2012届高三数学一轮复习基础导航10.2排列组合

10.2排列组合【考纲要求】1、理解排列、组合的概念.2、能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3、能解决简单的实际问题.【基础知识】一、排列[来源:Zxxk.Com]1、排列的定义：从n个不同元素中，任取m(mn)个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。2、不同的排列的定义：元素和顺序至少有一个不同.3、相同的排列的定义：元素和顺序都相同的排列.4、排列数的定义：从n个不同元素中，任取m(mn)个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号mnA表示.5、排列数公式：mnA=)1()1(mnnn=！！)(mnn(n，m∈N，且mn)．(1)(2)321!nnAnnnn(叫做n的阶乘)[来源:Z。xx。k.Com]规定1!0二、组合1、组合的定义：从n个不同元素中，任取m(mn)个元素，并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.[来源:学科网ZXXK]2、组合数：从n个不同的元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，用符号mnC表示.3、组合数公式：mnC=mnmmAA=mmnnn21)1()1(=！！！)(mnmn(n∈N，mN，且mn)[来源:学科网ZXXK]规定01nC，1!0这里两个公式前者多用于数字计算，后者多用于证明恒等式及合并组合数简化计算，注意公式的逆用，即由！！！)(mnmn=mnC4、组合数性质：(1)mnC=mnnC;(2)mnC+1mnC=mnC15、要弄清排列和组合的区别和联系：有序排列，无序组合。三、排列组合的综合问题1、排列组合问题的解题步骤仔细审题编程列式计算2、编程的一般方法一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法。3、解排列组合问题，要排组分清（有序排列，无序组合），加乘有序(分类加法，分步乘法)【例题精讲】例1从5名男生、3名女生中选5人担任5门不同学科的课代表，分别求符合下列条件的方法数；(1)女生甲担任语文课代表；(2)男生乙必须是课代表，但不担任英语课代表；(3)3名男课代表，2名女课代表，男生乙不任英语课代表．分析：本题是先组合后排列问题，特殊情况可优先考虑．解析：(1)女生甲担任语文课代表，再选四人分别担任其他四门学科课代表，方法数有C47A44＝840种．(2)先选出4人，有C47种方法，连同乙在内，5人担任5门不同学科的课代表，乙不担任英语课代表，有A14·A44种方法，所以方法数为C47·A14·A44＝3360种．(3)分两类，乙担任课代表，乙不担代课任表．第一类：乙担任课代表，先选出2名男生2名女生，有C24C23种方法，连同乙在内，5人担任5门不同学科的课代表，乙不担任英语课代表，有A14A44种方法，方法数为C24C23·A14A44种；第二类：乙不担任课代表，有C34C23A55种方法．根据分类计数原理，共有C24C23A14A44＋C34C23A55＝3168种不同方法．例2在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，另外2人能当钳工也能当车工。现从11人中选出4人当钳工，4人当车工，问共有多少种不同的选法?分析：采用加法原理首先要做到分类不重不漏，如何做到这一点？分类的标准必须前后统一。解：以两个全能的工人为分类的对象，考虑以他们当中有几个去当钳工为分类标准。第一类：这两个人都去当钳工，有35种；第二类：这两人有一个去当钳工，有75种；第三类：这两人都不去当钳工，有75种。因而共有185种。10.2排列组合强化训练【基础精练】1．不等式Ax8＜6Ax－28的解集为()A．[2,8]B．[2,6]C．(7,12)D．{8}[来源:学科网]2．从－3，－2，－1,0,1,2,3,4这8个数中任选3个不同的数组成二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c，则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线有()A．72条B．96条C．128条D．144条3．将A、B、C、D、E排成一列，要求A、B、C在排列中顺序为“A、B、C”或“C、B、A”(可以不相邻)，这样的排列数有()A．12种B．20种C．40种D．60种4．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加．当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同的发言顺序的种数为()A．360B．520C．600D．720[来源:Z.xx.k.Com]5．已知函数f(x)＝4|x|＋2－1的定义域为[a，b]，其中a、b∈Z，且a＜b.若函数f(x)的值域为[0,1]，则满足条件的整数对(a，b)共有()A．2个B．5个C．6个D．8个6．有4个标号为1,2,3,4的红球和4个标号为1,2,3,4的白球，从这8个球中任取4个球排成一排．若取出的4个球的数字之和为10，则不同的排法种数是()A．384B．396C．432D．4807．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有________种(用数字作答)．8．某班一天上午有4节课，每节都需要安排一名教师去上课，现从A，B，C，D，E，F6名教师中安排4人分别上一节课，第一节课只能从A、B两人中安排一人，第四节课只能从A、C两人中安排一人，则不同的安排方案共有________种．9．在△AOB的边OA上有5个点，边OB上有6个点，加上O点共12个点，以这12个点为顶点的三角形有________个．10．有编号分别为1、2、3、4的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子．问：[来源:Z#xx#k.Com](1)共有多少种放法？(2)恰有一个空盒，有多少种放法？(3)恰有2个盒子内不放球，有多少种放法？11．按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本．【拓展提高】1．(1)以AB为直径的半圆上，除A、B两点外，另有6个点，又因为AB上另有4个点，共12个点，以这12个点为顶点共能组成多少个四边形？(2)在角A的一边上有五个点(不含A)，另一边上有四个点(不含A)，由这十个点(含A)可构成多少个三角形？(3)设有等距离的3条平行线和另外等距离的4条平行线相交，试问以这些交点为顶点的三角形的个数是多少？【基础精练参考答案】1.D【解析】：8！(8－x)！＜6×8！(10－x)！，∴x2－19x＋84＜0，∴7＜x＜12，又x≤8，x－2≥0，∴7＜x≤8即x＝8.2.D【解析】：当a＞0时，坐标原点在抛物线内部⇔f(0)＝c＜0；当a＜0时，坐标原点在抛物线内部⇔f(0)＝c＞0，所以坐标原点在抛物线内部⇔ac＜0故满足条件的抛物线共有3×4×6×A22＝144条．3.C【解析】：五个字母排成一列，①先从中选三个位置给A、B、C且A、B、C有两种站法即C35×2，②然后让D、E排在剩余两个位置上有A22种排法；由分步乘法原理所求排列数为C35×2×A22＝40.4.C【解析】：若甲乙同时参加，可以先从剩余的5人中选出2人，先排此两人，再将甲乙两人插入其中即可，则共有C25A22A23种不同的发言顺序；若甲乙两人只有一人参加，则共有C12C35A44种不同的发言顺序，综上可得不同的发言顺序为C25A22A23＋C12C35A44＝600种．5.B[【解析】：函数f(x)＝41,0,241,0,2xxxx是R上的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)∈[0,1]，则定义域区间可以取[－2,2]，[－2，0]，[－2,1]，[－1,2]，[0,2]，共有5个．6.C【解析】：若取出的球的标号为1,2,3,4，则共有C12C12C12C12A44＝384种不同的排法；若取出的球的标号为1,1,4,4，则共有A44＝24种不同的排法；若取出的球的标号为2,2,3,3则共有A44＝24种不同的排法；由此可得取出的4个球数字之和为10的不同排法种数是384＋24＋24＝432.7.36【解析】：选出两人看成整体，再排列，共有C24A33＝36.8.36【解析】：由于教师A在第一节与第四节课中都涉及，为此应分开处理较好，第一节课教师A上，则第四节课必由教师C上，此时有A24＝12种，如果第一节由教师B上，则第四节应由教师A、C中一人上，此时有A12A24＝24，故共有36种不同的排法．9.165【解析】：C312－C36－C37＝165.10.【解析】：(1)1号小球可放入任意一个盒子内，有4种放法．同理，2、3、4号小球也各有4种放法，故共有44＝256种放法．(2)恰有一个空盒，则这4个盒子中只有3个盒子内有小球，且小球数只能是1、1、2.先从4个小球中任选2个放在一起，有C24种方法，然后与其余2个小球看成三组，分别放入4个盒子中的3个盒子中，有A34种放法．由分步计数原理，知共有C24A34＝144种不同的放法．(3)恰有2个盒子内不放球，也就是把4个小球只放入2个盒子内，有两类放法：①一个盒子内放1个球，另一个盒子内放3个球．先把小球分为两组，一组1个，另一组3个，有C14种分法，再放到2个盒子内，有A24种放法，共有C14A24种方法；[来源:学科网]②2个盒子内各放2个小球．先从4个盒子中选出2个盒子，有C24种选法，然后把4个小球平均分成2组，每组2个，放入2个盒子内，也有C24种选法，共有C24C24种方法．由分类计数原理知共有C14A24＋C24C24＝84种不同的放法．11.【解析】：(1)无序不均匀分组问题．先选1本有C16种选法；再从余下的5本中选2本有C25种选法；最后余下3本全选有C33种方法，故共有C16C25C33＝60种．(2)有序不均匀分组问题．由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)题基础上，还应考虑再分配，共有C16C25C33A33＝360种．[来源:学。科。网](3)无序均匀分组问题．先分三步，则应是C26C24C22种方法，但是这里出现了重复．不妨记6本书为A、B、C、D、E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则C26C24C22种分法中还有(AB，EF，CD)、(CD，AB，EF)、(CD，EF，AB)、(EF，CD，AB)、(EF，AB，CD)，共A33种情况，而这A33种情况仅是AB、CD、EF的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有C26C24C22A33＝15种．【拓展提高参考答案】所以共有C312－(C34×3＋C33×4＋4)＝200个．[来源:Zxxk.Com]