2012届高三数学一轮复习第三章导数及其应用3-3

第3章第3节一、选择题1．(文)(2010·甘肃省质检)函数f(x)＝x3－ax2＋x在x＝1处的切线与直线y＝2x平行，则a＝()A．0B．1C．2D．3[答案]B[解析]由条件知，f′(1)＝3×12－2a×1＋1＝2，∴a＝1.(理)(2010·芜湖十二中)设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为()A．4B．－14C．2D．－12[答案]A[解析]∵y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，∴g′(1)＝2，∵f(x)＝g(x)＋x2，∴f′(x)＝g′(x)＋2x，∴f′(1)＝g′(1)＋2＝4.2．把长100cm的铁丝分成两段，各围成一个正方形，当两正方形面积之和最小时，两段长分别为()A．20,80B．40,60C．50,50D．30,70[答案]C[解析]设一段长为x，则另一段长为100－x，∴S＝(x4)2＋(100－x4)2＝116[x2＋(100－x)2]＝116(2x2－200x＋10000)令S′＝0得116(4x－200)＝0，∴x＝50.3．在内接于半径为R的半圆的矩形中，周长最大的矩形的边长为()A.R2和32RB.55R和455RC.45R和75RD．以上都不对[答案]B[解析]设矩形垂直于半圆直径的边长为x，则另一边长为2R2－x2，则l＝2x＋4R2－x2(0＜x＜R)，l′＝2－4xR2－x2，令l′＝0，解得x＝55R.当0＜x＜55R时，l′＞0；当55R＜x＜R时，l′＜0.所以当x＝55R时，l取最大值，即周长最大的矩形的边长为55R，455R.4．(文)圆柱的表面积为S，当圆柱体积最大时，圆柱的底面半径为()A.S3πB.3πSC.6πS6πD．3π·6πS[答案]C[解析]设圆柱底面半径为r，高为h，∴S＝2πr2＋2πrh，∴h＝S－2πr22πr又V＝πr2h＝rS－2πr32，则V′＝S－6πr22，令V′＝0得S＝6πr2，∴h＝2r，r＝6πS6π.(理)内接于半径为R的球并且体积最大的圆锥的高为()A．RB．2RC.43RD.34R[答案]C[解析]设圆锥的高为h，底面半径为r，则R2＝(h－R)2＋r2∴r2＝2Rh－h2∴V＝13πr2h＝π3h(2Rh－h2)＝23πRh2－π3h3V′＝43πRh－πh2，令V′＝0得h＝43R.5．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为()A.33cmB.1033cmC.1633cmD.2033cm[答案]D[解析]设圆锥的高为x，则底面半径为202－x2，其体积为V＝13πx(400－x2)(0＜x＜20)，V′＝13π(400－3x2)，令V′＝0，解得x＝2033.当0＜x＜2033时，V′＞0；当2033＜x＜20时，V′＜0所以当x＝2033时，V取最大值．6．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与产量x的关系是R＝400x－12x2，0≤x≤400，80000，x＞400.则总利润最大时，每年生产的产品是()A．100B．150C．200D．300[答案]D[解析]由题意，总成本为C＝20000＋100x.所以总利润为P＝R－C＝300x－x22－20000，0≤x≤400，60000－100x，x＞400，P′＝300－x，0≤x≤400，－100，x＞400.令P′＝0，得x＝300，易知当x＝300时，总利润最大．7．(文)(2010·安徽合肥市质检)函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f′(x)的图象可能是()[答案]D[解析]由f(x)的图象知，f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，∴在(0，＋∞)上f′(x)≤0，在(－∞，0)上f′(x)≥0，故选D.(理)如图，过函数y＝xsinx＋cosx图象上点(x，y)的切线的斜率为k，若k＝g(x)，则函数k＝g(x)的图象大致为()[答案]A[解析]∵y′＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，∴k＝g(x)＝xcosx，易知其图象为A.8．(2010·鞍山一中)函数f(x)＝13ax3＋12ax2－2ax＋2a＋1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是()A．a－316B．－65a－316C．a－65D．－65≤a≤－316[答案]B[解析]f′(x)＝ax2＋ax－2a＝a(x＋2)(x－1)有两个零点－2和1，故由题设条件知－2和1是函数f(x)的一个极大值点和一个极小值点，∵f(x)的图象经过4个象限，∴f(－2)·f(1)0，∴16a3＋156a＋10，∴－65a－316，故选B.9．(2010·泰安质检)已知非零向量a，b满足：|a|＝2|b|，若函数f(x)＝13x3＋12|a|x2＋a·bx在R上有极值，设向量a，b的夹角为θ，则cosθ的取值范围为()A.12，1B.12，1C.－1，12D.－1，12[答案]D[解析]∵函数f(x)在R上有极值，∴f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b＝0有两不等实根，∴Δ＝|a|2－4|a|·|b|cosθ＝4|b|2－8|b|2cosθ0，∴cosθ12，∴选D.[点评]若f(x)为三次函数，f(x)在R上有极值，则f′(x)＝0应有二不等实根，当f(x)有两相等实根时，不能保证f(x)有极值，这一点要特别注意，如f(x)＝13x3，f′(x)＝x2＝0有实根x＝0，但f(x)在R上单调增，无极值．即导数为0是函数有极值的必要不充分条件．10．(文)(2010·常德市检测)已知函数f(x)＝13x3＋ax2－bx＋1(a、b∈R)在区间[－1,3]上是减函数，则a＋b的最小值是()A.23B.32C．2D．3[答案]C[解析]f′(x)＝x2＋2ax－b，在[－1,3]上有f′(x)≤0，∴f－1≤0f3≤0，∴2a＋b≥16a－b≤－9，由2a＋b＝16a－b＝－9得a＝－1b＝3，∴当直线a＋b＝z经过点A(－1,3)时，zmin＝2.(理)若a2，则方程13x3－ax2＋1＝0在(0,2)上恰好有()A．0个根B．1个根C．2个根D．3个根[答案]B[解析]设f(x)＝13x3－ax2＋1，则f′(x)＝x2－2ax，∵a2，∴f′(x)≤0⇔0≤x≤2a.又a)，故f(x)在区间(0,2)上递减，f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(2)＝113－4a0.故f(x)的图象在(0,2)上与x轴有一个交点．二、填空题11．用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，该长方体的最大体积是________．[答案]3m3[解析]设长方体的宽为x，则长为2x，高为92－3x(0x2)，故体积为V＝2x292－3x＝－6x3＋9x2，V′＝－18x2＋18x，令V′＝0得，x＝0或1，∵0x2，∴x＝1.∴该长方体的长、宽、高各为2m、1m、1.5m时，体积最大，最大体积Vmax＝3m3.[点评]注意长方体的长、宽、高都是正值，且长、宽、高的和的4倍为总长度．请再练习下题：用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．[解析]设容器的短边长为xm，则另一边长为(x＋0.5)m，高为14.8－4x－4x＋0.54＝3.2－2x.由3.2－2x0和x0，得0x1.6，设容器的容积为ym3，则有y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)(0x1.6)，整理得y＝－2x3＋2.2x2＋1.6x，∴y′＝－6x2＋4.4x＋1.6，令y′＝0，有－6x2＋4.4x＋1.6＝0，即15x2－11x－4＝0，解得x1＝1，x2＝－415(不合题意，舍去)，∴高＝3.2－2＝1.2，容积V＝1×1.5×1.2＝1.8答：高为1.2m时容积最大，最大容积为1.8m3.12．(2010·江苏，14)将边长为1m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s＝梯形的周长2梯形的面积，则s的最小值是________．[答案]3233[解析]设DE＝x，则梯形的周长为：3－x，梯形的面积为：12(x＋1)·32(1－x)＝34(1－x2)∴s＝3－x2341－x2＝433·x2－6x＋91－x2，x∈(0,1)，设h(x)＝x2－6x＋91－x2，h′(x)＝－6x2＋20x－61－x22.令h′(x)＝0，得：x＝13或x＝3(舍)，∴h(x)最小值＝h13＝8，∴s最小值＝433×8＝3233.13．(2011·江西会昌检测)曲边梯形由曲线y＝x2＋1，y＝0，x＝1，x＝2所围成，过曲线y＝x2＋1，x∈[1,2]上一点P作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为________．[答案]32，134[解析]设P(x0，x02＋1)，x0∈[1,2]，则易知曲线y＝x2＋1在点P处的切线方程为y－(x02＋1)＝2x0(x－x0)，∴y＝2x0(x－x0)＋x02＋1，令g(x)＝2x0(x－x0)＋x02＋1，g(1)＋g(2)＝2(x02＋1)＋2x0(1－x0＋2－x0)＝－2x02＋6x0＋2，∴S普通梯形＝g1＋g22×1＝－x02＋3x0＋1＝－(x0－32)2＋134，∴P点坐标为(32，134)时，S普通梯形最大．14．已知球的直径为d，求当其内接正四棱柱体积最大时，正四棱柱的高为________．[答案]33d[解析]如右图所示，设正四棱柱的底面边长为x，高为h，由于x2＋x2＋h2＝d2，∴x2＝12(d2－h2)．∴球内接正四棱柱的体积为V＝x2·h＝12(d2h－h3)，0hd.V′＝12(d2－3h2)＝0，∴h＝33d.在(0，d)上，函数变化情况如下表：由上表知体积最大时，球内接正四棱柱的高为33d.三、解答题15．(2010·陕西宝鸡市质检)高新开发区某公司生产一种品牌笔记本电脑的投入成本是4500元/台．当笔记本电脑销售价为6000元/台时，月销售量为a台；市场分析的结果表明，如果笔记本电脑的销售价提高的百分率为x(0x1)，那么月销售量减少的百分率为x2.记销售价提高的百分率为x时，电脑企业的月利润是y元．(1)写出月利润y与x的函数关系式；(2)如何确定这种笔记本电脑的销售价，使得该公司的月利润最大．[解析](1)依题意，销售价提高后变为6000(1＋x)元/台，月销售量为a(1－x2)台，则y＝a(1－x2)[6000(1＋x)－4500]，即y＝1500a(－4x3－x2＋4x＋1)(0x1)．(2)由(1)知y′＝1500a(－12x2－2x＋4)，令y′＝0得，6x2＋x－2＝0，解得x＝12或x＝－23(舍去)．当0x12时，y′0；当12x1时，y′0.故当x＝12时，y取得最大值．此时销售价为6000×32＝9000元．故笔记本电脑的销售价为9000元/台时，该公司的月利润最大．16．(文)(2010·南通模拟)甲乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/小时，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/小时)的函数关系是P＝119200v4－1160v3＋15v，(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值．[解析](1)汽车从甲地到乙地需用400v小时，故全程运输成本为Q＝400Pv＝v348－5v22＋6000(0v≤100)．(2)Q′＝v216－5v，令Q′