2001年考研数学三真题

2001数学(三)试题第1页(共20页)2001年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(1)设生产函数为QALK,其中Q是产出量,L是劳动投入量,K是资本投入量,而A,α,β均为大于零的参数,则当Q=1时K关于L的弹性为(2)某公司每年的工资总额比上一年增加20％的基础上再追加2百万.若以tW表示第t年的工资总额(单位：百万元)，则tW满足的差分方程是___(3)设矩阵111111,111111kkAkk且秩(A)=3,则k=(4)设随机变量X,Y的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5.则根据切比雪夫不等式-6PXY.(5)设总体X服从正态分布2(0,0.2),N而1215,,XXX是来自总体X的简单随机样本，则随机变量221102211152XXYXX服从___分布，参数为_______二、选择题(1)设函数f(x)的导数在x=a处连续,又'()lim1,xafxxa则()(A)x=a是f(x)的极小值点.(B)x=a是f(x)的极大值点.(C)(a,f(a))是曲线y=f(x)的拐点.(D)x=a不是f(x)的极值点,(a,f(a))也不是曲线y=f(x)的拐点.(2)设函数0()(),xgxfudu其中21(1),012(),1(1),123xxfxxx则g(x)在区间(0,2)内()(A)无界(B)递减(C)不连续(D)连续(3)设1112131414131211212223242423222113132333434333231414243444443424100010100,,,00101000aaaaaaaaaaaaaaaaABPaaaaaaaaaaaaaaaa2001数学(三)试题第2页(共20页)210000010,01000001P其中A可逆,则1B等于()(A)112APP(B)112PAP(C)112PPA(D)121PAP.(4)设A是n阶矩阵，α是n维列向量.若秩0TA秩(A)，则线性方程组()(A)AX=α必有无穷多解()BAX=α必有惟一解.()C00TAXy仅有零解()D00TAXy必有非零解.(5)将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数,则X和Y的相关系数等于()(A)-1(B)0(C)12(D)1三、(本题满分5分)设u=f(x,y,z)有连续的一阶偏导数,又函数y=y(x)及z=z(x)分别由下列两式确定:2xyexy和0sin,xzxtedtt求dudx四、(本题满分6分)已知f(x)在(−∞,+∞)内可导,且lim'(),xfxelim()lim[()(1)],xxxxcfxfxxc求c的值.五、(本题满分6分)求二重积分221()2[1]xyDyxedxdy的值,其中D是由直线y=x,y=−1及x=1围成的平面区域六、(本题满分7分)已知抛物线2ypxqx(其中p0,q0)在第一象限与直线x+y=5相切，且此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为S.(1)问p和q为何值时，S达到最大?(2)求出此最大值.七、(本题满分6分)设f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足1130(1)(),(1).xfkxefxdxk证明：存在ξ∈(0,1),使得1'()2(1)().ff2001数学(三)试题第3页(共20页)八、(本题满分7分)已知()nfx满足'1()()nxnnfxfxxe(n为正整数)且(1),nefn求函数项级数1()nifx之和.九、(本题满分9分)设矩阵11111,1.112aAaa已知线性方程组AX=β有解但不唯一,试求:(1)a的值;(2)正交矩阵Q,使TQAQ为对角矩阵.十、(本题满分8分)设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，ijA是ijnnAa中元素ija的代数余子式(i,j=1,2,…,n)，二次型1211(,,).nnijnijijAfxxxxxA(1)记12(,,),nAxxx把1211(,,).nnijnijijAfxxxxxA写成矩阵形式，并证明二次型()fX的矩阵为1A;(2)二次型()TgXXAX与()fX的规范形是否相同？说明理由.十一、(本题满分8分)生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的,假设每箱平均重50千克,标准差为5千克.若用最大载重量为5吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.977.(Φ(2)=0.977,其中Φ(x)是标准正态分布函数).十二、(本题满分8分)设随机变量X和Y对联和分布是正方形G={(x,y)|1≤x≤3,1≤y≤3}上的均匀分布，试求随机变量U={X−Y}的概率密度().pu