2012届高考数学(理)一轮复习定时检测(带详细解析)2.7函数与方程(人教A版)

§2.7函数与方程一、选择题(每小题7分，共42分)1．(2010·临沂模拟)设f(x)＝3x－x2，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是()A．[0,1]B．[1,2]C．[－2，－1]D．[－1,0]解析∵f(－1)＝3－1－(－1)2＝13－1＝－230，f(0)＝30－02＝10，∴f(－1)·f(0)0，∴有零点的区间是[－1,0]．答案D2．(2009·天津理，4)设函数f(x)＝13x－lnx(x0)，则y＝f(x)()A．在区间1e，1，(1，e)内均有零点B．在区间1e，1，(1，e)内均无零点C．在区间1e，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D．在区间1e，1内无零点，在区间(1，e)内有零点解析因为f1e·f(1)＝13·1e－ln1e·13－ln1＝1313e＋10，因此f(x)在1e，1内无零点．又f(1)·f(e)＝13×1－ln1·13·e－lne＝e－390.因此f(x)在(1，e)内有零点．答案D3．(2009·福建文，11)若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是()A．f(x)＝4x－1B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝ex－1D．f(x)＝lnx－12解析∵g(x)＝4x＋2x－2在R上连续且g(14)＝2＋12－2＝2－320，g(12)＝2＋1－2＝10.设g(x)＝4x＋2x－2的零点为x0，则14x012，0x0－1414，∴x0－1414.又f(x)＝4x－1零点为x＝14；f(x)＝(x－1)2零点为x＝1；f(x)＝ex－1零点为x＝0；f(x)＝lnx－12零点为x＝32.答案A4．(2010·三明联考)方程|x2－2x|＝a2＋1(a∈R＋)的解的个数是()A．1B．2C．3D．4解析∵a∈R+，∴a2+11.而y=|x2-2x|的图象如图，∴y=|x2-2x|的图象与y=a2+1的图象总有两个交点．∴方程有两解．答案B5．(2009·杭州质检)方程|x|(x－1)－k＝0有三个不相等的实根，则k的取值范围是()A.－14，0B.0，14C.－14，＋∞D.－∞，14解析本题研究方程根的个数问题，此类问题首选的方法是图象法即构造函数利用函数图象解题，其次是直接求出所有的根．本题显然考虑第一种方法．如图，作出函数y=|x|·(x-1)的图象，由图象知当k∈)0,41(时，函数y=k与y=|x|(x-1)有3个不同的交点，即方程有3个实根．答案A6．(2009·怀化调研)设f(x)＝x3＋bx＋c(b0)(－1≤x≤1)，且f－12·f120，则方程f(x)＝0在[－1,1]内()A．可能有3个实数根B．可能有2个实数根C．有唯一的实数根D．没有实数根解析∵f(x)＝x3＋bx＋c(b0)，∴f′(x)＝3x2＋b0，∴f(x)在[－1,1]上为增函数，又∵f－12·f120，∴f(x)在－12，12内存在唯一零点．答案C二、填空题(每小题6分，共18分)7．(2010·淮南模拟)若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．解析由22－2a－b＝032－3a－b＝0，得a＝5b＝－6.∴g(x)＝－6x2－5x－1的零点为－12，－13.答案－12，－138．(2009·池州模拟)若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)0的解集是__________．解析∵f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2,3.∴－2,3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，由根与系数的关系知－2＋3＝－a－2×3＝b，∴a＝－1b＝－6，∴f(x)＝x2－x－6.∵不等式af(－2x)0，即－(4x2＋2x－6)0⇔2x2＋x－30，解集为x|－32x1.答案x|－32x19.(2010·六安一模)已知y＝x(x－1)(x＋1)的图象如图所示，今考虑f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01，则方程f(x)＝0①有三个实根；②当x-1时，恰有一实根(有一实根且仅有一实根)；③当-1x0时，恰有一实根；④当0x1时，恰有一实根；⑤当x1时，恰有一实根．则正确结论的编号为.解析∵f(-2)=-2×(-3)×(-1)+0.01=-5.990，f(-1)=0.010，即f(-2)·f(-1)0，∴在(-2，-1)内有一个实根．由图中知：方程f(x)=0在(-∞，-1)上，只有一个实根，所以②正确．又∵f(0)=0.010，由图知f(x)=0在(-1,0)上没有实数根，所以③不正确．又∵f(0.5)=0.5×(-0.5)×1.5+0.01=-0.3650，f(1)=0.010，即f(0.5)f(1)0，所以f(x)=0.在(0.5,1)上必有一个实根，且f(0)·f(0.5)0，∴f(x)=0在(0,0.5)上也有一个实根．∴f(x)=0在(0,1)上有两个实根，④不正确．由f(1)0且f(x)在(1，+∞)上是增函数，∴f(x)0，f(x)=0在(1，+∞)上没有实根．∴⑤不正确．并且由此可知①也正确．答案①②三、解答题(共40分)10．(13分)(2009·广州模拟)已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．解∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．设2x＝t(t0)，则t2＋mt＋1＝0.当Δ＝0时，即m2－4＝0，∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1(不合题意，舍去)，∴2x＝1，x＝0符合题意．当Δ0时，即m2或m－2时，t2＋mt＋1＝0有两正或两负根，即f(x)有两个零点或没有零点．∴这种情况不符题意．综上可知：m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0.11．(13分)(2009·滁州联考)关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m的取值范围．解设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0,2]，①若f(x)＝0在区间[0,2]上有一解，∵f(0)＝10，则应有f(2)≤0，又∵f(2)＝22＋(m－1)×2＋1，∴m≤－32.②若f(x)＝0在区间[0,2]上有两解，则Δ≥00≤－m－12≤2f(2)≥0，∴(m－1)2－4≥0－3≤m≤14＋(m－1)×2＋1≥0.∴m≥3或m≤－1－3≤m≤1m≥－32，∴－32≤m≤－1，由①②可知m≤－1.12．(14分)(2009·聊城一模)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a.如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围．解(1)当a＝0时，f(x)＝2x－3.令2x-3=0，得x=23∉[-1,1]∴f(x)在[－1,1]上无零点，故a≠0.(2)当a0时，f(x)＝2ax2＋2x－3－a的对称轴为x＝－12a①当－12a≤－1，即0a≤12时，须使f(－1)≤0f(1)≥0即a≤5a≥1∴a的解集为∅.②当－1－12a0，即a12时，须使f－12a≤0f(1)≥0即－12a－3－a≤0a≥1解得a≥1，∴a的取值范围是[1，＋∞)．(3)当a0时，①当0a21≤1，即a≤21时，须有,0)21(0)1(aff，即03215aaa解得：a≤273或273≤a≤5，又a≤21，∴a的取值范围是.273,.②当121a，即-21a0时，须有,0)1(0)1(ff即15aa∴a的解集为∅.综上所述，a的取值范围是273,∪[1，+∞)．