2005全国高考数学2试卷与答案

12005年普通高等学校招生全国统一考试数学（全国2理科卷）试题精析详解一、选择题（5分12=60分）（1）函数f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是（A）4（B）2（C）π（D）2π【思路点拨】本题考查三角函数的化简和绝对值的概念和数形结合的思想.【正确解答】()|sincos||2sin()|fxxxx，f(x)的最小正周期为.选C【解后反思】三角函数的周期可以从图象上进行判断，但是一个周期函数加绝对值后的周期不一定减半.如tanyx的最小正周期为，但是，|tan|yx的最小正周期也是，因此，对函数的性质的运用必须从定义出发，要学会用定义来研究问题.（2）正方体ABCD－A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点.那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是（A）三角形（B）四边形（C）五边形（D）六边形【思路点拨】本题考查平面的作法和空间想象能力，根据公理1可从P、Q在面内作直线，根据公理2，得到面与各棱的交点，与棱相交必与棱所在的两个面都有交线段.【正确解答】画图分析.作直线PQ交CB的延长线于E，交CD的延长F，作直线ER交1CC的延长线于G，交1BB于S，作直线GF交1DD于H，交11CDH，连结PS,RT,HQ，则过P、Q、R的截面图形为六边形PQHTRS，故选D.【解后反思】要理解立体几何中的三个公理及3个推论是确定平面的含义，但不必深入研究..（3）函数y=32x－1（x≤0）的反函数HSRDBCAD1A1B1C1EGFQPT2是（A）y=3)1(x(x≥－1)（B）y=－3)1(x(x≥－1)（C）y=3)1(x(x≥0)（D）y=－3)1(x(x≥0)【思路点拨】本题考查反函数的求法.要求反函数的三步曲（一是反解、二是x、y对调，三是求出反函数的定义域，即原函数的值域）进行，或用互为反函数的性质处理.【正确解答】解法1：由y=32x－1，且x≤0，解得3(1)xy，其中，1y.则所求反函数为y=－3)1(x(x≥－1).解法2：分析定义域和值域，用排除法.选B.【解后反思】选择题中考查反函数的解法时，一般只需验证定义域和值域即可，以达到快速高效之目的，因此，深刻理解互为反函数的概念和性质是关键，并要注意在求出反函数后注明定义域，这是求反函数必不可少的一步.（4）已知函数tanyx在（－2，2）内是减函数，则（A）0＜ω≤1（B）－1≤ω＜0（C）ω≥0（D）ω≤－1【思路点拨】本题考查参数对于函数tanyx性质的影响.【正确解答】由正切函数的性质，正切函数tanyx在（－2，2）上是增函数，而tanyx在（－2，2）内是减函数，所以，即10.选B【解后反思】学生在解题过程中只注意到||T，而容易忽略的符号对函数单调性的影响.(5)设a、b、c、d∈R，若dicbia为实数，则（A）bc+ad≠0（B）bc－ad≠0（C）bc－ad＝0（D）bc+ad=0【思路点拨】本题考查复数定义和复数除法运算法则.【正确解答】22()()()()()()abiabicdiacbdbcadicdicdicdicd，由dicbia为实数，所以bc-ad=0.选C3【解后反思】理解复数除法计算和乘法本质是分母实数化，有助于提高运算速度.（6）已知双曲线3622yx＝1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为（A）563（B）665（C）56（D）65【思路点拨】本题主要考查双曲线的基础知识，只要依据分析双曲线的相关几何性质进行等价转化即可.【正确解答】由题意知，6a，3b，3c，设1F为左焦点，2F为右焦点，则126(3,0),(3,0),(3,)2FFM，设所求距离为d，则由112211||||||22MFFFMFd，得65d.选C【解后反思】利用面积相等来求点到直线的距离应用较广，应引起重视.（7）锐角三角形的内角A、B满足tanA－A2sin1=tanB,则有（A）sin2A－cosB=0（B）sin2A+cosB=0（C）sin2A－sinB=0（D）sin2A+sinB=0【思路点拨】解斜三角形问题必须注意题目所设置的情况，从已知等式的左边进行化简，产生2A、B的三角函数之间的关系.【正确解答】221sin12sin1cos2tancot2tansin2sincossin2sin2sin2AAAAABAAAAAAtan(2)2AABC是锐角三角形，022A，而022BAB，即22ABsin2sin()cos2ABB.选A.【解后反思】解三角函数问题时，要注意角的唯一性，也就是说要将角化到同一单调区间内进行求解.这是难点也是关键之处.（8）已知点A（3，1），B（0，0），C（3，0）.设∠BAC的平分线AE与BC相4交于E，那么有CEBC，其中λ等于（A）2（B）21（C）－3（D）－31【思路点拨】本题考查平面向量的基础知识，可根据点C的特殊位置，利用角平分线的性质，就可求E点坐标.【正确解答】由题意可知ABC是直角三角形且30ABC，60CAB，30CAE，||||2||||BEAECECE，||3||BCCE，3.选C【解后反思】灵活运用相关知识是解决问题的有效手段，本题可用向量法，也可由坐标法、都要求出点C坐标，但相对来说，用平几知识比较方便.（9）已知集合M＝{x｜x2－3x－28≤0}，N={x|x2－x－6＞0}，则M∩N为（A）{x|－4≤x＜－2或3＜x≤7}（B）{x|－4＜x≤－2或3≤x＜7}（C）｛x|x≤－2或x＞3｝（D）{x|x＜－2或x≥3＝【思路点拨】本题考查不等式的解法和集合的运算，可采用直接法，化简两集合时要注意不等式中的等号情形，防止漏点或产生多余的点.【正确解答】{|47}Mxx，{|23}Nxxx或，{|4237}MNxxx或.选A【解后反思】四个二次（一元二次不等式、一元二次方程、二次函数、二次三项式）始终是高考中考查覆盖面最大的代数知识.它们之间的等价转换要借助数形结合思想处理，必须牢固地掌握.（10）点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v＝（4，－3）（即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位），设开始时点P的坐标为（－10，10），则5秒后点P的坐标为（A）（－2，4）（B）（－30，25）（C）（10，－5）（D）（5，－10）【思路点拨】本题利用物理知识考查向量坐标公式的由来，借助图形正确地找出经过t秒后点的C的位置.【正确解答】由题意可得t秒后点P的坐标为(104,103)tt，t=5时，P点坐标为（10，－5）.选C.【解后反思】数学学科中各个知识点都是有定义的.定义的理解与掌握是解决一切问题5的基础的基础，回归定义，理解定义是学习数学的起点，也是落脚点.(11)如果a1，a2，…a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则（A）a1a8＞a4a5（B）a1a8＜a4a5（C）a1+a8＞a4+a5（D）a1a8=a4a5【思路点拨】本题考查等差数列的基础知识和化归思想，最有效的办法是将数列的通项转化为首项及公差来探索其大小.【正确解答】由14853,3aadaad得，21845459aaaadaa（0d）选B【解后反思】灵活运用等差数列的性质可简化运算，而对于本题等差数列来说，一般方法，即转化为首项和公差处理，是最基本的方法，要牢固掌握.(12)将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（A）3623（B）2+362（C）3624（D）36234【思路点拨】本题考查正四面体的性质和空间想象能力，恰当地对几何体进行分割，确定钢球的球心的位置是一关键.【正确解答】由题意可知，四个球心为顶点的小正四面体与原正四面体有公共中心，当正四面体的表面积最小时，四个钢球的圆心在正四面体内也构成一个小正四面体，且两个正四面体有相同的中心.把4个小球的球心连起来，得到棱长为2的正四面体，且该四面体的中心与原四面体的中心是同一点.先求任意正四面体的中心到侧面的距离与高之比：连接中心与4个顶点，得到4个正三棱锥.底面积相等，由等体积法知，所以，该比为14.而棱长为a的正四面体的高为63a，所以，棱长为2的正四面体，高为263，现在将其中心到侧面的距离4，得到这个正四面体的高的最小值为3624，选C.【解后反思】选择适当的截面，把立几问题平面化(降维)是解决此类问题的基本思路.二、填空题（4分4=16分）(13)圆心为（1，2）且与直线5x-12y-7=0相切的圆的方程为______________.【思路点拨】本题考查点到直线的距离公式和圆的方程的求法，只要求出点到直线的距离就求出了圆的半径.6【正确解答】圆心（1，2）到直线的距离为圆的半径，所以22|511227|2512r.所以圆的方程为22(1)(2)4xy.【解后反思】解析几何主要是以代数方法研究几何问题，但并不能忽视几何性质，更确切地来说，要充分挖掘其几何性质，才能使问题解决更快、更活，如直线和圆相切，就有多种研究方法，请学习时认真总结.(14)设α为第四象限的角，若513sin3sin，则tan2α=_______________.【思路点拨】本题考查三角变换能力，需要学习和体会三角变换的技巧，达到角和函数的统一.【正确解答】2sin3sin(2)sincos2cossin2sinsinsin13cos22cos2cos2154cos25，因为(2,2)2kk，所以2(4,4)kk，又cos20，所以3tan24.【解后反思】适当选择三角公式可以使问题得到简化.三角函数求值主要是考虑的是角和函数的差异，同时要注意由角的范围来确定三角函数值的符号.(15)在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有__________个.【思路点拨】本题考查排列组合的基础知识及转化能力，注意分类讨论思想的运用.【正确解答】解法1：数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数共有436536060300AA个，能被5整除的没有重复数字的四位数共有32542108AA个，所以不能被5整除的数共有192个.解法2：因为不能被5整除的四位数中，其末位不是5的倍数，所以，不能被5整除的四位数共有：132454()192CAA个.【解后反思】“不能…”通常用减法可简化运算，在本题中偏偏反其道而行之.慎之！同时，解排列组合问题时要正确运用加乘原理，应把复杂的问题分成简单问题（分步、分类）做到7既不重复又不遗漏.（16）下面是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥.④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.其中，真命题的编号是_____________________.(写出所有真命题的编号)【思路点拨】本题考查三棱锥的基础知识和逻辑推理能力，理解顶点在三棱锥底面上的射影与底面三角形的关系就可解决.【正确解答】如图，三棱锥PABC中，作PO平面ABC于O，作ODAB于D，作OEBC于E，作OFAC于F，连结OD,OE,OF，则,,PDOPEOPFO分别是侧面与底面所成的二面角的平面角.①是正确的.因为侧面与底面所成的二面角都相等，所以，OD=OE=OF，即O是ABC的中心，且底面是等边三角形，②是错误的.如PB