7件裙裤，两人20天共缝制上衣和裙裤134件，那么其中上衣是多少件？【解析】如果20天都缝制上衣，共可缝制3220100件，实际上比这多缝制了13410034件，这就要把上衣换成裙裤，张师傅每天可多换936件，李师傅每天可多换725件，设张师傅缝制裙裤x天，李师傅缝制裙裤y天，则：6534xy，整数解只有4x，2y．因此共缝制裙裤947250件，上衣共1345084件．【巩固】小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候．若是早晨见面，小花狗叫两声，波斯猫叫一声；若是晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声．细心的小娟对它们的叫声统计了15天，发现它们并不是每天早晚都见面．在这15天内它们共叫了61声．问：波斯猫至少叫了多少声？【解析】早晨见面小花狗和波斯猫共叫3声，晚上见面共叫5声．设在这15天内早晨见面x次，晚上见面y次．根据题意有：3561xy(15x≤，15y≤)．可以凑出，当2x时，11y；当7x时，8y；当12x时，5y．因为小花狗共叫了2xy声，那么xy越大，小花狗就叫得越多，从而波斯猫叫得越少，所以当12x，5y时波斯猫叫得最少，共叫了1123527(声)．【例7】甲、乙两人生产一种产品，这种产品由一个A配件与一个B配件组成．甲每天生产300个A配件，或生产150个B配件；乙每天生产120个A配件，或生产48个B配件．为了在10天内生产出更多的产品，二人决定合作生产，这样他们最多能生产出多少套产品？【解析】假设甲、乙分别有x天和y天在生产A配件，则他们生产B配件所用的时间分别为(10)x天和(10)y天，那么10天内共生产了A配件(300120)xy个，共生产了B配件150(10)48(10)198015048xyxy个．要将它们配成套，A配件与B配件的数量应相等，即300120198015048xyxy，得到7528330xy，则3302875yx．此时生产的产品的套数为330283001203001201320875yxyyy，要使生产的产品最多，就要使得y最大，而y最大为10，所以最多能生产出13208101400套产品．【巩固】某服装厂有甲、乙两个生产车间，甲车间每天能生产上衣16件或裤子20件；乙车间每天能生产上衣18件或裤子24件．现在要上衣和裤子配套，两车间合作21天，最多能生产多少套衣服？【解析】假设甲、乙两个车间用于生产上衣的时间分别为x天和y天，则他们用于生产裤子的天数分别为(21)x天和(21)y天，那么总共生产了上衣(1618)xy件，2-3-3.列不定方程解应用题.题库教师版page4of11生产了裤子20(21)24(21)9242024xyxy件．根据题意，裤子和上衣的件数相等，所以16189242024xyxy，即67154xy，即15476yx．那么共生产了15472216181618410633yxyyy套衣服．要使生产的衣服最多，就要使得y最小，则x应最大，而x最大为21，此时4y．故最多可以生产出22410440833套衣服．【例8】有一项工程，甲单独做需要36天完成，乙单独做需要30天完成，丙单独做需要48天完成，现在由甲、乙、丙三人同时做，在工作期间，丙休息了整数天，而甲和乙一直工作至完成，最后完成这项工程也用了整数天，那么丙休息了天．【解析】设完成这项工程用了a天，其间丙休息了b天．根据题意可知：1111136304848ab，591172048ab，化简得5915720ab．由上式，因为15b与720都是15的倍数，所以59a必须是15的倍数，所以a是15的倍数，在ab的条件下，只有15a，11b一组解，即丙休息了11天．【例9】实验小学的五年级学生租车去野外开展“走向大自然，热爱大自然”活动，所有的学生和老师共306人恰好坐满了5辆大巴车和3辆中巴车，已知每辆中巴车的载客人数在20人到25人之间，求每辆大巴车的载客人数．【解析】设每辆大巴车和中巴车的载客人数分别为x人和y人，那么有：53306xy．由于知道中巴车的载客人数，也就是知道了y的取值范围，所以应该从y入手．显然3y被5除所得的余数与306被5除所得的余数相等，从个位数上来考虑，3y的个位数字只能为1或6，那么当y的个位数是2或7时成立．由于y的值在20与25之间，所以满足条件的22y，继而求得48x，所以大巴车的载客人数为48人．【巩固】实验小学的五年级学生租车去野外开展“走向大自然，热爱大自然”活动，所有的学生和老师共306人恰好坐满了7辆大巴车和2辆中巴车，已知每辆中巴车的载客人数在20人到25人之间，求每辆大巴车的载客人数．【解析】设大巴车和中巴车的载客人数分别为x人和y人，那么有：72306xy．考虑等式两边除以7的余数，由于306被7除余5，所以2y被7除余5，符合条件的y有：6、13、20、27，所以20y，继而求得38x，所以大巴车的载客人数为38人．【巩固】每辆大汽车能容纳54人，每辆小汽车能容纳36人．现有378人，要使每个人都上车且每辆车都装满，需要大、小汽车各几辆？【解析】设需要大、小汽车分别为x辆