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页版权所有@中国高考志愿填报门户2012届高考二轮复习专题：简谐振动、振动图像【例1】如图所示，轻质弹簧上端固定，下端连结一小球，平衡时小球处于O位置，现将小球由O位置再下拉一小段距离后释放（在弹性限度内），试证明释放后小球的上下振动是简谐振动，证明：设小球的质量为m，弹簧的劲度系数为k，小球处在O位置有：mg—kΔx=0………①式中Δx为小球处在O位置时弹簧的伸长量．再设小球离开O点的位移x（比如在O点的下方），并取x为矢量正方向，此时小球受到的合外力∑Fx为：∑Fx=mg－k（x＋Δx）②由①②两式可得：∑Fx=－kx,所以小球的振动是简谐振动，O点即其振动的平衡位置．点评：这里的F=—kx，不是弹簧的弹力，而是弹力与重力的合力，即振动物体的回复力．此时弹力为k（x＋Δx）；所以求回复力时F＝kx，x是相对平衡位置的位移，而不是相对弹簧原长的位移．【例2】如图所示，在质量为M的无下底的木箱顶部用一轻弹簧悬挂质量均为m（M≥m）的D、B两物体．箱子放在水平地面上，平衡后剪断D、B间的连线，此后D将做简谐运动．当D运动到最高点时，木箱对地压力为（）A、Mg；B．（M－m）g；C、（M＋m）g；D、（M＋2m）g【解析】当剪断D、B间的连线后，物体D与弹簧一起可当作弹簧振子，它们将作简谐运动，其平衡位置就是当弹力与D的重力相平衡时的位置．初始运动时D的速度为零，故剪断D、B连线瞬间D相对以后的平衡位置的距离就是它的振幅，弹簧在没有剪断D、B连线时的伸长量为x1＝2mg／k，在振动过程中的平衡位置时的伸长量为x2＝mg／k，故振子振动过程中的振幅为A＝x2－x1=mg／kD物在运动过程中，能上升到的最大高度是离其平衡位移为A的高度，由于D振动过程中的平衡位置在弹簧自由长度以下mg／k处，刚好弹簧的自由长度处就是物D运动的最高点，说明了当D运动到最高点时，D对弹簧无作用力，故木箱对地的压力为木箱的重力Mg．点评：一般说来，弹簧振子在振动过程中的振幅的求法均是先找出其平衡位置，然后找出当振子速度为零时的位置，这两个位置间的距离就是振幅．本题侧重在弹簧振子运动的对称性．解答本题还可以通过求D物运动过程中的最大加速度，它在最高点具有向下的最大加速度，说明了这个系统有部分失重，从而确定木箱对地面的压力振动过程中各物理量的变化情况振动体位置位移X回复力F加速度a速度v势能动能方向大小方向大小方向大小方向大小平衡位置O000最大最小最大最大位移处A指向A最大指向O最大指向O0→最大0最大最小平衡位置O→最大位移处A指向A0→最大指向O0→最大指向O最大O→A最大→0最小→最大最大→最小最大位移处A→平衡位置O指向A最大→0指向O最大→0指向O最大→0A→O0→最大最大→最小最小→最大说明:简谐运动的位移、回复力、加速度、速度都随时间做周期性变化（正弦或余弦函数），页版权所有@中国高考志愿填报门户变化周期为T，振子的动能、势能也做周期性变化，周期为T／2。①凡离开平衡位置的过程，v、Ek均减小，x、F、a、EP均增大；凡向平衡位置移动时，v、Ek均增大,x、F、a、EP均减小.②振子运动至平衡位置时，x、F、a为零，EP最小，v、Ek最大；当在最大位移时，x、F、a、EP最大，v、Ek最为零；③在平衡位置两侧的对称点上,x、F、a、v、Ek、EP的大小均相同．【例3】如图所示，一弹簧振子在振动过程中，经a、b两点的速度相同，若它从a到b历时0．2s，从b再回到a的最短时间为0．4s，则该振子的振动频率为（）。（A）1Hz；（B）1.25Hz（C）2Hz；（D）2．5Hz解析：振子经a、b两点速度相同，根据弹簧振子的运动特点，不难判断a、b两点对平衡位置（O点）一定是对称的，振子由b经O到a所用的时间也是0．2s，由于“从b再回到a的最短时间是0．4s，”说明振子运动到b后是第一次回到a点，且Ob不是振子的最大位移。设图中的c、d为最大位移处，则振子从b→c→b历时0．2s，同理，振子从a→d→a，也历时0．2s，故该振子的周期T＝0．8s，根据周期和频率互为倒数的关系，不难确定该振子的振动频率为1．25Hz。综上所述，本题应选择（B）。【例4】（1995年全国）一弹簧振子作简谐振动，周期为T，则（）A．若t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则Δt一定等于T的整数倍B．若t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则Δt一定等于T/2的整数倍C．若Δt=T，则在t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动的加速度一定相等D．若Δt＝T/2，则在t时刻和（t十Δt）时刻弹簧的长度一定相等解析:做简谐运动时，振子由平衡位置到最大位移，再由最大位移回到平衡位置，两次经过同一点时，它们的位移大小相等、方向相同，其时间间隔并不等于周期的整数倍，选项A错误。同理在振子由指向最大位移，到反向最大位移的过程中，速度大小相等、方向相反的位里之间的时间间隔小于T/2，选项B错误。相差T/2的两个时刻，弹黄的长度可能相等，振子从平衡位置开始振动、再回到平衡位置时，弹簧长度相等、也可能不相等、选项D错误。若Δt＝T，则根据周期性，该振子所有的物理量应和t时刻都相同，a就一定相等，所以，选项C正确。本题也可通过振动图像分析出结果，请你自己尝试一下。【例5】如图所示，一弹簧振子在光滑水平面内做简谐振动，O为平衡位置，A,B为最大位移处，当振子由A点从静止开始振动，测得第二次经过平衡位置所用时间为t秒，在O点上方C处有一个小球，现使振子由A点，小球由C点同时从静止释放，它们恰好到O点处相碰，试求小球所在C点的高度H是多少？解析:由已知振子从A点开始运动，第一次经过O点的时间是1/4周期，第二次经过O点是3/4周期，设其周期T，所以有：t=3T/4,T=4t/3;振子第一次到O点的时间为3t；振子第二次到点的时间为32tT；振子第三次到O点的时间为223Tt……第n次到O点的时间为23Tnt（n＝0．1,2,3……）C处小球欲与振子相碰，它和振子运动的时间应该是相等的；小球做自由落体运动，所以有222211421232232318tTgttgHgnnnt页版权所有@中国高考志愿填报门户【例6】如图所示，质量为m的物块A放在木板B上，而B固定在竖直的轻弹簧上。若使A随B一起沿竖直方向做简谐运动而始终不脱离，则充当A的回复力的是？当A的速度达到最大时，A对B的压力大小为？解析：根据题意，只要在最高点A、B仍能相对静止，则它们就会始终不脱离。而在最高点，外界对A所提供的最大回复力为mg，即最大加速度amax=g，故A、B不脱离的条件是a≤g，可见，在振动过程中，是A的重力和B对A的支持力的合力充当回复力。因为A在系统的平衡位置时，速度最大，此时A所受重力与B对它的支持力的合力为零，由牛顿第三定律可知，Ａ对B的压力大小等于其重力mg。拓展：①要使不脱离B,其最大振幅为多少?可仍以最高点为例，设弹簧的劲度系数为k，B的质量为mB，因为mg=mamax，振幅最大时，a才有最大值，是由kAmax=（m+mB）g，得Amax=m+mB）g/k。【例7】在光滑的水平面上停放着一辆质量为M的小车，质量为m的物体与劲度系数为k的一轻弹簧固定相连．弹簧的另一端与小车左端固定连接，将弹簧压缩x0后用细绳将m栓住，m静止在小车上的A点，如图所示，m与M间的动摩擦因数为μ，O点为弹簧原长位置，将细绳烧断后，m、M开始运动．求：①当m位于O点左侧还是右侧且跟O点多远时，小车的速度最大？并简要说明速度为最大的理由．②判断m与M的最终运动状态是静止、匀速运动还是相对往复的运动？【解析】①在细线烧断时，小车受水平向左的弹力F与水平向右的摩擦力f作用，开始时F必大于f．m相对小车右移过程中，弹簧弹力减小，而小车所受摩擦力却不变，故小车做加速度减小的加速运动．当F=f时车速达到最大值，此时m必在O点左侧。设此时物体在O点左侧x处，则kx=μmg。所以，当x＝μmg／k时，小车达最大速度．②小车向左运动达最大速度的时刻，物体向右运动也达最大速度，这时物体还会继续向右运动，但它的运动速度将减小，即小车和物体都在做振动．由于摩擦力的存在，小车和物体的振动幅度必定不断减小，设两物体最终有一共同速度v，因两物体组成的系统动量守恒，且初始状态的总动量为零，故v=0，即m与M的最终运动状态是静止的3、利用振动图像分析简谐振动【例8】一弹簧振子沿x轴振动，振幅为4cm.振子的平衡位置位于x袖上的0点.图甲中的a,b,c,d为四个不同的振动状态：黑点表示振子的位置，黑点上箭头表示运动的方向．图乙给出的①②③④四条振动图线，可用于表示振子的振动图象是（）A.若规定状态a时t＝0，则图象为①B.若规定状态b时t＝0，则图象为②C.若规定状态c时t＝0，则图象为③D.若规定状态d时t＝0，则图象为④解析:若t＝0，质点处于a状态，则此时x＝＋3cm页版权所有@中国高考志愿填报门户运动方向为正方向，只有图①对；若t＝0时质点处于b状态，此时x＝＋2cm，运动方向为负方向，②图不对；若取处于C状态时t=0，此时x=－2cm，运动方向为负方向，故图③不正确；取状态d为t=0时,图④刚好符合，故A,D正确．点评:对振动图象的理解和掌握要密切联系实际，既能根据实际振动画出振动图象；又能根据振动图象还原成一个具体的振动，达到此种境界，就可熟练地用图象分析解决振动