2005-2006-研05-数值分析试题解答

成绩中国矿业大学05级硕士研究生课程考试试卷考试科目数值分析考试时间2006年01月研究生姓名所在院系学号任课教师班级序号中国矿业大学研究生培养管理科印制1一、填空（共20分，每个空2分）1．设670.2~x为某个数四舍五入得到的近似值，则x~具有4位有效数字，其绝对误差限为31021，相对误差限为3102.0。2．用计算机求方程)0(02acbxax的两个根，当acb4时，为使结果更精确，应采取计算公式：1xaacbbsignb24)(2，2x1axc。3．设432231)(axaxaxaxP是某函数)(xf以3210,,,xxxx为节点的三次插值多项式，则差商],,,[3210xxxxf1a。4．设x~是线性方程组bAx的近似解（向量），则在A为非病态矩阵的情况下，残向量的范数xAbr~越小，近似解的精度就越高。5．设2011A，则2A288.253，)(A2，)(ACond3。二、（10分）确定常数rqp,,使得迭代法),2,1,0(5221kxarxaqpxxkkkk局部收敛到)0(3aax，并有尽可能高的收敛阶，这时阶数是多少？【解】迭代函数为522)(xarxaqpxx首先要1)(rqpxx为有尽可能高的收敛阶，令0520)52()(*623*rqpxarxaqpxxx2再令050)306()(*724*rqxarxaqxxx解之得：95qp,91r可直接验证0)(*x，所以最高的收敛阶是3阶。三、（15分）下面两个题任选一个1．设A是对称正定矩阵，试推导下面Cholesky分解算法：TnnnnnnnnnnnnnnLLllllllllllllaaaaaaaaaA2221211121222111212222111211要求L的元素按行计算出来，即按nnnnllllll,,,,,,,21222111的顺序计算。2．设线性方程组fMxx（nnRM）的解*x存在且唯一，对于迭代法fMxxkk)()1(，,2,1,0k如果1qM，证明对任取的初始向量)0(x有*)(limxxkk并有如下两个估计式：)1()(*)(1kkkxxqqxx和)0()1(*)(1xxqqxxkk【第1题解】通过比较矩阵两边元素可得如下伪程序1111alni:2for1:1ijforjjjkjkikijijlllal/)(11end3112ikikiiiilalend【第2题解】*)1(*)1(*)1(*)()()(xxqxxMfMxfMxxxkkkk递推得*)0(*)(xxqxxkk，故)(0*)(kxxk即*)(limxxkk再由)()1()(*)(*)1(*)(kkkkkxxxxqxxqxx得)1()(*)(1kkkxxqqxx类似)0()1(1)2()1()1()(xxqxxqxxkkkkk代入上式得)0()1(*)(1xxqqxxkk四、（15分）确定下面求积公式中的系数A和B，使其代数精度尽可能高，并判断其代数精度是多少。)]51()51([)]1()1([)(11ffBffAdxxf再根据此公式写出计算badxxf)(的求积公式。【解】令,,1)(xxf使公式精确成立1)(xf222BA2)(xxf32522BA解得：65,61BA，公式为：)]51()51([65)]1()1([61)(11ffffdxxf4易验上面公式对543,,)(xxxxf精确成立，而6)(xxf不精确成立，故代数精度为5次。对badxxf)(作变量代换：22abtabx11)22(2)(dtabtabfabdxxfba)]2512()2512([5)]()([12ababfababfbfafab五、（15分）下面两个题任选一个1．对于给定的数据对),(iiyx),,2,1,0(ni，其中ix),,2,1,0(ni互不同。（1）写出Lagrange插值多项式)(xLn；（2）对于给定的*x写出计算函数值)(*xLn的算法。2．试叙述区间],[ba上三次样条函数的定义，并据此定义确定出未知参数CBA,,使3290/)24269(2190/)244627(1090/)2645()(232323xxxCxxxxBxxxxAxxS为满足边界条件0)3(,1)0(SS的三次样条函数。【第1题解】（1）)(xLn见书（略）（2）算法（参见P74流程图）输入：),(iiyx),,2,1,0(ni和*x0yforni:01tfornj:0ifij5tjxixjxxt)()()(*endend)(iytyyend【第2题解】（1）定义见书略（2）)(xS在1x连续，24BA在2x连续，6CB由0)3(S，1C解之：1,5,19CBA六、（15分）叙述线性最小二乘拟合问题，并证明线性最小二乘拟合问题的解必是法方程组的解。【解】（1）问题：设miiiyx1),(是观测的点列，)(,),(),(21xxxn],[baC是一给定的函数族（一般要求线性无关），nm，要求在)(,),(),(21xxxspann中找一函数（即求Tnaax),,(**1）：)()()()(*2*21*1*xaxaxaxnn使得miiimiiiyxyx1212*])([min])([。（2）法方程组的推导（见书）七、（10分）下面两个题任选一个61．对求解微分方程),(yxfy初值问题的隐式RK公式：))(21,21(11nnnnnyyhxhfyy（1）求该方法的阶；（2）讨论绝对稳定性。2．设计下面Givens变换的算法0bcbaG，其中G是Givens矩阵。【第1题解】（1）)))()((21,21(1nnnxyxyhxf)())()((2121))(,(21hOyfxyxyxfhxyxfnnnn（注意到)()()()(21hOxyhxyxynnn）)())(2121))(,(2hOyfxyhxfhxyxfnnn)()(21)(2hOxyhxynn)))()((21,21()()(11nnnnnxyxyhxhfxyxyT)()()(21)()()(21)()(3322hOhOxyhxyhxyxyhxyhxynnnnnn该方法(至少)是2阶方法。（2）将yyxf),(代入迭代公式得)(2111nnnnyyhyy，即nnyhhy221设ny有误差n，用nnnyy~计算得111~nnnyy，则nnhh221因为无论0h取何值都有122hh（0h），故该公式是无条件绝对稳定的。7【第2题解】22coscaacc，22sincacssccssssccG1,0bcbaG，其中22ba