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22.1几何证明选讲【考纲要求】1．几何证明选讲（1）了解平行线截割定理，会证明并应用直角三角形射影定理.（2）会证明并应用圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理.（3）会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理.（4）了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系了解平行投影；会证平面与圆柱面的截线是椭圆（特殊情形是圆）.（5）了解下面定理：定理在空间中，取直线为轴，直线与相交于点O，其夹角为α,围绕旋转得到以O为顶点，为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴交角为β（π与平行，记β＝0），则：①β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；②β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；③β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线.（6）会利用丹迪林（Dandelin）双球（如图所示，这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的下方，并且与平面π及圆锥面均相切，其切点分别为F、E）证明上述定理①情形：当βα时，平面π与圆锥的交线为椭圆.（图中上、下两球与圆锥面相切的切点分别为点B和点C，线段BC与平面π相交于点A.）（7）会证明以下结果：①在（6）中，一个丹迪林球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行，记这个圆所在平面为π'；②如果平面π与平面π'的交线为m，在（5）①中椭圆上任取一点A，该丹迪林球与平面π的切点为F，则点A到点F的距离与点A到直线m的距离比是小于1的常数e.（称点F为这个椭圆的焦点，直线m为椭圆的准线，常数e为离心率.）（8）了解定理（5）③中的证明，了解当β无限接近α时,平面π的极限结果.【基础知识】1、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。2、平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。3、相似三角形的判定：定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形：相似的简单方法：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似。预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。相似三角形的性质：（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比；（2）相似三角形周长的比等于相似比；（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。4、直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。5、圆周角定理圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。6、圆内接四边形的性质与判定定理定理1：圆的内接四边形的对角互补。定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。圆的切线的性质及判定定理。7、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。弦切角的性质8、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。与圆有关的比例线段9、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。10、割线定理：从园外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。11、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。12、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。【例题精讲】例1如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.(1)证明：△ABE∽△ADC；(2)若△ABC的面积S＝12AD·AE，求∠BAC的大小．解析：(1)证明：由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD.因为∠AEB与∠ACB是同弧所对的圆周角，所以∠AEB＝∠ACD.故△ABE∽△ADC.(2)因为△ABE∽△ADC，所以ABAE＝ADAC，即AB·AC＝AD·AE.又S＝12AB·ACsin∠BAC，且S＝12AD·AE，故AB·ACsin∠BAC＝AD·AE.则sin∠BAC＝1，又∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝90°.例2如图，AB、CD是圆的两条平行弦，BE∥AC，并交CD于E，交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC＝ED＝1，PA＝2.(1)求AC的长；(2)求证：EF＝BE.解析：(1)∵PA2＝PC·PD，PA＝2，PC＝1，∴PD＝4.又∵PC＝ED＝1，∴CE＝2.∵∠PAC＝∠CBA，∠PCA＝∠CAB，∴△PAC∽△CBA，∴PCAC＝ACAB，∴AC2＝PC·AB＝2，∴AC＝2.(2)证明：∵CE·ED＝BE·EF，BE＝AC＝2，∴EF＝2·12＝2，∴EF＝BE.22.1几何证明选讲强化训练【基础精练】1．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若PB＝1，PD＝3，则BCAD的值为________．2．如图所示，过⊙O外一点P作一条直线与⊙O交于A，B两点，已知PA＝2，点P到⊙O的切线长PT＝4，则弦AB的长为______．3．如图所示，已知PC、DA为⊙O的切线，C、A分别为切点，AB为⊙O的直径，若DA＝2，CDDP＝12，则AB＝________.[来源:Z,xx,k.Com]4．如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BDDA＝________.5．如图，已知PA、PB是圆O的切线，A、B分别为切点，C为圆O上不与A、B重合的另一点，若∠ACB＝120°，则∠APB＝________.6．如图，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB＝OB＝2，PC切圆O于C点，CD⊥AB于D点，则CD＝________.[来源:学科网ZXXK]7．如图，AB为⊙O的直径，AC切⊙O于点A，且AC＝22cm，过C的割线CMN交AB的延长线于点D，CM＝MN＝ND，则AD的长等于________cm.[来源:Z。xx。k.Com]8．如图，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD＝2a3，∠OAP＝30°，则CP＝______.9．如图，⊙O的弦ED，CB的延长线交于点A.若BD⊥AE，AB＝4，BC＝2，AD＝3，则DE＝______，CE＝______.[来源:学科网]10．如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，已知⊙O的半径为3，PA＝2，则PC＝________，OE＝________.11．如图，自圆O外一点P引切线与圆切于点A，M为PA的中点，过M引割线交圆于B、C两点．求证：∠MCP＝∠MPB.12．如图，已知在△ABC中，∠ABC＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，连结DB、DE、OC.若AD＝2，AE＝1，求CD的长．13．如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB的延长线于点C，若DA＝DC，求证：AB＝2BC.14．已知弦AB与⊙O半径相等，连接OB并延长使BC＝OB.(1)问AC与⊙O的位置关系是怎样的；(2)试在⊙O上找一点D，使AD＝AC.【拓展提高】1．如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B，C，∠APC的角平分线分别与AB，AC相交于点D，E，求证：(1)AD＝AE；(2)AD2＝DB·EC.2．如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连结FB、FC.(1)求证：FB＝FC；(2)求证：FB2＝FA·FD；(3)若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝6cm，求AD的长.【基础精练参考答案】∴DA＝BA－BD＝5－165＝95.∴BDDA＝169.5.60°解析：连结OA、OB，∠PAO＝∠PBO＝90°，∵∠ACB＝120°，∴∠AOB＝120°.又P、A、O、B四点共圆，故∠APB＝60°.6.3解析：由切割线定理知，PC2＝PA·PB，解得PC＝23.又OC⊥PC，故CD＝PC·OCPO＝23×24＝3.7.27解析：由切割线定理知|CA|2＝|CM|·|CN|＝2|CM|2，因为|CA|＝22，所以|CM|＝2，|CD|＝6，[来源:学科网]所以|AD|＝|CD|2－|CA|2＝27.8.98a解析：∵AP＝PB，∴OP⊥AB.又∵∠OAP＝30°，∴AP＝32a.由相交弦定理得CP·PD＝AP2，[来源:学&科&网]∴CP＝AP2PD＝34a2×32a＝98a.9.527解析：由圆的割线定理知：[来源:学科网]AB·AC＝AD·AE，∴AE＝8，∴DE＝5.连接EB，∵∠EDB＝90°，∴EB为直径．∴∠ECB＝90°.由勾股定理，得EB2＝DB2＋ED2＝AB2－AD2＋ED2＝16－9＋25＝32.在Rt△ECB中，EB2＝BC2＋CE2＝4＋CE2，∴CE2＝28，∴CE＝27.10.495解析：因为PB＝PA＋AB＝8，所以在⊙O中，由切割线定理得：PC2＝PA·PB＝2×8＝16，故PC＝4；连结OC，则OC⊥CP，在Rt△OCP中，由射影定理得：PC2＝PE·PO，则PE＝PC2PO＝165.故OE＝PO－PE＝95.11.证明：∵PA与圆相切于A，∴MA2＝MB·MC.∵M为PA的中点，∴PM＝MA，∴PM2＝MB·MC，∴PMMC＝MBPM.[来源:学|科|网Z|X|X|K]∵∠BMP＝∠PMC，∴△BMP∽△PMC，∴∠MCP＝∠MPB.12.解析：由切割线定理得AD2＝AE·AB，所以AB＝4，EB＝AB－AE＝3.又∵∠OCD＝∠ADE＝90°－∠CDB，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACO，∴ADAE＝ACAO，即21＝CD＋22.5，CD＝3.答：CD的长等于3.13.证明：如图所示，连接OD，BD，因为CD为⊙O的切线，AB为直径，所以∠ADB＝∠ODC＝90°.所以∠ODA