2012届高考数学限时训练(导数的应用)

A级课时对点练(时间：40分钟满分：70分)一、填空题(每小题5分，共40分)1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是________．解析：f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)0，解得x2.答案：(2，＋∞)2．已知函数f(x)＝x33－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在实数集R上是增函数，则实数m的取值范围是________．解析：f′(x)＝x2－2(4m－1)x＋15m2－2m－7，依题意，知f′(x)在R上恒大于或等于0，所以Δ＝4(m2－6m＋8)≤0，得2≤m≤4.答案：[2,4]3．(江苏省高考命题研究专家原创卷)设m∈R，若函数y＝ex＋2mx有大于零的极值点，则m的取值范围是________．解析：因为函数y＝ex＋2mx，有大于零的极值点，所以y′＝ex＋2m＝0有大于零的实根．令y1＝ex，y2＝－2m，则两曲线的交点必在第一象限．由图象可得－2m1，即m－12.答案：m－124．(2010·常州模拟)已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)·(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是________．解析：结合二次函数图象知，当a0或a－1时，在x＝a处取得极小值，当－1a0时，在x＝a处取得极大值，故a∈(－1,0)．答案：(－1,0)5．已知f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)0，f′(x)0，则函数y＝xf(x)的递增区间是________．解析：当x0时，y′＝[xf(x)]′＝f(x)＋xf′(x)0，∴y＝xf(x)在(0，＋∞)上递增．又f(x)为奇函数，∴y＝xf(x)为偶函数，∴y＝xf(x)在(－∞，0)上递减．答案：(0，＋∞)6．(2010·常州五校联考)已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________________.解析：令f′(x)＝3x2－12＝0，得x＝－2或x＝2列表得：x－3(－3，－2)－2(－2,2)2(2，3)3f′(x)＋0－0＋f(x)17极大值24极小值－8－1可知M＝24，m＝－8，∴M－m＝32.答案：327．设a∈R，若函数y＝eax＋3x，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围是________．解析：∵y′＝aeax＋3，由y′＝0，得x＝1aln－3a，∴－3a＞0，a＜0.又∵有正根，∴必有a＜0，0＜－3a＜1，得a＜－3.答案：a＜－38．(江苏省高考命题研究专家原创卷)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)的导函数f′(x)＜0恒成立，且f(4)＝1，若f(x＋y)≤1，则x2＋y2＋2x＋2y的最小值是________．解析：由f(x)在(0，＋∞)上的导函数f′(x)＜0恒成立，得f(x)在(0，＋∞)上单调递减．因为f(x＋y)≤1，f(4)＝1，则f(x＋y)≤f(4),所以x，y满足x＋y≥4且x＞0，y＞0.又因为x2＋y2＋2x＋2y＝(x＋1)2＋(y＋1)2－2，(x＋1)2＋(y＋1)2可以看作是(x，y)到(－1，－1)的距离的平方，所以由线性规划知识可得x2＋y2＋2x＋2y的最小值是16.答案：16二、解答题(共30分)9．(本小题满分14分)(2010·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝(x＋1)·lnx－x＋1.(1)若xf′(x)≤x2＋ax＋1，求a的取值范围；(2)证明：(x－1)f(x)≥0.(1)解：f′(x)＝x＋1x＋lnx－1＝lnx＋1x，xf′(x)＝xlnx＋1.题设xf′(x)≤x2＋ax＋1等价于lnx－x≤a.令g(x)＝lnx－x，则g′(x)＝1x－1.当0＜x＜1时，g′(x)＞0；当x≥1时，g′(x)≤0，x＝1是g(x)的最大值点，g(x)≤g(1)＝－1.综上，a的取值范围是[－1，＋∞)．(2)证明：由(1)知，g(x)≤g(1)＝－1，即lnx－x＋1≤0.当0＜x＜1时，f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1＝xlnx＋(lnx－x＋1)≤0；当x≥1时，f(x)＝lnx＋(xlnx－x＋1)＝lnx＋xlnx＋1x－1＝lnx－xln1x－1x＋1≥0.所以(x－1)f(x)≥0.10．(本小题满分16分)某轮船公司争取一个相距1000公里的甲、乙两地的客运航线权，已知轮船平均载客人数为400人，轮船每小时使用的燃料费用和轮船的航行速度的立方成正比，轮船的最大速度为25公里/小时，当轮船的速度为10公里/小时，它的燃料费用是每小时30元，轮船的其余费用(与速度无关)都是每小时480元，若公司打算从每个乘客身上获利10元，试为该公司设计一种较为合理的船票价格．解：设轮船航行速度为v公里/小时，则0＜v≤25.又设总费用为y元，则y＝480·1000v＋1000v·av3.(其中a为比例系数)．由条件30＝a·103，所以a＝3100.代入上式有y＝480000v＋30v2，v∈(0,25]，所以y′＝－480000v2＋60v＝60v3－8000v2令y′＝0，解得v＝20.当v＜20时，y′＜0；当v＞20时，y′＞0，又v＝20是(0,25]内唯一极值点且是极小值点，于是，当v＝20时，y有最小值36000元．所以平均每个乘客的费用为36000400＝90(元)．因此，该公司可定票价为100元．B级素能提升练(时间：30分钟满分：50分)一、填空题(每小题5分，共20分)1．若函数f(x)＝x＋asinx在R上递增，则实数a的取值范围为________．解析：∵f′(x)＝1＋acosx，∴要使函数f(x)＝x＋asinx在R上递增，则1＋acosx≥0对任意实数x都成立．∵－1≤cosx≤1，①当a＞0时－a≤acosx≤a，∴－a≥－1，∴0＜a≤1；②当a＝0时适合；③当a＜0时，a≤acosx≤－a，∴a≥－1，∴－1≤a＜0.综上，－1≤a≤1.答案：[－1,1]2．若函数h(x)＝2x－kx＋k3在(1，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是________．解析：∵h′(x)＝2＋kx2，h′(x)在(1，＋∞)上恒大于等于0，即2＋kx2≥0，即k≥－2x2在(1，＋∞)上恒成立，故k≥－2×(－1)2＝－2.答案：[－2，＋∞)3．把函数f(x)＝x3－3x的图象C1向右平移u个单位长度，再向下平移v个单位长度后得到图象C2，若对任意u＞0，曲线C1与C2至多只有一个交点，则v的最小值为________________．解析：令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，∴函数f(x)＝x3－3x在x＝±1处取得极值，且f(－1)＝2，f(1)＝－2，函数f(x)的图象如图所示，图象C1经平移后得到C2，∵对任意u＞0，曲线C1与C2至多只有一个交点，则C2的极大值必须小于或等于C1的极小值，即2－v≤－2，∴v≥4.答案：44．f(x)＝ax3－3x＋1对于x∈[－1,1]总有f(x)≥0成立，则a＝________.解析：若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0都成立；当x＞0即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥3x2－1x3，设g(x)＝3x2－1x3，则g′(x)＝31－2xx4，所以g(x)在区间0，12上单调递增，在区间12，1上单调递减，因此g(x)max＝g12＝4，从而a≥4；当x＜0即x∈[－1,0)时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≤3x2－1x3，g(x)＝3x2－1x3在区间[－1,0)上单调递增，因此g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4，综上a＝4.答案：4二、解答题(共30分)5．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝x2e－ax(a0)，求函数在[1,2]上的最大值．解：∵f(x)＝x2e－ax(a0)，∴f′(x)＝2xe－ax＋x2·(－a)e－ax＝e－ax(－ax2＋2x)．令f′(x)0，得e－ax(－ax2＋2x)0，解得0x2a.∴f(x)在(－∞，0)，2a，＋∞上是减函数，在0，2a上是增函数．当02a1，即a2时，f(x)在(1,2)上是减函数，∴f(x)max＝f(1)＝e－a.当1≤2a≤2，即1≤a≤2时，f(x)在1，2a上是增函数，在2a，2上是减函数，∴f(x)max＝f2a＝4a2e－2.当2a2，即0a1时，f(x)在(1,2)上是增函数，∴f(x)max＝f(2)＝4e－2a.综上所述，当0a1时，f(x)的最大值为4e－2a；当1≤a≤2时，f(x)的最大值为4a2e－2；当a2时，f(x)的最大值为e－a.5．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx.(1)若函数y＝f(x)在x＝2处有极值－6，求y＝f(x)的单调递减区间；(2)若y＝f(x)的导数f′(x)对x∈[－1,1]都有f′(x)≤2，求ba－1的范围．解：(1)由题知，f′(x)＝3x2＋2ax＋b.依题意有f′2＝0，f2＝－6，即12＋4a＋b＝0，8＋4a＋2b＝－6.解得a＝－52，b＝－2.∴f′(x)＝3x2－5x－2，由f′(x)0，得－13x，∴y＝f(x)的单调递减区间是－13，2.(2)由f′－1＝3－2a＋b≤2，f′1＝3＋2a＋b≤2，得2a－b－1≥0，2a＋b＋1≤0.不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示．由2a－b－1＝0，2a＋b＋1＝0，得a＝0，b＝－1.∴Q点的坐标为(0，－1)．设z＝ba－1，则z表示平面区域内的点(a，b)与点P(1,0)连线的斜率．易知kPQ＝1.由图可知z≥1或x－2，即ba－1∈(－∞，－2)∪[1，＋∞)．6．(本小题满分16分)(2010·课标全国)设函数f(x)＝ex－1－x－ax2.(1)若a＝0，求f(x)的单调区间；(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围．解：(1)a＝0时，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1.当x∈(－∞，0)时，f′(x)＜0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.故f(x)在(－∞，0)上单调减少，在(0，＋∞)上单调增加．(2)f′(x)＝ex－1－2ax.由(1)知ex≥1＋x，当且仅当x＝0时等号成立．故f′(x)≥x－2ax＝(1－2a)x，从而当1－2a≥0，即a≤12时，f′(x)≥0(x≥0)，而f(0)＝0，于是当x≥0时，f(x)≥0.由ex＞1＋x(x≠0)可得e－x＞1－x(x≠0)．从而当a＞12时，f′(x)＜ex－1＋2a(e－x－1)＝e－x(ex－1)(ex－2a)，故当x∈(0，ln2a)时，f′(x)＜0，而f(0)＝0，于是当x∈(0，ln2a)时，f(x)＜0.不符要求．综合得a的取值范围为－∞，12.