2002数学建模A试题解答

12002高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题车灯线光源的优化设计参考答案注意：以下答案是命题人给出的，仅供参考。各评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。一.假设和简化(略)二.模型的建立建立坐标系如下图，记线光源长度为l，功率为W，B,C点的光强度分别为)(lhBW和)(lhCW，先求)(lhB和)(lhC的表达式，再建立整个问题的数学模型.以下均以毫米为单位，由所给信息不难求出车灯反射面方程为6022yxz，焦点坐标为（0,0,15）。1)1)位于点P(0,w,15)的单位能量的点光源反射到点C(0,2600,25015)的能量设反射点的坐标为Q)60,,(22yxyx.记入射向量为a,该点反射面外法线方向为b,不难得到反射向量c满足.22bbbaac记222yxr,由)1,30/,30/(),1560,,(2yxbrwyxa从而得),,(zyxcccc的表达式PQbACB0cazyx2)900(6081000036001800900)9002(90022242222rwyrrcrrywcrxywczyx注意到反射光通过C点,应有60/25015,2600,2rkcykcxkczyx其中k为常数.从上述第一式可解得0x或wyrk29002.由此得反射点坐标满足以下两组方程:223459005200)2600(133750.021060000001350810000)8100009360000()46800001498200(1800)2600(0yyxwwywywywyywyx通过计算可知,存在56.10Cw,当Cww0时第一组方程不存在满足2236r的实根,即无反射点.而当Cww0时,有两个反射点2,1),60/,,0(2iyyQiii.而第二组方程仅当5609.18119.3w时存在满足2236r的一对实根,即有两个反射点),60,,(22yxyx记为43,QQ.若反射点的坐标为),,(zyxQ,则位于点)15,,0(wP的单位能量点光源经Q点反射到C点的能量密度(单位面积的能量,正比于光强度)为2)(4cosQCPQL其中22222222)1560/25015()2600(,)1560/()(ryxQCrwyxPQ而为反射向量与z轴的夹角,3.60/25015cos2QCr2))(),(lhlhCB的表达式长l的具有单位能量的线光源位于点)15,,0(wP的长dw的微小线光源段反射到C点的能量密度为,/)()(41lwfwEii其中4,3,]5609.1,8119.3[,0]5609.1,8119.3[,)(4cos)(2,1,],30[,0],2/[,)(4cos)(20002iwwCQPQwfi长l的具有单位能量的线光源反射到C点的能量密度为.)()(2/2/llCdwwElh类似可得)(lhB的表达式.相应的反射点方程为223459002600)1300(137500.010530000001350810000)8100004680000()23400001498200(1800)1300(0yyxwwywywywyywyx相应的,78.00Bw而第二组方程的有两个反射点的范围为].7800005.0,906.1[w3）3）优化设计的数学模型4设线光源的功率为W,则它反射到B点和C点的能量密度分别为WlhB)(和WlhC)(.问题的数学模型为:1)(2)(..min00WlhWlhtsWCBll三.模型的求解)(),(lhlhCB可以用数值积分求得.)(lhB应具备下列性质：0''0,,20,0)(llllllwlllhBBBBBB其中Bl为起亮值，'Bl为最大值点，0l为考察的最大范围，例如取为20mm。)(lhC也有类似的性质，且起亮值和最大值点均相应地右移.数值求解)(2)(lhlhCB,记其解为*ll,再求出'',CBll,不难看出''CBll且*l落在),(''CBll之中。令)(/2)(/1***lhlhwBC现证*w为问题之最优值。事实上，对可行域中任一),(wl，当,*ll有,)(/2)(/2**wlhHlhHwBB（用到*ll时Bh）。当*ll，有**)(/2)(/2wlhHlhHwCC，（用到*ll时ch）。这就证明了*w的确是最小值。事实上数值结果为41.4,62.7,86.3*''lllCB.四.反射光亮区的计算分别将线光源和车灯反射面离散化为点光源和面元的集合，计算每一点光源关于每一车灯反射面元的反射光线，判断其是否与车灯反射面相交，若相交，一次反射光不能到达测试屏，否则求出该反射光线与反射屏平面的交点，即为反射亮点。所有这些亮点的集合即为反射光亮区。亮区的上半部分由下图所示(横坐标为x轴，纵坐标为y轴，单位为mm),下半部分与上半部分是关于x轴对称的.5五.注记(1)计算))((),(lhlhCB的另一方法是建立问题的数值模型用数值模拟的方法加以解决.具体的做法是:在得到反射光线和反射到测试屏上能量的数学模型后,分别将线光源和车灯反射面离散化为点光源和面元的集合，在测试屏B(或C)点附近取一微小面元.计算每一点光源关于每一车灯反射面元的反射光线，将所有能到达该面元的反射光线的反射能量迭加起来,除以面元的面积即为B(或C)点的反射能量密度.但用这样的方法必须十分注意结果的检验,注意计算精度(必须考察线光源和反射面的剖分密度和测试屏B(或C)点附近小面元的取法等).(2)以上参考答案中没有考虑线光源本身对反射光线的遮挡问题，即假设线光源是透明的。如果假设线光源是不透明的，似乎更符合现实。此时需要考虑线光源本身对反射光线的遮挡，计算会更复杂些，计算结果也会有所不同。6