复数的向量表示

5.2复数的向量表示任何一个复数z=a+bi,都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定;有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的.复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.xyoZab:a+bi实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法,每一个复数,有复平面内唯一的一个点和它对应;反过来,复平面内的每一个点,有唯一的一个复数和它对应.由此得复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的.即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)一一对应这是复数的一种几何意义.当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数,虚部不等于0的两个共轭复数也叫做互为共轭虚数.复数z的共轭复数用表示,即如果z=a+bi,那么=a–bi.ZZ当复数z=a+bi的虚部b=0时,有z=,即任一实数的共轭复数仍是它本身.Z.,RzzzCz这是判断一个数是否是实数的一个准则.在复平面内,如果点Z表示复数z,点表示复数,那么点Z和关于实轴对称.ZZZ复平面内与一对共轭复数对应的点Z和关于实轴对称.ZxyoxyoZ:a+bib-b:a+biZZ:a+bib-b:a+biZ共轭复数有如下一些性质:.)1(zz.)2(22zzzz.2,2)3(bizzazz可推广到有限个）()4(2121zzzz.52121zzzz）（可推广到有限个）()6(2121zzzz).0()()7(22121zzzzz在平面直角坐标系中,每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示,而有序实数对与复数是一一对应的,这样,可以用平面向量来表示复数.设复平面内的点Z表示复数z=a+bi,连结OZ,则向量是由点Z唯一确定的;反过来,点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定.OZOZxyoZ:a+bi复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应),即复数z=a+biOZ平面向量一一对应为方便起见,常把复数z=a+bi说成点Z或者说成向量,并且规定:相等的向量表示同一个复数.OZ复数与向量建立一一对应关系的前提是起点都是原点O.若起点不统一,是原点以外的其它点,复数与向量就不能建立一一对应关系.点Z(a,b),是复数z=a+bi(a,b∈R)的另外两种表示形式,它们都是复数z=a+bi的几何表示.OZ向量复数z=a+bi(a,b∈R)复平面上的点Z(a,b)OZ向量一一对应向量的模r叫做复数z=a+bi的模(或绝对值),记作|z|或|a+bi|.OZ如果b=0,那么z=a+bi是一个实数a,它的模等于|a|(即实数的绝对值).由模的定义可知,22||||barbiaz(显然r≥0,r∈R)|z|=|a+bi|有以下几种情况:.)000)1(aaaaabbiaza（）（），（实数几何意义:在数轴上a的对应点到原点的距离..,)2(zzzz即的模相等与它的共轭复数.,0,非负实数的一切性质它具有即的模是一个非负实数zz模的几何意义:复数的模表示向量的长度,也就是复平面上的点到原点的距离,由此可得到复平面上两点间的距离公式:d=│z1-z2│(z1,z2∈C)OZ）（）（）（）（）（复数模的性质：04321221212121212121zzzzzzzzzzzzzzzzz.,22143.121小并且比较它们的模的大的模及求复数例iziz例2.设z∈C,满足下列条件的点z的集合是什么图形?(1)|z|=4;(2)2|z|4.xyoxyo例1.当实数m为何值时,复数(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在复平面中的对应点:(1)位于第四象限;(2)位于x轴的负半轴上.例2.复数z=log2(x2-3x-3)+ilog2(x-3),设z在复平面中的对应点为Z.(1)求证:复数z不能是纯虚数;(2)若点Z在第三象限,求x的取值范围;(3)若点Z在直线x-2y+1=0上,求x的值.-7m3m=4422132x）（153x）（1.复平面问题2.共轭复数问题例1.已知复数z1=m2+1+(m2+m)i与z2=2+(1-3m)i(m∈R)是共轭复数,求m.m=1.,)2(;,)1().0(sin3cos,cos2sin.2212121的值求若的值求若已知复数例zzzziziz6653.复数模的有关问题例1.复数z=1+itan2000的模__________.sec200_____,6cos3sin.2ziz则复数例26例3.复数z=4+ti的模小于5,则实数t的取值范围是_________.-3t3例4.已知实数m满足不等式│log2m+4i│≤5,则m的取值范围是_________.881m.________,2.5zizzz那么满足条件设复数例.472,.6izzCz解方程设例.,1.7zizz求复数已知例i43iziz43543或iz.,,,)(,1.82122221的取值范围实数求成立均有对于任意的已知例azzRxiaxzxixz.211.2110)1)(21(4021:)2(;,21021:)1(.0)1()21()(11:222222422421aaaaaaaaxaaxxxaxxxzz或此时上式恒成立等价于恒成立解4.复数,复数模的图形问题例1.复数z=icosθ,θ∈[0,2π)的几何表示是()(A)虚轴;(B)虚轴除去原点;(C)线段PQ,点P,Q的坐标分别为(0,1),(0,-1);(D)C中线段PQ,但应除去原点.C例2.设z=x+yi(x,y∈R),在复平面上画出满足下列条件的点Z的集合所表示的图形:(1)x∈R＋且y∈R;(2)│x│≤4且0│y│2;(3)│z│≤2且x+y=2;(4)z=x+yi,x0,y0,且x2+y29.5.最大值,最小值问题例1.若复数z对应点集为圆:Ryxyxyx,,1)3()1(),(22试求│z│的最大值与最小值.xyoo121131.31,2.2的最大值与最小值的模求复数已知复数例zizxyoz14022