2012届高考数学一轮复习教案4.2两角和与差二倍角的公式(一)

第1页（共7页）4.2两角和与差、二倍角的公式（一）●知识梳理1.C（α+β）的推导角α的始边为Ox，交单位圆于P1，终边OP2交单位圆于P2，角β的始边为OP2，终边交单位圆于P3，角－β的始边为Ox，终边交单位圆于P4，由|31PP|=|42PP|，得［cos（α+β）－1］2+sin2（α+β）=［cos（－β）－cosα］2+［sin（－β）－sinα］2.∴cos（α+β）=cosαcosβ－sinαsinβ.2.S（α±β）、C（α－β）、T（α±β）以及推导线索（1）在C（α+β）中以－β代β即可得到C（α－β）.（2）利用cos（2π－α）=sinα即可得到S（α+β）；再以－β代β即可得到S（α－β）.（3）利用tanα=cossin即可得到T（α±β）.说明：理清线索以及各公式间的内在联系，是记忆公式的前提.只有这样才能记牢公式，才能用活公式.●点击双基1.（2004年重庆，5）sin163°sin223°+sin253°sin313°等于A.－21B.21C.－23D.23解析：原式=sin17°（－sin43°）+（－sin73°）（－sin47°）=－sin17°sin43°+cos17°cos43°=cos60°=21.答案：B2.（2005年春季北京，7）在△ABC中，已知2sinAcosB=sinC，那么△ABC一定是A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形解析：由2sinAcosB=sinC知2sinAcosB=sin（A+B），∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB.∴cosAsinB－sinAcosB=0.∴sin（B－A）=0.∴B=A.答案：B3.70sin20sin10cos2的值是A.21B.23C.3D.2第2页（共7页）解析：原式=70sin20sin2030cos2）（=70sin20sin20sin30sin20cos30cos2）（=20cos20cos3=3.答案：C4.已知α∈（0，2π），β∈（2π，π），sin（α+β）=6533，cosβ=－135，则sinα=_______.解析：由0＜α＜2π，2π＜β＜π，得2π＜α+β＜2π3.故由sin（α+β）=6533，得cos（α+β）=－6556.由cosβ=－135，得sinβ=1312.∴sinα=sin［（α+β）－β］=sin（α+β）cosβ－cos（α+β）sinβ=6533·（－135）－（－6556）·1312=－845507.答案：－8455075.△ABC中，若b=2a，B=A+60°，则A=_______.解析：利用正弦定理，由b=2asinB=2sinAsin（A+60°）－2sinA=03cosA－3sinA=0sin（30°－A）=030°－A=0°（或180°）A=30°.答案：30°●典例剖析【例1】设cos（α－2）=－91，sin（2－β）=32，且2π＜α＜π，0＜β＜2π，求cos（α+β）.剖析：2=（α－2）－（2－β）.依上述角之间的关系便可求之.解：∵2π＜α＜π，0＜β＜2π，∴4π＜α－2＜π，－4π＜2－β＜2π.故由cos（α－2）=－91，得sin（α－2）=954.由sin（2－β）=32，得cos（2－β）=35.∴cos（2）=cos［（α－2）－（2－β）］=…=2757.∴cos（α+β）=2cos22－1=…=－729239.评述：在已知角的某一三角函数值而求另外一些角的三角函数值时，首先要分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系.其中变角是常见的三角变换.【例2】（2000年春季京、皖）在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c.第3页（共7页）证明：222cba=CBAsinsin）（.剖析：由于所证结论是三角形的边、角关系，很自然地使我们联想到正弦定理、余弦定理.证明：由余弦定理a2=b2+c2－2bccosA，b2=a2+c2－2accosB，∴a2－b2=b2－a2－2bccosA+2accosB，整理得222cba=cAbBacoscos.依正弦定理有ca=CAsinsin，cb=CBsinsin，∴222cba=CABBAsincossincossin=CBAsinsin）（.评述：在解三角形中的问题时，首先应想到正余弦定理，另外还有A+B+C=π，a+b＞c，a＞bA＞BsinA＞sinB等.【例3】已知α、β、γ∈（0，2π），sinα+sinγ=sinβ，cosβ+cosγ=cosα，求β－α的值.剖析：由已知首先消去γ是解题关键.解：由已知，得sinγ=sinβ－sinα，cosγ=cosα－cosβ.平方相加得（sinβ－sinα）2+（cosα－cosβ）2=1.∴－2cos（β－α）=－1.∴cos（β－α）=21.∴β－α=±3π.∵sinγ=sinβ－sinα＞0，∴β＞α.∴β－α=3π.评述：本题极易求出β－α=±3π，如不注意隐含条件sinγ＞0，则产生增根.因此求值问题要注意分析隐含条件.●闯关训练夯实基础1.（2004年上海，1）若tanα=21，则tan（α+4π）=____________.解析：tan（α+4π）=4πtantan14πtantan=1211121=3.答案：32.要使sinα－3cosα=mm464有意义，则应有A.m≤37B.m≥－1C.m≤－1或m≥37D.－1≤m≤37解析：2sin（α－3π）=mm464sin（α－3π）=mm432.由－1≤mm432≤1－1≤m≤37.答案：D第4页（共7页）3.（2004年福建，2）tan15°+cot15°等于A.2B.2+3C.4D.334解析一：tan15°+cot15°=15cos15sin+15sin15cos=15sin15cos15cos15sin22=30sin211=4.解析二：由tan15°=tan（45°－30°）=30tan45tan130tan45tan=331331=3333.∴原式=3333+3333=4.答案：C4.在△ABC中，若22ba=BAtantan，则△ABC的形状为_______.解析：左边利用正弦定理，右边“切变弦”，原式可化为BA22sinsin=BABAsincoscossinBAsinsin=ABcoscossin2A=sin2B2A=2B或2A=π－2BA=B或A+B=2π.答案：等腰三角形或直角三角形5.（2004年湖南，17）已知tan（4π+α）=2，求2coscossin21的值.解：由tan（4π+α）=tantan1=2，得tanα=31.于是2coscossin21=222coscossin2cossin=tan2tan2=13121312）（=32.6.已知cosα=71，cos（α+β）=－1411，α、β∈（0，2π），求β.解：由cosα=71，cos（α+β）=－1411，得cosβ=cos［（α+β）－α］=21，得β=3π.培养能力7.已知sin（4π－x）=135，0＜x＜4π，求）（xx4πcos2cos的值.分析：角之间的关系：（4π－x）+（4π+x）=2π及2π－2x=2（4π－x），利用余角间的三角函数的关系便可求之.解：∵（4π－x）+（4π+x）=2π，∴cos（4π+x）=sin（4π－x）.第5页（共7页）又cos2x=sin（2π－2x）=sin2（4π－x）=2sin（4π－x）cos（4π－x），∴）（xx4πcos2cos=2cos（4π－x）=2×1312=1324.8.已知sinβ=msin（2α+β）（m≠1），求证：tan（α+β）=mm11tanα.证明：∵sinβ=msin（2α+β），∴sin［（α+β）－α］=msin［（α+β）+α］.∴sin（α+β）cosα－cos（α+β）sinα=msin（α+β）cosα+mcos（α+β）sinα.∴（1－m）sin（α+β）cosα=（1+m）cos（α+β）sinα.∴tan（α+β）=mm11tanα.9.（2005年北京西城区抽样测试）已知sin2α=53，α∈（4π5，2π3）.（1）求cosα的值；（2）求满足sin（α－x）－sin（α+x）+2cosα=－1010的锐角x.解：（1）因为4π5＜α＜2π3，所以2π5＜2α＜3π.所以cos2α=－2sin12=－54.由cos2α=2cos2α－1，所以cosα=－1010.（2）因为sin（α－x）－sin（α+x）+2cosα=－1010，所以2cosα（1－sinx）=－1010.所以sinx=21.因为x为锐角，所以x=6π.探究创新10.sinα+sinβ=22，求cosα+cosβ的取值范围.解：令t=cosα+cosβ，①sinα+sinβ=22，②①2+②2，得t2+21=2+2cos（α－β）.∴2cos（α－β）=t2－23∈［－2，2］.∴t∈［－214，214］.●思悟小结1.不仅要能熟练推证公式（建议自己推证一遍所有公式）、熟悉公式的正用逆用，还要第6页（共7页）熟练掌握公式的变形应用.2.注意拆角、拼角技巧，如α=（α+β）－β，2α=（α+β）+（α－β）等.3.注意倍角的相对性，如3α是23的倍角.4.要时时注意角的范围的讨论.●教师下载中心教学点睛1.本节公式多，内在联系密切，建议复习时，要使学生理清公式间的推导线索，让学生亲自推导一下C（α+β）.2.公式应用讲究一个“活”字，即正用、逆用、变形用，还要创造条件应用公式.如拆角、拼角技巧等，要注意结合题目使学生体会其间的规律.第7页（共7页）拓展题例【例1】已知a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），（a≠b）.求证：（a+b）⊥（a－b）.分析：只要证（a+b）·（a－b）=0即可.证法一：（a+b）·（a－b）=|a|2－|b|2=1－1=0，∴（a+b）⊥（a－b）.证法二：在单位圆中设OA=a，OB=b，以OA、OB为邻边作□OACB，则OACB为菱形.∴OC⊥BA.∴OC·BA=0，即（a+b）·（a－b）=0.∴（a+b）⊥（a－b）.【例2】α、β∈（0，2π），3sin2α+2sin2β=1，①3sin2α－2sin2β=0②，求α+2β的值.解：由①得3sin2α=1－2sin2β=cos2β.由②得sin2β=23sin2α.∴cos（α+2β）=cosαcos2β－sinαsin2β=3cosαsin2α－sinα·23sin2α=0.∵α、β∈（0，2π），∴α+2β∈（0，2π3）.∴α+2β=2π.