2007年线性代数试题

380104整理2007年线性代数试题一、单项选择题1.设A为n阶方阵，B为n阶数量矩阵，则下列各式不成立的是（）A.AB≠BAB.AB=BAC.(AB)k=AkBkk为正整数D.(A+B)(A-B)=(A-B)(A+B)2.设A为2阶方阵，且|A|=2，则(−2A)3的行列式的值是（）A.-512B.512C.-64D.643.A=(a1a2a3b1b2b3c1c2c3)B=(a3a2a13b33b23b1c3c2c1)P=(001010100)Q=(100030001)其中ai≠0，bi≠0，(i=1,2,3)，则B=（）A.APB.QAC.PAQD.QAP4.下列向量组中，线性无关的向量组是（）A.α1=(1,2,3)，α2=(4,5,6)，α3=(0,0,0)B.α1=(1,2)，α2=(3,4)，α3=(5,6)C.α1=(1,2,1,0,0)，α2=(3,4,0,1,0)，α3=(5,6,0,0,1)D.α1=(a,b,c)，α2=(a+b,b+c,c+a)，α3=(2a,2b,2c)其中a、b、c为任意实数。5.设λ1，λ2为n阶方阵A的两个互异特征值(n2)，与之相对应的特征向量为X1，X2，则下列结论正确的是（）A.2X1+3X2不是A的特征向量B.2X1+3X2是A的特征向量C.2X1，3X2线性相关D.A与对角阵相似6.设A为n阶降秩矩阵，且|A|中有一元素aij的代数余子式Aij≠0，则齐次线性方程组AX=0的基础解系所含解向量的个数是（）A.i个B.j个C.n个D.1个7.设A为m×n阶实矩阵，且R(A)n，则二次型X′(A′A)X是（）A.正定二次型B.负定二次型C.半正定二次型D.半负定二次型380104整理8.A、B均为3阶方阵，且A~B，A的特征值为2，3，4，则(3B)−1+E的特征值是（）A.7，10，13B.76，109，1312C.52，2，74D.53，2，73二、填空题1.||a1a12a2a22a13a14a23a24a3a32a4a42a33a34a43a44||=。2．设A为n阶方阵，且满足A2+3A−5E=0，则(A+E)−1=。3.P−1AP=(4002)，P=(1213)，则(A−3E)7=。4．设A为3阶方阵，且R(A)=2，B=(101012103)，则R(AB)=。5．设α1=(1,0,−2,1)，α2=(−1,2,0,1)，α3=(2,0,−1,4)，α4=(1,−2,3,1)则此向量组α1、α2、α3、α4线性。6．当𝑓(𝑥1，𝑥2，𝑥3)=2𝑥12+𝑥22+𝑥32−2𝑡𝑥1𝑥2+2𝑥1𝑥3正定时，t应满足的条件是。7．设A是3阶实对称矩阵，其特征值为1，1，3，与1对应的两个特征向量为α1=(1,2,3)T，α2=(1,5,6)T，则与3对应的特征向量α3=。8．α1=(1,1,0)，α2=(1,0,1)，α3=(0,1,1)为R3的一组基底，β=(2,0,0)在该基底下的坐标为。三、已知AX=B+X，其中A=(21−1−14−11−12)B=(100213)求矩阵X。380104整理四、设方程组{𝑥1+𝑥2+𝑥3−𝑥4=23𝑥1+4𝑥2+𝑥3−8𝑥4=95𝑥1+7𝑥2+𝑎𝑥3−13𝑥4=𝑏+1410𝑥1+13𝑥2+4𝑥3−(𝑎−28)𝑥4=291．问a、b取何值，方程组有唯一解、无解、无穷多解。2．当方程组有无穷多解是，求其通解（用解向量形式表示）。五、设𝑓(𝑥1，𝑥2，𝑥3)=7𝑥12+7𝑥22+6𝑥32−2𝑥1𝑥21．写出此二次型对应的矩阵A。2．求矩阵A的特征值及特征向量。3．用正交变换化二次型为标准型，并写出所用的正交变换矩阵。六、证明题1．设A为n阶非零矩阵，𝛼为n维非零列向量，S为一正整数(S3)，若𝐴𝑆−1𝛼≠0，而𝐴𝑆𝛼=0，试证：𝛼，𝐴𝛼，𝐴2𝛼，……，𝐴𝑆−1𝛼线性无关。2．设A为n阶可逆实矩阵，试证：A’A为正定矩阵。380104整理参考答案一、选择题：ABDCBDCB二、填空题：1．a1a2a3a4∏(ai−aj)1≤j𝑖≤42.13(A+2E)3.(100−1)4.25.相关6.-1t17.(1,−1,1)T8.(1,1,−1)三、X=(1321252124)四、当a=1，b≠2时，无解；当a≠1时，有唯一解；当a=1，b=2时，有无穷多解。X=(−1300)+k1(−3210)+k2(4−101)，k1，k2∈R五、1.A=(7−10−170006)2.特征值为6，8；λ=6的特征向量为(1,1,0)T，(0,0,1)T；λ=8的特征向量(1,−1,0)T3.𝑓(𝑥1，𝑥2，𝑥3)=𝑔(𝑦1，𝑦2，𝑦3)=6𝑦12+6𝑦22+8𝑦32Q=(1√201√21√20−1√2010)六、1.证明：设存在不全为零的k1，k2，……，kS，使得k1α+k2Aα+⋯+kS𝐴𝑆−1𝛼=0，用𝐴𝑆−1左乘上式两边，得k1𝐴𝑆−1α+k2𝐴𝑆α+⋯+kS𝐴𝑆−1(𝐴𝑆𝛼)=0因为𝐴𝑆α=0，化简得k1𝐴𝑆−1α=0；𝐴𝑆−1α≠0；即k1=0，依次用𝐴𝑆−2，𝐴𝑆−3，……，𝐴左乘，依次得k2，k3，……，kS都为零，所以假380104整理设不成立，𝛼，𝐴𝛼，𝐴2𝛼，……，𝐴𝑆−1𝛼线性无关。2.证明：(ATA)T=AT(AT)T=ATA，ATA为实对称矩阵，因为A为n阶可逆实矩阵，则实对称矩阵ATA为正定矩阵。